人教A版高中数学选修4-5同步练习-排序不等式

第三讲 柯西不等式与排序不等式
3.3 排序不等式

A级 基础巩固
一、选择题
1．设a≥b＞0，P＝a
3
＋b< br>3
，Q＝a
2
b＋ab
2
，则P与Q的大小关
系是( )
A．P＞Q
C．P＜Q
B．P≥Q
D．P≤Q
解析：因为a≥b＞0，所以a
2
≥b
2
＞0.
因此a< br>3
＋b
3
≥a
2
b＋ab
2
(排序不等式) ，
则P≥Q.
答案：B
2．车间里有5 台机床同时出了故障，从第1 台到第5 台的修
复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产
1 min损失5 元，经合理安排损失最少为( )
A．420 元
C．450 元
B．400 元
D．570 元
解析：损 失最少为5(1×10＋2×8＋3×6＋4×5＋5×4)＝
420(元)，反序和最小．
答案：A
222
3．若A＝x
1
＋x
2
＋…＋x
n
，B＝x
1
x
2
＋x
2
x
3< br>＋…＋x
n
－
1
x
n
＋x
n
x1
，其
中x
1
，x
2
，…，x
n
都是 正数，则A与B的大小关系为( )

1

A．A＞B
C．A≥B
B．A＜B
D．A≤B
解析：依序列{x
n< br>}的各项都是正数，不妨设0＜x
1
≤x
2
≤…≤x
n
，
则x
2
，x
3
，…，x
n
，x
1为序列{x
n
}的一个排列．依排序原理，得x
1
x
1
22
＋x
2
x
2
＋…＋x
n
x
n
≥x
1
x
2
＋x
2
x
3
＋…＋x
n
x
1
，即x
2
1
＋x
2
＋…＋x
n
≥x
1
x
2
＋
x
2
x
3＋…＋x
n
x
1
.
答案：C
4．设正实数a
1
，a
2
，a
3
的任一排列为a
1
′，a
2
′，a
3
′，则
a
2
a
3
＋＋的最小 值为( )
a
2
′a
3
′
A．3
C．9
B．6
D．12
a
1
a
1
′
111< br>解析：设a
1
≥a
2
≥a
3
＞0，则≥≥＞0，
a
3
a
2
a
1
由乱序和不小于反序和，知
a
1
a
2
a
3
a
1
a
2
a
3
＋＋≥＋＋＝3，
a
1
′a
2
′a
3
′
a
1
a
2
a
3
a
1
a
2
a
3
所以＋＋的最小值为3.
a
1
′a
2
′a
3
′
答案：A
5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a
2
(a
2
－bc)＋b
2
(b
2
－ac)＋c
2
(c
2
－ab)的正负情况 是( )
A．大于零
C．小于零
B．大于等于零
D．小于等于零
解析：设a≥b≥c＞0，所以a
3
≥b
3
≥c
3
，
根据排序原理，得a
3
·a＋b
3
· b＋c
3
·c≥a
3
b＋b
3
c＋c
3
a .

2

又知ab≥ac≥bc，a
2
≥b
2
≥c
2
， < br>所以a
3
b＋b
3
c＋c
3
a≥a
2
bc＋b
2
ca＋c
2
ab.
所以a
4
＋b< br>4
＋c
4
≥a
2
bc＋b
2
ca＋c
2
ab，
即a
2
(a
2
－bc)＋b
2
(b
2
－ac)＋c
2
(c
2
－ab)≥0.
答案：B
二、填空题
6．如图所示，矩形OPAQ中，a
1
≤a
2
，b
1
≤b
2
，则阴影部分的矩
形的面积之和_ _______空白部分的矩形的面积之和．(填“≥”“≤”
或“＝”)

解析： 阴影面积为a
1
b
1
＋a
2
b
2
，而空白 面积为a
1
b
2
＋a
2
b
1
.根据顺序和≥反序和可知答案．
答案：≥
7．若c
1
，c
2
，c
3
是4，5，6的一个排列，则c
1
＋2c
2
＋3c
3
的最大
值是________，最小值是________．
解析：由排 序不等式，顺序和最大，反序和最小．所以最大值为
1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋ 2×5＋3×4＝28.
答案：32 28

3

8．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2
件．现在选择商店中单价分别为3 元，2元和1元的礼品，则至少要
花________元，最多要花________元．
解析：两组数2件、4件、5件与1 元、2 元、3 元的反序和S
1
＝2×3＋4×2＋5×1＝19(元)．
顺序和S
2
＝2×1＋4×2＋5×3＝25(元)．
根据排序原理可知至少花19 元，最多花25元．
答案：19 25
三、解答题
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1
9．设a
1
，a
2
，a
3
为 正数，且a
1
＋a
2
＋a
3
＝1，求＋＋的
a3
a
1
a
2
最小值．
111
解：不妨设a< br>3
＞a
1
＞a
2
＞0，则＜＜，
a
3a
1
a
2
所以a
1
a
2
＜a
2
a
3
＜a
3
a
1
.
a
1a
3
a
1
a
2
a
3
a
2设乱序和S＝＋＋＝a
1
＋a
2
＋a
3
＝1，
a
3
a
1
a
2
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1
顺序和S′＝＋＋.
a
3
a
1
a
2
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1
由排序不等式 得＋＋≥a
1
＋a
2
＋a
3
＝1，
a
3
a
1
a
2
a
1
a
2
a
2
a
3
a
3
a
1
所以＋＋的最小值为1.
a
3
a
1
a
2
π
1
10．已知0<α<β <γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>
22
(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
π
?
π
?
证明：因为0<α<β<γ<，且y＝sin x在
?
0，
2
?
上为增函数，y＝
2
??

4

?
π
?
cos x在
?
0，
2
?
上为减函数，
??
所以0cos β>cos γ>0.
所以sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋
1
sin γcos γ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．
2
B级 能力提升
1．已知实数a≥b≥c≥0，且a< br>3
＋b
3
＋c
3
＝3，则ab＋bc＋ca
的最大值 是( )
A．1
C．3
B．2
D.3
解析：因为a≥b≥c≥0，知a≥b≥c，
由排序不等式，得
ab＋bc＋ca≤aa＋bb＋cc.
又(aa＋bb＋cc)
2
≤[( aa)
2
＋(bb)
2
＋(cc)
2
]·(1＋1＋1)＝
3(a
3
＋b
3
＋c
3
)＝9，
所以aa＋bb＋cc≤3.
故ab＋bc＋ca≤3.
答案：C
b< br>2
a
2
2．若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋的最小值是________ ．
ab
解析：不妨设a≥b＞0，
11
则有a
2
≥b
2
，且≥.
ba
b< br>2
a
2
11
2
由排序不等式＋≥·a＋·b
2
＝a＋b＝1，
abab
1
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
2

5

b
2
a
2
所以＋的最小值为1.
ab
答案：1
3．设a
1
，a
2
，…，a
n
是1，2，…，n的 一个排列．
n－1
a
1
a
2
a
n
－1
12
求证：＋＋…＋≤＋＋…＋.
na
n
23a
2
a
3
证明：设b
1
，b
2
，…，b
n－
1
是a
1
，a
2
，…，a
n
－1
的一个排列，且
b
1
2
<…n－
1
；c
1
，c
2
，…，c
n
－1
是a
2
，a
3
，…，a
n
的一个排列，且< br>c
1
2
<…n
－
1
， < br>111
则>>…>且b
1
≥1，b
2
≥2，…，b
n
－
1
≥n－1，c
1
≤2，c
2
≤3，…，
c
1
c
2
c
n
－
1
111111
c
n
－
1
≤n，所以≥，≥，…，≥，
c
1
2 c
2
3
c
n
－
1
n
a
n
－
1
b
1
b
2
b
n
－
1
12a
1
a
2
利用排序不等式，有＋＋…＋≥＋＋…＋≥＋
a
n
c
1
c
2
a
2
a
3
c
n
－
1
23
n－1
＋…＋.所以原不等式得证．
n


6