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选修4-5_《不等式选讲》全册教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 07:19
tags:高中数学选修4-5

高中数学教学的意义-高中数学教学督导总结

2020年10月7日发(作者:郦松校)



第一讲 不等式和绝对值不等式
课题:第01课时 不等式的基本性质
教学目标:
1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义,建立不等式研究
的基础。
2.掌握不等式的基本性质,并能加以证明;会用不等式的基本性质判断不
等关系和用比较法,反证法证 明简单的不等式。
教学重点:应用不等式的基本性质推理判断命题的真假;代数证明,特别是反证
法。
教学难点:灵活应用不等式的基本性质。
教学过程:
一、引入:
不等 关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两
小儿辩日”:“远者小而近者 大”、“近者热而远者凉”,就从侧面表明了现实世界
中不等关系的广泛存在;日常生活中息息相关的问 题,如“自来水管的直截面为
什么做成圆的,而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最 亮?”、
“用一块正方形白铁皮,在它的四个角各剪去一个小正方形,制成一个无盖的盒
子。要 使制成的盒子的容积最大,应当剪去多大的小正方形?”等,都属于不等
关系的问题,需要借助不等式的 相关知识才能得到解决。而且,不等式在数学研
究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一 些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努
利不等式、排序不等式等)和它们的证明,数 学归纳法和它的简单应用等。
人与人的年龄大小、高矮胖瘦,物与物的形状结构,事与事成因与结果的 不
同等等都表现出不等的关系,这表明现实世界中的量,不等是普遍的、绝对的,
而相等则是局 部的、相对的。还可从引言中实际问题出发,说明本章知识的地位
和作用。
生活中为什么糖水 加糖甜更甜呢?转化为数学问题:a克糖水中含有b克糖
(a>b>0),若再加m(m>0)克糖,则 糖水更甜了,为什么?
b
b?m
分析:起初的糖水浓度为,加入m克糖 后的糖水浓度为,只要证
a
a?m
b?m
b
>即可。怎么证呢?
a?m
a
二、不等式的基本性质:
1、实数的运算性质与大小顺序的关系:
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数,从实数的减法在数轴

1



上的表示可知:
a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

得出结论:要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质:
①、如果a>b,那么bb。(对称性)
②、如果a>b,且b>c,那么a>c,即a>b,b>c
?
a>c。
③、如果a>b,那么a+c>b+c,即a>b
?
a+c>b+c。
推论:如果a>b,且c>d,那么a+c>b+d.即a>b, c>d

?
a+c>b+d.
④、如果a>b,且c>0,那么ac>bc;如果a>b,且c<0,那么ac⑤、如果a>b >0,那么
a
n
?b
n

(n
?
N,且n>1)
⑥、如果a>b >0,那么
n
a?
n
b

(n
?
N,且n>1)。
三、典型例题:
例1、比较
(x?3)(x?7)

(x?4)(x?6)
的大小。
分析:通过考察它们的差与0的大小关系,得出这两个多项式的大小关系。
例2、已知
a?b,c?d
,求证:
a?c?b?d

例3、已知a>b>0,c>d>0,求证:
四、课堂练习:
a
?
d
b
c

1:已知
x?3
,比较
x
3
?11x

6x
2
?6
的大小 。
ba
?
2:已知a>b>0,ca?cb?d
五、课后作业:
课本
P
9
第1、2、3、4题
六、教学后记:









2



课题:第02课时 基本不等式
教学目标:
1.学会推导并掌握均值不等式定理;
2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。
教学重点:均值不等式定理的证明及应用。
教学难点:等号成立的条件及解题中的转化技巧。
教学过程:
一、知识学习:
定理1:如果
a

b
∈R,那么
a
2

b
2
≥2
ab
(当且仅当
a

b
时取“=”号)
证明:
a
2

b
2
-2
ab
=(
a

b

2


a

b
时,(
a

b

2
>0,当
a

b
时,(
a

b

2
=0
所以,(
a

b

2
≥0 即
a
2

b
2
≥2
ab

由上面的结论,我们又可得到
定理2(基本不等式):如果
a

b
是正数,那么

b
时取“=”
号)
2
证明:∵(
a

2
+(
b
)≥2
ab


a

b

a


b
≥2
ab
,即 ≥
ab

2
a

b
显然,当且仅当
a

b
时, =
ab


2
a

b
说明:1)我们称 为
a

b
的算术平均数,称
ab

a

b
的几何平均
2
数,因而,此定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数.

a

b
2)
a
2

b
2
≥2
ab
和 ≥
ab
成立的 条件是不同的:前者只要求
a

b

2
是实数,而后者要求
a

b
都是正数.
a


b
2

ab
(当且仅当
a
3)“当且仅当”的含义是充要条件.
4)几何意义.
二、例题讲解:
例1 已知
x

y
都是正数,求证: < br>(1)如果积
xy
是定值
P
,那么当
x

y
时,和
x

y
有最小值2
P

1< br>2
(2)如果和
x

y
是定值
S
,那么当< br>x

y
时,积
xy
有最大值
S

4
x

y
证明:因为
x

y
都是正数,所 以 ≥
xy

2
x

y
(1)积
xy
为定值
P
时,有 ≥
P

x

y
≥2
P

2
上式当
x

y
时,取“=”号,因此,当
x

y
时,和x

y
有最小值2
P
.
S
1
2
(2)和
x

y
为定值
S
时,有
xy ≤ ∴
xy

S
24
1
上式当
x=y
时取“=”号,因此,当
x=y
时,积
xy
有最大值
S
2
.
4

3



说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件:
ⅰ)函数式中各项必须都是正数;
ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数;
ⅲ)等号成立条件必须存在。
例2 :已知
a

b

c

d
都是正数,求证:

ab

cd
)(
ac

bd
) ≥4
abcd

分析:此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系,从而 正确
运用,同时加强对均值不等式定理的条件的认识.
证明:由
a

b

c

d
都是正数,得
ab

cdac

bd

ab
·
cd
>0, ≥
ac
·
bd
>0,
22

ab

cd
)(
ac
+< br>bd

∴ ≥
abcd

4
即(
ab

cd
)(
ac

bd
)≥4
abcd

例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m
3
,深为3m,如
果池底每1m
2
的造价为150元,池壁每1m
2
的造价为120元 ,问怎样设计水池能
使总造价最低,最低总造价是多少元?
分析:此题首先需要由实际问题向 数学问题转化,即建立函数关系式,然后
求函数的最值,其中用到了均值不等式定理.
解:设 水池底面一边的长度为
x
m,水池的总造价为
l
元,根据题意,得
16001600
l
=240000+720(
x
+ )≥240000+720×2
x
·
xx
=240000+720×2×40=297600
1600

x
= ,即
x
=40时,
l
有最小值297600
x
因此,当水 池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总
造价是297600元.
评 述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数
解析式的建立,又是不等式性质 在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条
件.
三、课堂练习:课本P
91
练习1,2,3,4.
四、课堂小结:
通过本节学习,要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
数的定理,并会应用它证明 一些不等式及求函数的最值,,但是在应用时,应注
意定理的适用条件。
五、课后作业
课本P
10
习题1.1第5,6,7题
六、教学后记:


4



课题:第03课时 三个正数的算术-几何平
均不等式
教学目标:
1.能利用三个正数的算术- 几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决最
值问题;
2.了解基本不等式的推广形式。
教学重点:三个正数的算术-几何平均不等式
教学难点:利用三个正数的算术- 几何平均不等式证明一些简单的不等式,解决
最值问题
教学过程:
一、知识学习:
定理3:如果
a,b,c?R
?
,那么
成立。
a?a
2
???a
n
推广:
1

n
a
1
a
2
?a
n
。当且仅当
a
1
?a
2
???a
n
时,等号成立。
n
语言表述:n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
思考:类比基本不等 式,是否存在:如果a,b,c?R
?
,那么
a
3
?b
3< br>?c
3
?3abc
(当
且仅当
a?b?c
时,等号成 立)呢?试证明。
二、例题分析:
3
例1:求函数
y?2x
2
?(x?0)
的最小值。
x
2
12312
2
解一:
y?2x??2x???33
2x
2
???3
3
4

y
min< br>?3
3
4

3
xxxx
3
3
x12
22
3
2
解二:
y?2x??22x??26x

2x?

x?

3
xx
2
x
12

y
min
? 26??23
3
12?2
6
324

2
上述两种做法哪种是错的?错误的原因是什么?
1
变式训练1
若a,b?R
?
且a?b,求a?
的最小值。
(a?b)b
由此题,你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________
a?b?c
3
?abc
。当且仅当
a?b?c
时,等号
3
例2 :如下图,把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形,
再把它的边沿 名着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少
时,才能使盒子的容积最大?






5



变式训练2 已知:长方体的全面积为定值S,试问这个长方体的长、宽、高
各是多少时, 它的体积最大,求出这个最大值.
由例题,我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 _ _______,三者缺一不可。另
外,由不等号的方向也可以知道:积定____________, 和定______________.
三、巩固练习
12
(x?0)
的最小值是 ( )
2
x
A.6 B.
66
C.9 D.12
16
2.函数
y?4x
2
?
2
的最小值是____________
2
(x?1)3.函数
y?x
4
(2?x
2
)(0?x?2)
的最大 值是( )
1632
A.0 B.1 C. D.
2727
xyz
2
4? 4?4
4.(2009浙江自选)已知正数
x,y,z
满足
x?y?z?1< br>,求的最小值。
111
5(2008,江苏,21)设
a,b,c
为 正实数,求证:
3
?
3
?
3
?abc?23

abc
四、课堂小结:
1.函数
y?3x?
通过本节学习,要求大 家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
数的定理,并会应用它证明一些不等式及求函数的最 值,,但是在应用时,应注
意定理的适用条件。
五、课后作业
P
10
习题1.1第11,12,13题
六、教学后记:














6



课题:第04课时 绝对值三角不等式
教学目标:
1:了解绝对值三角不等式的含义,理解绝对值三角不等式公式及推导方法,
会进行简
单的应用。
2:充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法,体会转化和数
形结合的数学思想,并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证
明。
教学重点:绝对值三角不等式的含义,绝对值三角不等式的理解和运用。
教学难点:绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。
教学过程:
一、复习引入:
关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式, 另一类
是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。
1.请同学们回忆一下绝对值的意义。
?
x,如果x?0
?

x?
?
0,如果x?0

?
?x,如果x?0
几何意义:在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
?
2.证明一个 含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质
之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、 积、商的性质:
(1)
a?a
,当且仅当
a?0
时等号成立,a??a.
当且仅当
a?0
时等号成
立。
(2)
a?a
2
, (3)
a?b?a?b
, (4)
那么
a?b?a?b?a?b?a?b?

二、讲解新课:


结论:
a?b≤a?b
(当且仅当
ab≥0
时,等号成立.) 已知
a,b
是实数,试证明:
a?b≤a?b
(当且仅当
ab≥ 0
时,等号成立.)
方法一:证明:1
0
.当
ab
≥0时, 2
0
. 当
ab
<0时,
ab??|ab|,

ab?|ab|,
2
|a?b|?(a?b)

|a?b|?(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2

22
?a?2ab?b

?|a|
2
?2|ab|?|b|
2


a
b
?
a
(b?0)

b
探究:
a,b,a?b
,
a?b
之间的什么关系?
?|a|< br>2
?2|a||b|?|b|
2
?(|a|?|b|)
2
?| a|?|b|
7
?|a|
2
?2|a||b|?|b|
2
?(|a|?|b|)
2
?|a|?|b|



综合1
0
, 2
0
知定理成立.
方法二:分析法,两边平方(略)
定理1 如果
a,b
是实数,则
a?b≤a?b
(当且仅当
ab≥0
时,等号成立.)
?
?(1)若把
a,b
换为向量
a,b
情形又怎样呢?


a?b
a





ab
a?b


根据定理1,有
a?b??b?a?b? b
,就是,
a?b?b?a
。 所以,
a?b?a?b。
定理(绝对值三角形不等式)
如果
a,b
是实数,则
a?b≤a?b≤a?b

注:当
a,b
为复数或向量时结论也成立.
推论1:
a
1
?a
2
??a
n
≤a
1
?a
2
? ?a
n

推论2:如果
a、b、c
是实数,那么
a?c≤a ?b?b?c
,当且仅当
(a?b)(b?c)≥0
时,等号成立.
思考:如何利用数轴给出推论2的几何解释?
(设A,B,C为数轴上的3个点,分别表示数 a,b,c,则线段
AB?AC?CB.
当且仅当C在A,B之间时,等号成立。这就是上面的 例3。特别的,取c=0(即
C为原点),就得到例2的后半部分。)
三、典型例题:
例1、已知
x?a?
cc
,y?b?
,求证
(x?y)?(a?b)?c.

22
证明
(x?y)?(a?b)?(x?a)?(y?b)

?x?a?y?b
(1)
cc
?x?a?,y?b?

22
cc
x?a?y?b???c

22
(2)
由(1),(2)得:
(x?y)?(a?b)?c

aa
例2、已知
x?,y?.
求证:
2x?3y?a

a
4
a
6
aa
证明
?x?,y?
,∴
2x?,3y?

4622

8



aa
??a

22
注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写
由例1及上式,
2x?3y? 2x?3y?
法,只能用于不等号方向相同的不等式。
例3 两个施工队分别被安排在公路 沿线的两个地点施工,这两个地点分别
位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两 个施工队的共同
临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工
队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?
解:如果生活区建于公路路碑的第 x km处,两施工队每天往返的路程之和为
·
·
那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
x
10
S(x)km
四、课堂练习:
1.(课本
P
20
习题1.2第1题)求证:

a?b?a?b≥2a
;⑵
a?b?a?b≤2b

2. (课本P
19
习题1.2第3题)求证:
·
20


x?a?x?b≥a?b
;⑵
x?a?x?b≤a?b

cc
3.(1)、已知
A?a?,B?b?.
求证:
(A?B)?(a?b) ?c

22
cc
(2)、已知
x?a?,y?b?.
求证 :2x?3y?2a?3b?c。
46
五、课堂小结:
a
的绝对值的意义1.实数:
(a?0)
?
a
?

a?
?
0(a?0)
;(定义)
?
?a(a?0)

a
的几何意义:
?
2.定理(绝对值三角形不等式)
如果
a,b
是实数,则
a?b≤a?b≤a?b
注意取等的条件。
六、课后作业:课本P
19
第2,4,5题


七.教学后记:







9



课题:第05课时 绝对值不等式的解法
教学目标:
1:理解并掌握x?a与x?a(a?0)型不等式的解法.
2:掌握
ax?b?c与ax?b?c(c?0)
型不等式的解法.
教学重点:
x?a与x?a(a?0)
型不等式的解法.
教学难点:把绝对值不等式转化为一次不等式(组)来求解.
教学过程:
一、复习引入:
在初中课程的学习中,我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定
的了解。
请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即
?
x,如果x?0
?

x?
?
0,如果x?0

?
?x,如果x?0
在此基础上,本节讨论含有绝对值的不等式。
?
二、新课学习:
关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式 ,另一类
是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数 的不等式(也称绝对值不等式),关键在于
去掉绝对值符号,化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的 几何意义.
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型:设a为正数。根据绝对值的意义,不等式
x?a
的解集是
{x|?a?x?a}
,它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开
区间(-a,a),如图所示。


图1-1
如果给定的不等式符合上述形式,就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型:设a为正数。根据绝对值的意义,不等式
x?a
的解集是
{< br>x|
x?a

x??a
},它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 a的点的集合
是两个开区间
(??,?a),(a,?)
的并集。如图1-2所示。




a

a


10



图1-2
同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解。
3、
ax?b?c

ax?b?c
型不等式的解法。
ax?b?c??c?ax?b?c

ax?b?c?ax?b??c或ax?b?c
4、
x?a?x?b?c

x?a?x?b?c
型不等式的解法。( 三种思路)
三、典型例题:
例1、解不等式
3x?1?x?2

例2、解不等式
3x?1?2?x

方法1:分类讨论。
方法2 :依题意,原不等式等价于
3x?1?2?x

3x?1?x?2
,然后去解 。
例3、解不等式2x?1?3x?2?5。
例4、解不等式
x?2?x?1?5

解:本题可以按照例3的方法解,但 更简单的解法是利用几何意义。原不等
式即数轴上的点x到1,2的距离的和大于等于5。因为1,2的 距离为1,所以
x在2的右边,与2的距离大于等于2(=(5-1)
?2)
;或者x 在1的左边,
与1的距离大于等于2。这就是说,
x?4

x??1.

例5、不等式 x?1?x?3>
a
,对一切实数
x
都成立,求 实数
a
的取值范围。
四、课堂练习:解下列不等式:
1、
22x?1?1.
2、
41?3x?1?0
3、
3?2x?x?4
.
4、
x?1?2?x
. 5、
x
2
?2x?4?1
6、
x
2
?1?x?2
.
7、
x?x?2?4
8、
x?1?x?3?6.
9、
x?x?1?2

10、
x?x?4?2.

五、课后作业:课本20第6、7、8、9题。
六、教学后记:









11



第二讲 证明不等式的基本方法
课题:第01课时 不等式的证明方法之一:
比较法
教学目标:能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
教学重、难点:能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
教学过程:
一、新课学习:
要比较两个实数的大小,只要考察它们的差的符号即可,即利用不等式的性
质:
a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

二、典型例题:
例1、设
a,b
都 是正数,且
a?b
,求证:
a
3
?b
3
?a
2
b?ab
2

例2、若实数
x?1
,求证:
3(1?x
2
?x
4
)?(1?x?x
2
)
2.

证明:采用差值比较法:
3(1?x
2
?x
4< br>)?(1?x?x
2
)
2

=
3?3x
2
?3x
4
?1?x
2
?x
4
?2x?2x
2
?2x
3

=
2(x
4
?x
3
?x?1)

=
2(x?1)
2
(x
2
?x?1)

13
=
2(x?1)
2
[(x?)
2
?].

241
2
3
2
?x?1,从而(x?1)?0,且(x?)??0,

24
1
2
3
2

2(x?1)[(x?)?]?0,

24
2224

3(1?x?x)?(1?x?x).

讨论:若题设中去掉
x?1
这一限制条件,要求证的结论如何变换?
例3、 已知
a,b?R
?
,
求证
a
a
b
b
?a
b
b
a
.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于
a,b
对称,不妨设
a?b?0.

?a?b?0
,从而原不等式得证。
abbabba?ba?b
?ab?a b?ab(a?b)?0
2)商值比较法:设
a?b?0,

a
a< br>b
b
a
a
?
?1,a?b?0,

?
ba
?()
a?b
?1.
故原不等式得证。
b
ab
b
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m

走,另一半时间以速度
n
行走;乙有一半路程以速度
m行走,另一半路程以速度

12



n
行走。如果
m?n
,问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析:设 从出发地点至指定地点的路程是
S
,甲、乙两人走完这段路程所用的
时间分别为
t
1
,t
2
。要回答题目中的问题,只要比较
t
1
,t
2
的大小就可以了。
解:设从出发地点至指定地点的路程是
S
,甲、乙两人走完这段路程所用的
tt
SS2S
时间分别为
t
1< br>,t
2
,根据题意有
1
m?
1
n?S
,,< br>??t
2
,可得
t
1
?
22
2m2nm?n
S(m?n)

t
2
?
2mn
2SS(m?n)
S[4mn?(m?n)
2
]S(m?n)
2
从而
t
1
?t
2
?

?
???
m?n2mn
2(m?n)mn2(m?n)mn
其中
S,m,n
都是正数,且
m?n。于是
t
1
?t
2
?0
,即
t
1?t
2

从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论:如果
m?n
,甲、乙两人谁先到达指定地点?
三、课堂练习:
1.比较下面各题中两个代数式值的大小:
(1)
x
2

x
2
?x?1
;(2)
x
2
?x?1

( x?1)
2
.
2a
2.已知
a?1.
求证:(1)
a
2
?2a?1;

a
(2)
?1.

2
?b?c
1?a
3. 若
a?b?c?0
,求证
a
a
b
b
c
c< br>?(abc)
3
.

四、课时小结:
比较法是证明不等式的 一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的
步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号。“变形 ”是解题的关键,是最重一步。
因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
五、课后作业:
课本23页第1、2、3、4题。
六、教学后记:









13



课题:第02课时 不等式的证明方法之二:
综合法与分析法
教学目标:
1、结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综
合法。
2、了解分析法和综合法的思考过程。
教学重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程。
教学难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方
法。
教学过程:
一、引入:
综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法,也是不等式证明中的基
本方法。由
于两者在证明思路上存在着明显的互逆性,这里将其放在一起加以认识、学习,
以便于对比研究两种思 路方法的特点。
所谓综合法,即从已知条件出发,根据不等式的性质或已知的不等式,逐步
推导出要证
的不等式。而分析法,则是由结果开始,倒过来寻找原因,直至原因成为明显的
或者在已知中。前一种 是“由因及果”,后一种是“执果索因”。打一个比方:张
三在山里迷了路,救援人员从驻地出发,逐步 寻找,直至找到他,这是“综合法”;
而张三自己找路,直至回到驻地,这是“分析法”。
二、典型例题:
例1、已知
a,b,c?0
,且不全相等。求证:

a(b
2
?c
2
)?b(c
2
?a
2
)?c(a
2
?b
2
)?6abc

分析:用综合法。
例2、设
a?0,b?0
,求证
a
3< br>?b
3
?a
2
b?ab
2
.

证法一 分析法
要证
a
3
?b
3
?a
2
b?ab
2
成立.
只需证
(a?b)(a
2
? ab?b
2
)?ab(a?b)
成立,又因
a?b?0

只需证
a
2
?ab?b
2
?ab
成立,又需证
a< br>2
?2ab?b
2
?0
成立,
即需证
(a?b)< br>2
?0
成立.而
(a?b)
2
?0
显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法

(a?b)
2
? 0?a
2
?2ab?b
2
?0?a
2
?ab?b
2
?ab

14



注意到
a?0,b?0
,即
a?b?0

由上式即得
(a ?b)(a
2
?ab?b
2
)?ab(a?b)
,从而
a< br>3
?b
3
?a
2
b?ab
2
成立。
议一议:根据上面的例证,你能指出综合法和分析法的主要特点吗?
a?ma
例3、已知a,b,m都是正数,并且
a?b.
求证:
?.
(1)
b?mb
证法一 要证(1),只需证
b(a?m)?a(b?m)
(2)
要证(2),只需证
bm?am
(3)
要证(3),只需证
b?a
(4)
已知(4)成立,所以(1)成立。
上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。
证法二 因为
b?a,m
是正数,所以
bm?am
两边同时加上
ab

b(a?m)?a(b?m)
两边同时除以正数b(b?m)
得(1)。
例4、证明:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的 周长相等,
那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析:当水的流速相同时 ,水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截
2
L
?
L
?
面的周长为
L
,则周长为
L
的圆的半径为,截面积为;周长为
L< br>的正
?
??
2
22
2
?
?
?
?
L
L
?
L
?
?
L
?
?
?
2
方形为,截面积为
??
。所以本题只需证明
?
??< br>?
??

2
4
4
2
?
??
???
4
?
L
??
证明:设截面的周长为
L
,则 截面是圆的水管的截面面积为
?
??
,截面
2
22
?
L
?
?
L
??
L
?
?
2
??
是正方形的水管的截面面积为
??
。只需证明:
?
??
?
??

22
4
2
?
??
?
L
???
4
?
L
为了证明上式成立,只需证明
2
?

16
?
41
4
1
两边同乘以正数
2< br>,得:
2
?
。因此,只需证明
4?
?

2
4
L
?
L
?
??
L
?
上式显然成 立,所以
?
??
?
??

?
2
???
4
?
这就证明了:通过水管放水,当流速相同时,如果水管横截面的周长相等 ,
那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
例5、证明:
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca

证法一: 因为
a
2
?b
2
?2ab
(2)

b
2
?c
2
?2bc
(3)

c
2
?a
2
?2ca
(4)
所以三式相加得
2(a
2
?b
2
?c
2< br>)?2(ab?bc?ca)
(5)
两边同时除以2即得(1)。
证法二:
a
2
?b2
?c
2
?(ab?bc?ca)?
111
(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?0,

222
所以(1)成立。
例6、证明:
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
. (1)

15



证明 (1)
?
(a
2
?b
2
)(c
2
?d2
)?(ac?bd)
2
?0
(2)
(3) < br>?
a
2
c
2
?b
2
c
2
? a
2
d
2
?b
2
d
2
?(a
2< br>c
2
?2abcd?b
2
d
2
)?0
b
2
c
2
?a
2
d
2
?2abcd? 0
(4)
?

(bc?ad)
2
?0
(5)
?

(5)显然成立。因此(1)成立。
例7、已知
a, b,c
都是正数,求证
a
3
?b
3
?c
3
?3abc.
并指出等号在什么时候
成立?
分析:本题可以考虑利用因式分解公式

a
3
?b
3
?c
3
?3ab c?(a?b?c)(a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?c a)
着手。
证明:
a
3
?b
3
?c
3
?3abc

=
(a?b?c)(a
2
?b
2
?c
2
?ab?b c?ca)

1
=
(a?b?c)[(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
].

2
由于
a,b,c
都是正数,所以
(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
?0

a?b?c?0.

可 知
a
3
?b
3
?c
3
?3abc?0


a
3
?b
3
?c
3
?3abc
(等号在
a?b?c
时成立)
探究:如果将不等式
a
3< br>?b
3
?c
3
?3abc
中的
a
3
,b
3
,c
3
分别用
a,b,c
来代替,
并在两边 同除以3,会得到怎样的不等式?并利用得到的结果证明不等式:

(1?a?b)( 1?b?c)(1?c?a)?27
,其中
a,b,c
是互不相等的正数,且
abc?1
.
三、课堂小结:
解不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不 等式的两边同时加上
(或减去)一个数或代数式,移项,在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式,得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法,也是利
用综合法和分析法证 明不等式时常常用到的技巧。
四、课堂练习:
1
?2.

x
114
.
2、已知
x?0,y?0,x?y,
求证??
xyx?y
3、已知
a?b?0,
求证
a?b?a?b.< br>
1、已知
x?0,
求证:
x?
4、已知
a?0,b ?0.
求证:
(1)
(a?b)(a
?1
?b
?1
)?4.
(2)
(a?b)(a
2
?b
2
)(a
3
?b
3
)?8a
3
b
3
.

5、已知
a,b,c,d
都是正数。求证:
a?b?c?da?b?c?d
4
?abcd.

?ab?cd;
(2)(1)
4
2
6、已知
a,b,c
都是互不相等的正数,求证
(a?b?c)(ab?bc?ca)?9abc.


16



五、课后作业:
课本25页第1、2、3、4题。
六、教学后记:
课题:第03课时 不等式的证明方法之三:
反证法
教学目标:
通过实例,体会反证法的含义、过程与 方法,了解反证法的基本步骤,会用反证法证
明简单的命题。
教学重点:体会反证法证明命题的思路方法,会用反证法证明简单的命题。
教学难点:会用反证法证明简单的命题。
教学过程:
一、引入:
前面所 讲的几种方法,属于不等式的直接证法。也就是说,直接从题设出发,经过一系
列的逻辑推理,证明不等 式成立。但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这
时可考虑采用间接证明的方法。所谓间 接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性,而是
证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真 ,以间接地达到目的。其中,反证法是
间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明:若肯定命 题的条件而否定其结论,就会导致矛盾。具体地说,反证
法不直接证明命题“若p则q”,而是先肯定命 题的条件p,并否定命题的结论q,然后通过
合理的逻辑推理,而得到矛盾,从而断定原来的结论是正确 的。
利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤:
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论;
第二步 作出与所证不等式相反的假定;
第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果;
第四步 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等式成立。
二、典型例题: 例1、已知
a?b?0
,求证:
n
a?
33
n
b

n?N

n?1

例1、设
a?b?2
,求证
a?b?2.

证明:假设
a?b?2
,则有
a?2?b
,从而

17




a
3
?8?12 b?6b
2
?b
3
,
a?b?6b?12b?8?6(b?1)?2 .
2
3322

3333
因为
6(b?1)?2? 2
,所以
a?b?2
,这与题设条件
a?b?2
矛盾,所以,
原不等式
a?b?2
成立。
例2、设二次函数
f(x)?x?px?q< br>,求证:
f(1),f(2),f(3)
中至少有一个不小

2
1
.
2
1
,则
2
证明:假设
f(1),f(2),f(3)
都小于

f(1)?2f(2)?f(3)?2.
(1)
另一方面,由绝对值不等式的性质,有

f( 1)?2f(2)?f(3)?f(1)?2f(2)?f(3)
?(1?p?q)?2(4?2p?q )?(9?3p?q)?2
(2)
(1)、(2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。
注意:诸如本例中的问题,当要 证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通
常采用反证法进行。
议一议:一般来说 ,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推
出的结果与已知公理、定义、定理或已 知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情
况。试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手段、方法有 什么特点?
例3、设0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于
证:设(1 ? a)b >
1

4
111
, (1 ? b)c >, (1 ? c)a >,
444
1

64
2
则三式相乘:ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <
1
?
(1?a)?a
?
又∵0 < a, b, c < 1 ∴
0?(1?a)a?
?

?
?
24
??
同理:
(1?b)b?
11
,
(1?c)c?

44
1
与①矛盾∴原式成立
64
以上三式相乘: (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤
例4、已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求证:a, b, c > 0
证:设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = ?a > 0

18



∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又:若a = 0,则与abc > 0矛盾,
∴必有a > 0
同理可证:b > 0, c > 0
三、课堂练习:
1、利用反证法证明:若已知a,b,m都是正数,并且
a?b
,则
a?ma
?.

b?mb
2、设0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于1
3、若x, y > 0,且x + y >2,则
1?y
1?x
和中至少有一个小于2。
y
x
提示:反设
1?x
1?y
≥2,≥2 ∵x, y > 0,可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。
y
x
四、课时小结:利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤:
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论;
第二步 作出与所证不等式相反的假定;
第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果;
第四步 断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定不正确,于是原证不等式成立。
五、课后作业:
课本29页第1、4题。
六、教学后记:












19



课题:第04课时 不等式的证明方法之四:
放缩法
教学目标:
1.感受在什么情况下,需要用放缩法证明不等式。
2.探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。
教学重、难点:
1.掌握证明不等式的两种放缩技巧。
2.体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。
教学过程:
一、引入:
所谓放缩法,即是把要证的不等式一边适当地放大(或缩小 ),使之得出明
显的不等量关系后,再应用不等量大、小的传递性,从而使不等式得到证明的方
法。这种方法是证明不等式中的常用方法,尤其在今后学习高等数学时用处更为
广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
二、典型例题:
1111< br>例1、若
n
是自然数,求证
2
?
2
?
2?
?
?
2
?2.

23n
111
1< br>1
?
?
,k
?
2,3,4,
?
,n.
证明:
?
2
?
k1)k?1
1
k
11
k
11
(k?
111
??
?
?

?< br>2
?
2
?
2
?
?
?
2
??

1
1
1?2
1
2?3(n?1)?n
123n< br>11111
=
?(?)?(?)???(?)

1
1
1223n?1n
=
2??2.

111
n
1
注意:实际上,我们在证明2
?
2
?
2
?
?
?
2
?2< br>的过程中,已经得到一
1
1
2
1
3n
111
个更强的结论
2
?
2
?
2
???
2
?2?
,这恰恰在一定程度上体现了放缩法
n
123n
的基本思想。
1111
例2、求证:
1????
?
??3.

1 1?21?2?31?2?3???n
111
证明:由
??
k?1
,

k
是大于2的自然数)
1?2?
1
3???k
2
11
1?2?2???2
1
1

??
?
?

1??
1?
11?1?2?1 ?2?3?
?
?n
n
1
2
11
3
112

?1?1??
2
?
3
?
??
n?1
?1??3?
n?1
?3.

1
2< br>2
+
22
a
2
cbd
1?
1?????2< br> 例3、若
a
,
b
,
c
,
d
?
R
,求证:
2
a?b?db?c?ac?d?bd?a?c
abc d
???
证:记
m
= ∵
a
,
b
,
c
,
d
?
R
+

a?b? ?a?c
a
db?c?a
b
c?d?bd
cd
????1< br> ∴
m?
a
a
?b?c?da?b?c?ac?d?a?bd?a?b ?c
bcd
m?????2
∴1 < m < 2 即原式成
a?ba?bc?dd?c
立。

20



例4、当
n
> 2 时,求证:
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

证:∵
n
> 2 ∴
log
n
(n?1)?0,log
n
(n?1)?0
< br>2
2
2
??
log(n?1)?log(n?1)log(n?1)< br>??
n
?
?
n

log
n
(n ?1)log
n
(n?1)?
?
n
?

2
?
2
22
?
?
log
n
n
?
?< br>??
?1

?
?

?
2
??

n
> 2时,
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

三、课堂练习:
11111
1、设
n
为大于1的自然数,求证???
?
??.

n??2n?3
13
1n
5 2n?1
2n
1
2
2、设
n
为自然数,求证
(2? )(2?)(2?)?(2?)?.

nnnnn!
四、课时小结:
常用的两种放缩技巧:对于分子分母均取正值的分式,
(Ⅰ)如果分子不变,分母缩小(分母仍为正数),则分式的值放大;
(Ⅱ)如果分子不变,分母放大,则分式的值缩小。
五、课后作业:课本29页第2、3题。


第三讲 柯西不等式与排序不等式
课题:第1课时 二维形式的柯西不等式(一)
教学目标:认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义, 并会证明
二维柯西不等式及向量形式.
教学重点:会证明二维柯西不等式及三角不等式.
教学难点:理解几何意义.
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问: 二元均值不等式有哪几种形式? 答案:
几种变式.
a?b
?ab(a?0,b?0)

2
2. 练习:已知
a

b

c

d
为实数,求证
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)2

证法:(比较法)
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
=….=
( ad?bc)
2
?0

二、讲授新课:
1. 柯西不等式:
① 提出定理1:若
a

b

c

d为实数,则
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
.
→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号?

21



② 讨论:二维形式的柯西不等式的其它证明方法?
证法二:(综合法)
(a
2< br>?b
2
)(c
2
?d
2
)?a
2
c
2
?a
2
d
2
?b
2
c
2
?b
2
d
2


?( ac?bd)
2
?(ad?bc)
2
?(ac?bd)
2
. (要点:展开→配方)
证法三:(向量法)设向量
m?(a,b)

n?(c,d)
,则
|m|?a
2
?b
2

|n| ?c
2
?d
2
.

m?n?ac?bd
,且< br>m?n?|m||n|cos?m,n?
,则
|m?n|?|m||n|
. ∴ …..
证法四:(函数法)设
f(x)?(a
2
?b
2
)x
2
?2(ac?bd)x?c
2
?d
2
,则
f(x)?(ax?c)
2
?(bx?d)
2
≥0恒成立.

??[?2(ac?bd)]
2
?4(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)
≤0,即…..
③ 讨论:二维形式的柯西不等式的一些变式?
变式:
a
2
?b
2
c
2
?d
2
?|ac?bd|

a
2
?b
2
c
2
?d
2
?|ac|?|bd|


a
2
?b
2
?c
2
?d2
?ac?bd
.
④ 提出定理2:设
?
,
?
是两个向量,则
|
?
?
?
|?|
?
||
?
|
.
即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 )
→ 讨论:上 面时候等号成立?(
?
是零向量,或者
?
,
?
共线)
⑤ 练习:已知
a

b

c

d
为实数,求证
a
2
?b
2
?c
2
?d
2< br>?(a?c)
2
?(b?d)
2
.
证法:(分析法)平方 → 应用柯西不等式 → 讨论:其几何意义?(构
造三角形)
2. 教学三角不等式:
① 出示定理3:设
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
?R
,则
x
1
2< br>?y
1
2
?x
2
2
?y
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y2
)
2
.
分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明
→ 变式:若
x
1
,y
1
,x
2
,y2
,x
3
,y
3
?R
,则结合以上几何意义,可得到怎 样的三角
不等式?
三、应用举例:
例1:已知a,b为实数,求证
(a
4
?b
4
)(a
2
?b
2
)?(a< br>3
?b
3
)
2

说明:在证明不等式时,联系经典不 等式,既可以启发证明思路,又可以简
化运算。所以,经典不等式是数学研究的有力工具。
例题2:求函数
y?5x?1?10?2x
的最大值。
分析:利用不等式解 决最值问题,通常设法在不等式的一边得到一个常数,并寻
找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是 两部分的和,若能化为ac+bd的形
式就能用柯西不等式求其最大值。(
|ac?bd|?a
2
?b
2
?c
2
?d
2

y? 5?1?2?5?x
解:函数的定义域为【1,
x
5
?
】,且y>0
?5
2
?(2)
2
?(x?1)
2
?(5?x)< br>2

127
?5?5
4
?
?
x
时, 当且仅当
2?x?1
?

x?
时,函数取最大值
63

27?63
等号成立,
27
2442222
课堂练习:1. 证明: (x+y)(a+b)≥(ax+by)


22



2.求函数
y?3x?5?46?x
的最大值.
例3.设a,b是正实数,a+b=1,求证
1
?
1
?4

分析:注意到
1
?
1
?(a?b)(
1
?
1
)
,有了
(a?b)(?)
就可以用柯西不等式了。
四、巩固练习:
abab
ab
1
a
1
b
1. 练习:试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式
2. 已知x+2y=1, 求x
2
+y
2
的最小值.
五、课堂小结:
二维柯西不等式的代数形式、向量形式;三角不等式的两种形式(两点、
三点)
六、布置作业:P37页,4,5, 7,8,9
七、教学后记:




课题:第02课时二维形式的柯西不等式(二)
教学目标:会利用二维 柯西不等式及三角不等式解决问题,体会运用经典不等式
的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间 的关系,经过适当变形,依据经
典不等式得到不等关系.
教学重点:利用二维柯西不等式解决问题.
教学难点:如何变形,套用已知不等式的形式.
教学过程:
一、复习引入:
1. 提问:二维形式的柯西不等式、三角不等式? 几何意义?
答案:
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2

x
1
2< br>?y
1
2
?x
2
2
?y
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y2
)
2

2. 讨论:如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式,拓广到三维、四维?
3. 如何利用二维柯西不等式求函数
y?x?1?2?x
的最大值?
要点:利用变式
|ac?bd|?a
2
?b
2
?c
2
?d
2
.
二、讲授新课:
1. 最大(小)值:
① 出示例1:求函数
y?3x?1?10?2x
的最大值?
分析:如何变形?
→ 构造柯西不等式的形式

23



→ 板演
→ 变式:
y?3x?1?10?2x

→ 推广:
y?abx?c?de?fx,(a,b,c,d,e,f?R
?
)

② 练习:已知
3x?2y?1
,求
x
2
?y
2< br>的最小值.
解答要点:(凑配法)
x
2
?y
2
?
1
(x
2
?y
2
)(3
2
?2
2
)?
1
(3x?2y)
2
?
1
.
讨论:其它方法 (数形结合法)
2. 不等式的证明:
① 出示例2:若
x,y ?R
?

x?y?2
,求证:
?
要点:
1< br>?
1
?
1
(x?y)(
1
?
1
)?
1
[(
xy2xy2
x)
2
?(y)
2
] [(
1
x
131313
分析:如何变形后利用柯西不等式? (注意对比 → 构造)
)
2
?(
1
y
)
2
]?

1
x
1
?2
.
y
讨论:其它证法(利用基本不等式)
三、应用举例:
ab
② 练习:已知
a

b?R
?
,求证:
(a?b)(
1
?
1
)?4
.
1
222
例1已知a
1
,a
2
,…,a
n
都是实数,求证:
(a
1
?a
2???a
n
)
2
?a
1
?a
2
??? a
n

n
分析:用n乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
例2已知a,b,c,d是不全相等的实数,证明:a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
> ab + bc +
cd + da

分析:上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子,特别是右边式子的字母排列顺序启发我们,可以用柯西不等式进行证明。
例3、已知 x?2y?3z?1,求 x
2
?y
2
?z
2
的最小值.

分析:由
x?2y?3z?1以及 x
2
?y
2
?z
2

形式,联系柯西不等式,可 以通过构
造(1
2
+2
2
+3
2
)作为一个因式而 解决问题。
四、巩固练习:
1. 练习:教材P
37
8、9题
149
??
的最小值。
xyz
2222
2.已知a+b+c+d=1,求a+b+c+d的最小值。
练习:1.设x,y,z为正实数,且x+y+z=1,求
3.已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,求
3a?2b?c
的最大值。
选做:4.已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=6,求a+b+c的最小值。(08广
一模 )
5.已知a,b,c为正实数,且a+2b+c=1,求
莞二模)
调研)
五、布置作业:教材P
37
1、6、7题
111
??
的最小值。(08东
abc
222
6.已知x+y+z=
25
,则m=x
2
+2y
2
+z2
的最小值是____________.(08惠州

24



ab
?1
,则
x?y
的最小值.
ab
xy
要点:
x?y?(?)(x?y)?
…. → 其它证法
xy
② 若
x,y,z?R
?
,且
x?y? z?1
,求
x
2
?y
2
?z
2
的最小值. (要点:利用三维柯
① 已知
x,y,a,b?R
?
,且
?
西不等式)
变式:若< br>x,y,z?R
?
,且
x?y?z?1
,求
x?y?z
的最大值.
六、课堂小结:
比较柯西不等式的形式,将目标式进行变形,注意凑配、构造等技巧.
七、教学后记:


课题:第03课时 一般形式的柯西不等式
教学目标:
1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解其几何意义;
2.通过运用这种不等式分析解决一些问题,体会运用经典不等式的一般
方法
教学重点:一般形式柯西不等式的证明思路,运用这个不等式证明不等式。
教学难点:应用一般形式柯西不等式证明不等式。
教学过程:
一、复习引入:
定理1:(柯西不等式的代数形式)设
a,b,c,d
均为实数,则
(a< br>2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd )
2
,其中等号当且仅当
ad?bc
时成立。
定理2:(柯西不等 式的向量形式)设
?

?
为平面上的两个向量,则
其中等号当且仅当 两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)
|
?
|?|
?
|?|< br>?
?
?
|

时成立。
定理3:(三角形不等式)设
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
,x< br>3
,y
3
为任意实数,则:
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?(x
2
?x
3
)
2
?(y
2
?y
3< br>)
2
?(x
1
?x
3
)
2
?(y< br>1
?y
3
)
2

二、讲授新课:
类似的,从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量
的坐标代 入,可得到
(a
1
?a
2
?a
3
)(b
1
?b
2
?b
3
)?(a
1
b
1
? a
2
b
2
?a
3
b
3
)
2
当且仅当 α , β 共线时,
222222
这就是三维形式的柯西不等式.
吗?
即 β?0 ,或存在一个实数k,使得a
i
?kb
i
(
i
?1,2,3)时,等号成立.
对比二维形式和三维形式的柯西不等式,你能猜 想出一般形式的柯西不等式

25



定理4:(一般形式的 柯西不等式):设
n
为大于1的自然数,
a
i
,b
i

i?
1,
n

(a
1
2
?a
2
2
?
2,…,为任意实数,则:
a
n
2
)(b< br>1
2
?b
2
2
?b
n
2
)?(a< br>1
b
1
?a
2
b
2
?a
n
b
n
)


?
a
i
i?1
n< br>2
?
b
i
?(
?
a
i
b
i
)
2
,其中等号当且仅当
2
i?1i?1
n
nn< br>a
i
?0
时,约定
b
i
?0

i?
1,2,…,
n
)。
b
b
1
b
2
????
n
时成立(当
a
1
a
2
a
n< br>证明:构造二次函数:
f(x)?(a
1
x?b
1
)
2
?(a
2
x?b
2
)
2
???(a
n< br>x?b
n
)
2

即构造了一个二次函数:
f (x)?(
?
a
i
2
)x
2
?2(
?a
i
b
i
)x?
?
b
i
2

由于对任意实数
x

f(x)?0
恒成立,则其
??0
即:
??4(
?
a
i
b
i
)2
?4(
?
a
i
2
)(
?
b
i
2
)?0

即:
(
?
a
i
b
i
)
2
?(
?
a
i
2
)(
?
b
i
2
)

等号当且仅当
a
1x?b
1
?a
2
x?b
2
???a
n
x?b
n
?0

即等号当且仅当
b
1
?
b
2
???
b
n
时成立(当
a
i
?0时,约定
b
i
?0

i?
1,2,…,
a1
a
2
a
n
n
)。
如果
a
i

1?i?n
)全为0,结论显然成立。
三、应用举例:
例3 已知a
1
,a
2
,…,a
n
都是实数,求证:
1
(a
1
?a
2
???a< br>n
)
2
?a
1
2
?a
2
2
???a
n
2

分析:用n乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
例4已知a,b,c,d是不全相等的实数,证明:a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
> ab + bc +
cd + da
分析:上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子,特别是右边式子的字
母排 列顺序启发我们,可以用柯西不等式进行证明。

例5、已知 x?2y?3z?1,求 x
2
?y
2
?z
2
的最小值.
n
i?1 i?1i?1
n
i?1i?1i?1
nn
nnn
i?1
n< br>i
n
?1i?1

分析:由
x?2y?3z?1以及 x
2
?y
2
?z
2

形式,联系柯西不等式,可 以通过
构造(1
2
+2
2
+3
2
)作为一个因式而 解决问题。
四、巩固练习:
练习:1.设x,y,z为正实数,且x+y+z=1,求1
?
4
?
9
的最小值。
2.已知a+b +c+d=1,求a
2
+b
2
+c
2
+d
2
的最小值。
xyz
3.已知a,b,c为正实数,且a+2b+3c=9,求
3a?2b?c
的最大值。
选做:4.已知a,b,c为正实数,且a
2
+2b
2
+3c
2< br>=6,求a+b+c的最小值。(08广
一模)
5.已知a,b,c为正实数,且a+2b+c=1,求
莞二模)
调研)
111
??
的最小值。(08东
abc
6.已知x+y +z=
25
,则m=x
2
+2y
2
+z
2
的最小值是____________.(08惠州

26



五、课堂小结:重点掌握三维柯西不等式的运用。
六、布置作业:P41习题3.2 2,3,4,5
七、教学后







课题:第04课时 排序不等式
教学目标:
1. 了解排序不等式的基本形式,会运用排序不等式分析解决一些简单
问题;
2. 体会运用经典不等式的一般思想方法
教学重点:应用排序不等式证明不等式
教学难点:排序不等式的证明思路
教学过程
一、复习准备:
1. 提问: 前面所学习的一些经典不等式? (柯西不等式、三角不等式)
2. 举例:说说两类经典不等式的应用实例.
二、讲授新课:
1. 教学排序不等式:
① 看书:P
41
~P
44
.
如 如图, 设
?AOB?
?
,自点
O
沿
OA
边依次取
n
个点
A
1
,A
2
,

OB
边依次取取
n
个点
B
1
,B
2
,
某个点B
j
连接,得到
?AOB
ij
,这样一一搭配,一共可得到

n
个三角形。显然,不同的搭配方法,得到的
?AOB
ij

不同,问:
OA
边上的点与
OB
边上的点如何搭配,才能使
n
个三角形的
面积和最大(或最小)?





27
,A
n

,B
n
,在
OA
边取某个点
A
i

OB






OA
i
?a
i
,OB
j
?b
j
(i,j?1,2,,n)
,由已知条件 ,得

a
1
?a
2
?a
3
?
以归结为
代数问题:
设c
1
,c
2
,,c
n
是数组b
1
,b
2
,,b
n
的任何一个排列,

S?a
1
c
1
?a
2
c
2
??a
nc
n

何时取最大(或最小)值?
我们把
S?a
1
c
1
?a
2
c
2
??a
n
c
n
叫做数组
(a
1
,a
2,,a
n
)

(b
1
,b
2
,,b< br>n
)
的乱序和.
?a
n
,b
1
?b
2
?b
3
??b
n

因为
?AOB
ij
的面积是 ,而 是常数,于是,上面的几何问题就可
其中,
S
1
?a
1
b
n
?a
2
b
n?1
?a
3
b< br>n?2
?

S
2
?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3< br>?
何?
?a
n
b
1
称为 序和.
?a
n
b
n
称为 序和.这样的三个和大小关系如
设有两个有序实数组:
a
1
?a
2
?
···
?a< br>n
;
b
1
?b
2
?
···
?bn

c
1
,c
2
,
···
c
n

···
,b
n
的任一排列,则有
b
1
,b
2

··+
a
n
b
n
(同序和)
?a
1
c
1
?a
2
c
2
+··· +
a
n
c
n
(乱序
a
1
b
1< br>?a
2
b
2
?
·
和)
?a
1
b
n
?a
2
b
n?1
+···+
a
n< br>b
1
(反序和)
当且仅当
a
1
?a
2
?
···=
a
n

b
1
?b
2
?
···=
b
n
时,反序和等于同序和.
(要点:理解其思想,记住其形式)
三、应用举例:
例1:设
a
1
,a
2
,???,a
n

n
个互不相同的正整数,求证:
1?
a
a
a
3
111
???????a
1
?
2
?
2
?????
n
2
23n23n< br>2
.
分析:如何构造有序排列? 如何运用套用排序不等式?
证明过程:

b
1
,b
2
,???,b
n< br>是
a
1
,a
2
,???,a
n
的一个排列, 且
b
1
?b
2
?????b
n
,则
b1
?1,b
2
?2,???,b
n
?n
.
111
?
2
?????
2
,由排序不等式,得
2
23n
aab
n

a
3n
2

a
1
?
2
?
2
?????
2
?b
1
?
b
2
2
?
b
3
??????
23n23
2
n
2

1?
小结:分析目标,构造有序排列.
四、巩固练习:
1. 练习:教材P
45
1题
2.已知
a,b,c
为正数,求证:< br>2(a
3
?b
3
?c
3
)?a
2
( b?c)?b
2
(a?c)?c
2
(a?b)
.
解 答要点:由对称性,假设
a?b?c
,则
a
2
?b
2
?c
2

于是
a
2
a?b
2
b?c
2
c?a
2
c?b
2
a?c
2
b

a
2
a?b
2
b?c
2
c?a
2
b?b
2
c?c
2
a

两式相加即得.
五、课堂小结:排序不等式的基本形式.

28



六、布置作业:教材P
45
3、4题
七、教学后记:








第四讲 数学归纳法证明不等式
课题:第01课时 数学归纳法(一)
教学目标:
1.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的
数学命题;
2. 进一步发展猜想归纳能力和创新能力,经历知识的构建过程, 体会类比
的数学思想。
教学重点:数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。
教学难点:数学归纳法中递推思想的理解。
教学过程:
一、创设情境,引出课题
(1)不完全归纳法:
今天早上,我曾疑惑,怎么一中(永昌一中)只招男生吗?因为清晨我 在学
校门口看到第一个进校园的是男同学,第二个进校园的也是男同学,第三个进校
园的还是男 同学。于是得出结论:学校里全部都是男同学,同学们说我的结论对
吗?
(这显然是一个错误的结论,说明不完全归纳的结论是不可靠的,进而引出
第二个问题)
(2)完全归纳法:
一个火柴盒,里面共有五根火柴,抽出一根是红色的,抽出第二根也是红 色
的,请问怎样验证五根火柴都是红色的呢?
(将火柴盒打开,取出剩下的火柴,逐一进行验证。)
注:对于以上二例的结果是非常明显的,教学中主要用以上二题引出数学归

29



纳法。
结论:不完全归纳法→结论不可靠;完全归纳法→结论可靠。
问题:以上问题都是与正整数有 关的问题,从上例可以看出,要想正确的解
决一个与此有关的问题,就可靠性而言,应该选用第几种方法 ?(完全归纳法)
情境一:(播放多米诺骨牌视频)
问:怎样才能让多米诺骨牌全部倒下?
二、讲授新课:
探究一:让所有的多米诺骨牌全部倒下,必须具备什么条件?
条件一:第一张骨牌倒下;
条件二:任意相邻的两张骨牌,前一张倒下一定导致后一张倒下。
探究二:同学们在看完多米诺骨牌视频后,是否对怎样证明
n(n?1)(2n?1)
1
2
?2
2
?3
2
?…+n
2
?
有些启发?
6
2
n(n?1)(2n?1)
22
1?2?3?… +n
2
?
得出结论:证明的两个步骤:
6
(1)证明当
n?1
时,命题成立;
(2)假设当
n? k(k?1,k?N
*
)
时命题成立,证明当
n?k?1
时命题也成 立。
一般地,证明一个与正整数
n
有关的命题,可按下列步骤进行:
(1 )(归纳奠基)证明当
n
取第一个值
n
0
(n
0
? N
*
)
时命题成立;
(2)(归纳递推)假设
n?k(k?n0
,k?N
*
)
时命题成立,证明当
n?k?1
时,< br>命题也成立。
只要完成以上两个步骤,就可以判定命题对从
n
0
开始 的所有正整数
n
都成
立。
上述方法叫做数学归纳法。
三、应用举例:
例1用数学归纳法证明:
1?3?5?…+(2n-1)=n
2

证 明:(1)当
n?1
时,左边
?1
,右边
?1
2
? 1
,等式成立;
(2)假设当
n?k
(k≥1,k
?
N* )时,
1?3?5?…+(2k-1)=k
2
,那么:
1?3?5?…+( 2k-1)+(2k+1)=
[1?2(k?1)?1](k?1)

?(k?1)< br>2
,则当
n?k?1
时也成立。
2
*
根据(1)和( 2),可知等式对任何
n?N
都成立。
须利用
n?k
的归纳假设,
注:①对例1,首先说明在利用数学归纳法证题时,当
n?k?1
时的证明必
例2:用数学归纳法证明求证:
n
3
?5n(n?N
?
)
能 被6 整除.
[证明]:
1?
. 当
n?1
时,1
3
+5×1=6能被6整除,命题正确;
2?
. 假设
n?k
时命题正确,即
k
3
?5k
能被6整除, ∴当
n?k?1
时,
(k?1)
3
?5(k?1)?(k
3
?3k
2
?3k?1)?(5k?5)?(k
3
?5k)


30



?3k(k?1)?6

∵两个连续的整数的乘积
k(k?1)
是偶数,
?3k(k?1)
能被6整除 ,
?(k
3
?5k)?3k(k?1)?6
能被6整除,即当
n? k?1
时命题也正确,

1?,2?
知命题时
n?N
?
都正确.
即:当
n?k?1
时,等式成立。
根据(1)和(2),可知等式对任何
n?N
*
都成立。
注:上例可让学生独立完成,教师板书写现完整过程,以突出数学归纳法证题的
一般步骤。
四、巩固练习:P50练习题 第1、2题
五、课堂小结:
问:今天我们学习了 一种很重要的数学证明方法,通过本节课的学习,你有
哪些收获?(学生总结,教师整理)
1、数学来源于生活,生活中有许多形如“数学归纳法”这样的方法等着我
们去发现。
2、数学归纳法中蕴含着一种很重要的数学思想:递推思想;
3、数学归纳法一般步骤:


验证
n?n
0
时命题成

n?k(k ?n
0
,k?N)
时命题成
*
立,证明当
n?k?1
时命题也
成立


归纳奠基 归纳递推




?
命题对从
n
0
开始所有的正整数
n
都成立
4、应用数学归纳法要注意以下几点:
(1)第一步是基础,没有第一步,只有第二步就如空中楼阁,是不可靠的;
(2)第二步是证明传递性,只有第一步,没有第二步,只能是不完全归纳
法;
(3 )n
0
是使命题成立的最小正整数,n
0
不一定取1,也可取其它一些正整数 ;
(4)第二步的证明必须利用归纳假设,否则不能称作数学归纳法。
六、布置作业:P50练习题 第1、2、3题
七、教学后记:



31



课题:第02课时 数学归纳法(二)
教学目标:
1.
掌握数学归纳法的证明步骤,熟练表达数学归纳法证明过程.
2.
对数学归纳法的认识不断深化.
3.
掌握数学归纳法的应用:
教学重点:解数学归纳法的实质意义,掌握数学归纳法的证题步骤
教学难点:数学归纳法证题有效性的理解
教学过程:
一、复习回顾:
数学归纳法两大步:

i)归纳奠基:证明当
n
取第一个值
n
0
时命题成立;

ii
)归纳递推:假设
n
=
k

k

n
0

k
∈N*) 时命题成立,证明当
n
=
k
+1时
命题也成立. 只要完成这两个步 骤,就可以断定命题对从
n
0
开始的所有正整数
n
都成立.
练习:
1已知
f(n)?1?3?5??
?
2n?1
?< br>,n?N
*
,猜想
f(n)
的表达式,并给出证明?
过程:试值
f(1)?1

f(2)?4
,…,→ 猜想
f(n)?n
2
→ 用数学归纳法证明.
2. 练习:是否存在常 数
1?3?2?4?3?5?......?n(n?2)?
a

b

c
使得等式
的结论.
二、讲授新课:
1. 教学数学归纳法的应用:
例1:求证
1????????
设出发?
12
11
34
1
试证明你
n(an
2
?bn?c )
对一切自然数
n
都成立,
6
分析:第1步如何写?
n=
k
的假设如何写? 待证的目标式是什么?如何从假
关键:在假设
n< br>=
k
的式子上,如何同补?
证明:(略)小结:证
n
=k
+1时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同
增的项,朝目标进行变形.
例2:求证:
n
为奇数时,
x
n
+
y
n
能被
x
+
y
整除.
分析要点:(凑配)
x
k+2
+
y
k
+2
=
x
2
·
x
k
+
y
2
·
y
k
=
x
2
(
x
k
+
y
k
)+
y
2
·
y
k

x
2
·
y
k
=
x
2
(
x
k
+
y
k
)+
yk
(
y
2

x
2
)=
x
2< br>(
x
k
+
y
k
)+
y
k
· (
y
+
x
)(
y

x
).
证明:(略)
例3:平面内有
n
个圆,任意两个圆都相交于两点,任何三个 圆都不相交于同一
点,求证这
n
个圆将平面分成
f
(
n)=
n
2

n
+2个部分.

32
11111
???????,n?N
*

2n?12nn?1n?22n



分析要点:
n
=< br>k
+1时,在
k
+1个圆中任取一个圆
C
,剩下的
k
个圆将平面分

f
(
k
)个部分,而圆
C

k
个圆有2
k
个交点,这2
k
个交点将圆
C分成2
k
段弧,
每段弧将它所在的平面部分一分为二,故共增加了2
k< br>个平面部分.因此,
f
(
k
+1)=
f
(
k
)+2
k
=
k
2

k
+2+2
k
=(
k
+1)
2
-(
k
+1)+2.
证明:(略)
三、巩固练习::
(1) 求证:
(1?1)(1?)???(1?
(2) 用数学归纳法证明:
1
3
1
)?2n?1

n

N
*).
2n?1
(Ⅰ)
7
2n
?4
2n
?297
能被264整除;
(Ⅱ)
a
n?1
?(a?1)
2n?1
能被
a
2
?a?1
整除(其中
n

a
为正整数)
(3) 是否存在正整数
m
,使得
f

n
)=(2
n
+7)·3
n
+9对任意正整数
n
都能被
m整除?若存在,求出最大的
m
值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
(4)教材
50
1、2、5题
四、课堂小结:
两个 步骤与一个结论,“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘
掉”;从
n
=< br>k

n
=
k
+1时,变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项 、配方等.
五、布置作业:
教材
50
4、5、6题.
六、教学后记:





课题:第03课时
用数学归纳法证明不等式(一)
教学目标:
1、了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,
2、理解数学归纳法的操作步骤,
3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法
证明问题的格式书写.
教学重点:能用数学归纳法证明几个经典不等式.

33



教学难点:理解经典不等式的证明思路.
教学过程:
一、复习准备:
1
2
2
2
n
2
n(n?1)
????,n?N
*
. 1. 求证:
1?3
1
3
1
?5
1
(2n?1)(2n?1)2(2n?1)
1
2. 求证:
1?????
n
?n,n?N
*
.
2342?1
二、讲授新课:
1、用数学归纳法证明不等式的方法:作差比较法、作 商比较法、综合法、
分析法和放缩法,以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。
2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命
题为P(n). < br>(1)证明当n取第一个值n
0
时,结论正确,即验证P(n
0
)正确 ;
(2)假设n=k(k∈N且k≥n
0
)时结论正确,证明当n=k+1时,结论 也正确,即
由P(k)正确推出P(k+1)正确,
根据(1),(2),就可以判定命题P (n)对于从n
0
开始的所有自然数n都正确.
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中,要注意以下几点:
(1)在从n=k到n=k+1 的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数
的变化,也就是要认清不等式的结构特征;
(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地进行放缩、分析;
(3)活用起点的位置;
(4)有的试题需要先作等价变换。
三、应用举例:
例1:比较
n
2

2
n
的大小,试证明你的结论.
分析:试值
n?1,2,3,4,5,6
→ 猜想结论 → 用数学归纳法证明
→ 要点:
(k?1)
2
?k
2
?2k?1?k
2
?2k?k?k
2
?3k?k
2
?k
2
?
….
证明:(略)
小结反思:试值→猜想→证明
巩固练习1:已知数 列
?
a
n
?
的各项为正数,S
n
为前
n< br>项和,且
S
n
?(a
n
?
纳出
a
n
的公式并证明你的结论.
例2:证明不等式
|sinn
?
|?n| sin
?
|(n?N
?
)
.
要点:
|si n(k?1)
?
|?|sink
?
cos
?
?cosk?
sin
?
|?|sink
?
cos
?
|?| cosk
?
sin
?
|


?| sink
?
|?|sin
?
|?k|sin
?
|?|sin
?
|?(k?1)|sin
?
|

证明:(略)
例3:证明贝努利不等式.
(1?x)
n
?1?nx(x??1,x?0,n?N,n?1)

解题要点提示:试值
n
=1,2,3,4, → 猜想
a
n
→ 数学归纳法证明
1
2
1
)
,归
a
n

34



分析:贝努力不等式中涉及到两个字母,
x
表示大于-1且不等于0的任意实
数,
n
是大于1的自然数,用数学归纳法只能对< br>n
进行归纳
巩固练习2:试证明:不论正数
a

b

c
是等差数列还是等比数列,当
n
>1,
n
∈N
*

a

b

c
互不相等时,均有
an
+
c
n
>2
b
n
.
解答要点:当
a

b

c
为等比数列时,设
a
=
b
,
c
=
bq
(
q
>0且
q
≠1). ∴
q
a
n
+
c
n
=….
∈N).
a
n
?c
n
a?c
n

a

b

c
为等差数列时,有2
b
=
a
+c
,则需证>()(
n
≥2且
n
2
2
*
a
k?1
?c
k?1
1
k
+1
k
+1< br>k
+1
k
+1
1
k
+1
k
+1kk
…. 当
n
=
k
+1时,
?
(
a
+
c
+
a
+
c
)>(
a
+
c
+
a
·
c
+
c
·
a
) 2
a?c
4
k
1
kk
a?ca?c
k
4
+1
=(
a
+
c
)(
a
+
c< br>)>(
4
3. 小结反思:应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式;技巧:凑配、放
缩.
四、巩固练习:
111tan(2
n
?
)
1. 用数学归纳法证明:
(1?
.
)(1?)....(1?)?
n
cos2
?
cos4
?
cos2
?
tan
?
1111
2. 已知
n?N,n?2,证明:?????1
.
2n?1n?22n
2
)·(
2
)=(
2
) .
五、课堂小结:
六、布置作业:
教材P
53
3、5、8题.
七、教学后记:




35

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