高考高中数学选修4--5不等式知识点考点归纳整理

高考高中数学选修4--5不等式知识点考点归纳整理
1、不等式的基本性质
①（对称性）
a?b?b?a

②（传递性）
a?b,b?c?a?c

③（可加性）
a?b?a?c?b?c

（同向可加性）
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

（异向可减性）
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

④（可积性）
a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

⑤（同向正数可乘性）
a?b?0,c?d?0?ac?bd

（异向正数可除性）
a?b?0,0?c?d?
ab
?
cd

nn
⑥（平方法则）
a?b?0?a?b(n?N,且n?1)

nn
⑦（开方法则）
a?b?0?a?b(n?N,且n?1)

a?b?0?
⑧（倒数法则）
2、几个重要不等式
1111
?;a?b?0??
abab

a
2
?b
2
ab?.
a
2
?b
2
?2ab
?
a，b?R
?
a?b
2
①,（当且仅当时取
?
号）. 变形公式：
a?b
?ab
?
a，b?R
?
?
②（基本不等式）
2
,（当且仅当
a?b
时取到等号）.
?
a?b
?
ab?
??
.
?
2
?
变形公式：
a?b?2ab

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

2
a?b?c
3
?abc
?
(a、b、c?R)
（当且仅当
a?b?c
时取到
3
③（三个正数的算术—几何平均不等 式）
等号）.
④
a
2
?b
2
?c
2?ab?bc?ca
?
a，b?R
?

（当且仅当
a?b?c
时取到等号）.

333
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0)
⑤
（当且仅当
a?b?c
时取到等号）.
ba
若ab?0,则??2
ab
⑥（当仅当a=b时取等号）
ba
若ab?0,则???2
ab
（当仅当a=b时取等号）
bb ?ma?na
??1??
b?nb
，⑦
aa?m
（其中
a? b?0，m?0，n?0)

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
⑧当a?0时，x?a?x
2
?a
2
?x??a或x?a;
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a.
⑨绝对值三角不等式
3、几个著名不等式


a?b?a?b?a?b.
2a? ba
2
?b
2
?ab??
?
?1?1
（a,b?R
a?b22
①平均不等式：，，当且仅当
a?b
时取
?
号） .
（即调和平均
?
几何平均
?
算术平均
?
平方平 均）.
变形公式：
22
2
?
a?b
?
a? b
(a?b)
22
ab?
?
;
a?b?.
?
?
2
?
2
?
2

2
②幂平均不等式：
a
1
2
?a
2
2
?...?a
n
2
?
1
(a
1
?a
2
?...?a
n)
2
.
n

③二维形式的三角不等式：
x
1
2
?y
1
2
?x
2
2
?y
22
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1?y
2
)
2
(x
1
,y
1
,x
2
,y
2
?R).
④二维形式的柯西不等式：
< br>22222
(a?b)(c?d)?(ac?bd)(a,b,c,d?R).
当且仅当
ad?bc
时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
(a
1
2
?a
2
2
?a
3
2
)(b
1< br>2
?b
2
2
?b
3
2
)?(a
1< br>b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
)
2
.
⑥一般形式的柯西不等式：

(a
1< br>2
?a
2
2
?...?a
n
2
)(b
1
2
?b
2
2
?...?b
n
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?...? a
n
b
n
)
2
.
⑦向量形式的柯西不等式：

urururur
urur
urur
ur
?
?
?
?
??
,
设
?
,
?
是两个向量，则当且仅当
?
是零向量，或存在实数
k
，使
?
?k
?
时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设
a1
?a
2
?...?a
n
,b
1
?b
2
?...?b
n
为两组实数.
c
1
,c
2
,...,c
n
是
b
1
,b
2
,...,bn
的任一排列，则
a
1
b
n
?a
2
b
n?1
?...?a
n
b
1
?a
1
c1
?a
2
c
2
?...?a
n
c
n< br>?a
1
b
1
?a
2
b
2
?...? a
n
b
n
.
且仅当
（反序和
?
乱序和?
顺序和），当
a
1
?a
2
?...?a
n< br>或
b
1
?b
2
?...?b
n
时，反序和等 于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数
f (x)
,对于定义域中任意两点
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
),
有
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?或
22
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)?.
22
则称f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
131
(a?)
2
??(a?)
2
;
242
①舍去或加上一些项，如
②将分子或分母放大（缩小）， 11112212
?,?,???,
22
kk(k?1)kk(k?1)
k?kkk?k?1
如
2k
12
?(k?N
*
,k?1)
kk?k?1
等.
5、一元二次不等式的解法
2
ax?bx?c?0(或?0)
求一元二次不等式
(a?0,??b
2
?4ac?0)
解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的
解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)< br>?0?f(x)?g(x)?0
g(x)
?
f(x)?g(x)?0
f (x)
?0?
?
g(x)
?
g(x)?0
“?或?”
（时同理）
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
⑴

?
f(x)? 0
f(x)?a(a?0)?
?
2
?
f(x)?a

?
f(x)?0
f(x)?a(a?0)?
?
2
f(x)?a?

?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
f(x )?g(x)?
?
g(x)?0
或
?
?
f(x)?[g(x )]
2
?
g(x)?0
?

?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g(x) ]
2
?

?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?

⑵⑶
⑷
⑸
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析 求解.
9、指数不等式的解法：
⑴当
a?1
时,
a
f( x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)

f(x)g(x)
a?a?f(x)?g(x)

0?a?1
⑵当时,
规律：根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
⑴当
a?1
时,
?
f(x)? 0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?< br>g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?

?
f(x) ?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0.
?
f(x)?g(x)
?
0?a?1
⑵当时 ,
规律：根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法：

< br>?
a(a?0)
a?
?
.
?
?a(a?0)
⑴定义法：
⑵平方法：
f(x)?g(x)?f
2
(x)?g
2(x).

⑶同解变形法，其同解定理有：
①
②
③
x?a??a?x?a(a?0);



x?a?x?a或x??a(a?0);
f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x )(g(x)?0)
④
f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)(g (x)?0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
2
ax?bx?c?0
且含参数的不等式时， 要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： 解形如
⑴讨论
a
与0的大小；
⑵讨论
?
与0的大小；
⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题
2
ax?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ⑴不等式
①当
a?0
时
?b?0,c?0;

?
a?0
?
?
?
??0.
②当
a?0< br>时
⑵不等式
ax?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当
a?0
时
?b?0,c?0;

2
?
a?0
?
?
?
??0.
②当
a?0
时
?f(x)
max
?a;
⑶
f(x)?a
恒成立
f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;

?f(x)
min
?a;
⑷
f(x)?a
恒成立