北师大版高中数学选修4-5本册综合检测

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------



A．
y
1
>
y
2
B．
y
1
<
y
2

C．
y
1
＝
y
2
D．不能确定
解析： ∵
y
x
2
?
b
－
a
?
1
－
y
2
＝
a
＋
b
，
又∵
a，
b
，
x
1
，
x
2
为互不相等的正数 ，
∴
y
1
与
y
2
的关系不确定，故选D．
答案： D
4．若不等式
x
2
＋
ax
＋1≥0对 一切
x
∈
?
?
1
?
0，
2
??
?
恒成立，则
a
的最小值为(
A．0 B．－2
C．－
5
2
D．－3
解析： ∵
x
2
＋
ax
＋1≥0
∴
a
≥－
?
?
1
?
x
＋
x
?
?
?
，
x
∈
?
?
1
?
0，
2
??
?
，
又∵－
?
?
5
?
x
＋
1
x
?
?
?
的最大值为－
2
，
∴
a
5
min
＝－
2
.
答案： C < br>5．如果
P
＝17，
Q
＝1＋15，
R
＝5＋7，那 么有( )
A．
P
>
Q
>
R
B．
R
>
P
>
Q

C．
Q
>
R
>
P
D．
R
>
Q
>
P

解析：
P
2
＝17，
Q
2
＝16＋215，
R
2
＝12＋235，
∴
Q
2
－
P
2
＝215－1>0，
R
2
－
P
2
＝235－5>0，
∴
P
最小．
Q
2
－
R
2
＝215＋4－235，
又(215＋4)
2
＝16＋60＋1615
＝76＋1615<76＋1616＝140，
(235)
2
＝4×35＝140，
∴235>215＋4，
∴
Q
2
<
R
2
，∴
Q
<
R
，
信达
)

----------------------- --------------------------------------------奋斗没有终点 任何时候都是一个起点---------------------------------------- -------------



∴选D．
答案： D
6．用数学归纳法证明“对于任意
x
>0和正整数
n
，都有
x＋
x
nn
－2
n
－4
x
＋…＋
n－4
＋
n
－2
＋
n
xxx
111
≥< br>n
＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值
n
0
应为( )
A．
n
0
＝1
C．
n
0
＝1,2
B．
n
0
＝2
D．以上答案均不正确
1
解析：
n
0
＝1时，
x
＋≥1＋1成立，再用数学归纳法证明．
x
答案： A
7．函数
y
＝log
2
?
x
＋
A．－3
C．4
解析： ∵
x
>1，∴
x
－1>0，
∴
y
＝log
2
?
x
－1＋
＝log
28＝3，
当且仅当
x
－1＝
1
时等号成立，又
x
>0， < br>x
－1
?
?
1
＋5
?
(
x
>1)的最小值为( )
x
－1
?
?
B．3
D．－4
?
?
1
?
＋6
?
≥log
2
?< br>2
?
x
－1
?
?
?
x
－1?·1
?
＋6
?

x
－1
?
∴
x
＝2时，
y
有最小值3，选B．
答案： B
8．“|
x
－1|<2”是
x
<3的( )
A．充分不必要条件
C．充分必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析： ∵|
x
－1|<2?－2<
x
－1<2?－1<
x
<3.
∵－1<
x
<3?
x
<3，反之不成立．
从而得出“|
x
－1|<2”是“
x
<3”的充分不必要条件．
答案： A
9．用数学归纳法证明
1
＋cos
α
＋cos 3
α
＋…＋cos(2
n
－1)
α
＝
2
2
n
＋12
n
－1
sin
α
·cos
α< br>22
(
a
≠
k
π，
k
∈Z，
n∈N
＋
)，在验证
n
＝1时，左边计算所得的项是
sin
α
( )
信达

------------------ -------------------------------------------------奋 斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------------------- ------------------



1
A．
2
1
C．＋cos
α
＋cos3
α

2
1
B．＋cos
α

2
1
D．＋cos
α
＋cos2
α
＋3cos
α

2
1
解析： 首项，末项cos(2×1－1)
α
＝cos
α
.
2
答案： B
10．设实数
x
1
，
x
2
，…，
x
n
的算术平均值是
x
，
a
≠x
(
a
∈R)，并记
p
＝(
x
1
－< br>x
)＋…
＋(
x
n
－
x
)，
q＝(
x
1
－
a
)＋…＋(
x
n
－a
)，则
p
与
q
的大小关系是( )
A．
p
>
q

C．
p
＝
q

222
222
2
B．
p
<
q

D．不确定
2222
解析： ∵
p
＝(
x
1＋
x
2
＋…＋
x
n
)－2(
x
1＋
x
2
＋…＋
x
n
)·
x
＋
n
·
x
＝(
x
1
＋
x
2
＋…＋< br>x
n
)
－
nx
，
222
q
＝(< br>x
2
1
＋
x
2
＋…＋
x
n
)－2
a
(
x
1
＋
x
2
＋…＋
x
n
)＋
na
，
2
∴
q
－
p＝－2
a
·
n
·
x
＋
na
＋
nx

＝(
x
－
a
)·
n
>0，∴
q
>
p
.
答案： B
11．已知实数
x
，< br>y
满足
x
＋
y
＝1，则(1－
xy
)(1＋
xy
)有( )
1
A．最小值和最大值1
2
13
C．最小值和最大值
24
解析： 1＝
x
＋
y
≥|2
xy
|，
1
∴|
xy
|≤，
2
(1－
xy
)·( 1＋
xy
)＝1－(
xy
)，
3
2222
∴1－
xy
≥且1－
xy
≤1.
4
答案： B
1
12．在数列{
a
n
}中，a
1
＝，且
S
n
＝
n
(2
n
－1)
a
n
，通过求
a
2
，
a
3
，
a
4
，猜想
a
n
的表达式为( )
3
1
A．
?
n
－1??
n
＋1?
1
B．
2
n
?2
n
＋1?
2
22
22
2
223
B．最小值和最大值1
4
D．最小值1
信达

------------------------------------------------ -------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------------- --------------------------------------



1
C．
?2
n
－1??2
n
＋1?
1
D．
?2
n
＋1??2
n
＋2?
111
解析： 经过< br>a
1
＝可算出
a
2
＝，
a
3
＝，所 以选C．
33×55×7
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
13．若不 等式|
x
－1|<
a
成立的充分条件是0<
x
<4，则实数
a
的取值范围是________.
解析： |
x
－1|<
a
?1－
a
<
x
<1＋
a

?
1－
a
≤0.
?
∴
?
?
?
1＋
a
≥4

.
故
a
≥3.
答案： [3，＋∞)
14．如果
x
>0，
y
>0，
x
＋
y＋
xy
＝2，则
x
＋
y
的最小值为________.
解析： 由
x
＋
y
＋
xy
＝2得2－(
x
＋
y
)＝
xy
，
∴2－(
x
＋
y
)≤
?
2
?
x
＋
y
?
2
，
?
?
2
?
即(
x
＋
y
)＋ 4(
x
＋
y
)－8≥0，
∴
x
＋
y≤－2－23或
x
＋
y
≥23－2，
又∵
x
>0，
y
>0，
∴(
x
＋
y
)
min
＝23－2.
答案： 23－2
15．若
f
(
n
)＝
n
＋1－
n
，
g
(
n
)＝
解析：
f
(
n
)＝
n
＋1－
n
＝
答案：
g
(
n
)>
f
(
n
)
111< br>n
*
n
16．已知
f
(
n
)＝1＋＋＋…＋ (
n
∈N)，用数学归纳法证明
f
(2)>时，
f
(2k
＋1
)－
f
(2
k
)
23
n
2
＝________.
111
解析： ∵
f
(
n
)＝1＋＋＋…＋，
23
n
111k
∴
f
(2)＝1＋＋＋…＋
k
，
232
2
2
1
，
n
∈N
＋
，则
f
(
n
)与
g
(
n
)的大小关系为________.
2
n
<
11
＝＝
g
(
n
)． < br>n
2
＋1＋
n
n
＋
n
2
n
1
f
(2
k
＋1
)＝1＋＋＋…＋
k
＋
1
2
1
3
1
2
111
＋
k
＋…＋< br>k
＋1
，
2＋12＋22
k
信达

-------------------------------------------------- -----------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------- ------------------------------------



∴
f
(2
k
＋1
111
k
)－
f
(2)＝
k
＋
k
＋…＋
k
＋1
.
2＋12＋22
111
＋
k
＋…＋
k
＋1

2＋12＋22
k
答案：
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答 时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤)
17．(12分)设函数
f
(
x
)＝|
x
－4|＋|
x
－1|.
(1)求
f
(
x
)的最小值．
(2)若
f
(
x
)≤5，求
x
的取值范围．
解析：
f
(
x
)＝|
x
－4|＋|
x
－1|
2
x
－5 ?
x
≥4?
?
?
＝
?
3 ?1<
x
<4?，
?
?
5－2
x
?
x
≤1?


作出
y
＝
f
(
x
)的图象，如图所示．

则(1)
f
(
x
)的最小值为3.
(2)若
f< br>(
x
)≤5，则2
x
－5≤5，∴4≤
x
≤5，
∴3≤5，∴1<
x
<4.
由5－2
x
≤5，∴0≤
x
≤1，
∴
x
的取值范围为[0,5]．
14
18．(12分)已知0<
a
<1，求证：＋≥9.
a
1－
a
证明： ∵(3
a
－1)≥0，
∴9
a
－6
a
＋1≥0，
2
2
信达 < /p>

---------------------------------------- ---------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------- ----------------------------------------------



∴1＋3
a
≥9
a
(1－
a
)．
∵0<
a
<1，
∴
即
1＋3
a
≥9，
a
?1－
a
?
1－
a
＋4
a
14
≥9，即＋≥9.
a
?1－
a
?
a
1－
a
19．(12分)若0<
a
<2,0<
b
<2,0<
c< br><2，求证：(2－
a
)
b
，(2－
b
)
c
，(2－
c
)
a
，不能同时大
于1.
证明： 假设三数同时大于1，
即(2－
a
)
b
>1，(2－
b< br>)
c
>1，(2－
c
)
a
>1，
?2－< br>a
?＋
b
那么≥?2－
a
?
b
>1，
2
?2－
b
?＋
c
同理>1，
2
?2－
c
?＋
a
>1.
2
由①＋②＋③得3>3，
上式显然是错误的，
∴该假设不成立． ∴(2－
a
)
b
，(2－
b
)
c
，( 2－
c
)
a
不能同时大于1.
20．(12分)若
n
是不小于2的正整数，试证：
4111112
<1－＋－＋…＋－<.
72342
n
－12
n
2
1
证明： 1－＋－＋… ＋－＝(1＋＋＋…＋)－2(＋＋…＋)＝
2342
n
－12
n
2 32
n
242
nn
＋1
＋
11
＋…＋，
n
＋22
n
所以求证式等价于
41112
<＋＋…＋<.
7
n
＋1
n
＋22
n
2
由柯西不等式，有



①
②
③
?
1
＋1
＋…＋
1
?
[(
n
＋1)＋(
n
＋ 2)＋…＋(2
n
)]>
n
2
，
?
n
＋ 1
n
＋22
n
?
??
于是
111
＋＋…＋
n
＋1
n
＋22
n
信达

---- -------------------------------------------------- -------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------------------- --------------------------------



>
2
n
＝
?
n
＋1?＋?
n
＋ 2?＋…＋2
n
3
n
＋1
24
≥＝.
1173＋3＋
n
2
2
n
2
＝
又由柯西不等式，有
111
＋＋…＋<
n
＋1
n
＋22
n
? 1＋1＋…＋1?
?
<
11
2
222
?
1
2
＋
1
2
＋…＋
1
2
?

?2< br>n
?
?
?
?
n
＋1??
n
＋2?< br>?
??
n
?
－
?
＝.
?
n
2
n
?
2
3
故不等式得证．
21．(12分)某自来水厂要制作容积为500m的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长
方形金 属制箱材料(单位：m)：
①19×19；②30×10；③25×12，
请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便
易行)．
解析： 设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为
a
、
b
、
c
，
由题意，可得
abc
＝500，
长方体水箱的表面积为：
S
＝2
bc
＋2
ac
＋
ab
.
由均值不等式，知
S
＝2
bc
＋2
ac
＋
ab
33
2
≥32
bc
·2
ac
·
ab
＝34×500
＝300.
当且仅当2
bc
＝2
ca
＝
ab
，
即
a
＝
b
＝10，
c
＝5时，
S
＝2
bc
＋2
ca
＋
ab
＝300为最小，
这表明将无盖长方体的尺寸设计为
10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省． 如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体
水箱的平面展 开图．
逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：如图(1)，进一步剪拼成图(2)的长30m，宽
10m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．
信达

-------------------------------- -----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起 点------------------------------------------------- ----




可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．
?
1
?
2
22．(14分)已知数列{
a
n
}满足
a
1
＝2，
a
n
＋1
＝2
?
1＋
?
·
a
n
(
n
∈N
＋
)，
?n
?
(1)求
a
2
，
a
3
，并求数列 {
a
n
}的通项公式；
n
7
(2)设
c
n
＝，求证：
c
1
＋
c
2
＋
c
3
＋…＋
c
n
<.
a
n
10
解析： (1)∵
a
1
＝2，
a
n
＋1
＝2
?< br>1＋
?
2
·
a
n
(
n
∈N
＋
)，
?
n
?
?
1
?
?
1?
2
∴
a
2
＝2
?
1＋
?
·
a
1
＝16，
?
1
?
a
3
＝2
?
1＋
?
2
·
a
2
＝72.
2
?
?
1
?
?
又∵
2
＝2·
2，
n
∈N
＋
，
?
n
＋1?
n
∴
?
2
?
为等比数列．
?
n
?
?a
n
?
a
n
＋1
a
n
∴
2< br>＝
2
·2
n
1
(2)
c
n
＝＝a
n
a
1
n
－1
＝2，∴
a
n
＝
n
·2.
n
2
n
n
1
，
a
n
n
·2
n
∴
c
1
＋
c
2
＋
c
3
＋…＋
c
n

＝
1111
＋＋＋…＋
23
1·22·23·2
n
·2
n
信达

< br>----------------------------------------------- --------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------- ---------------------------------------

<< br>1
2
＋
1
8
＋
1
24
＋
1
4
·
?
?
111
?
2
4
＋
2
5
＋…＋
2
n
?
?
?

1< br>?
1
?
n
－
＝
21
2
4
[ 1－
?
3
?
2
?
?
]
3
＋
4
·
1－
1
2
1
<
21
2
4
3
＋
4
·
1－
1
＝
21
3
＋
32

2
＝
67
96
＝
670
960
<
96×7
96×10
＝
7
10
，
所以结论成立．


信达