高中数学人教A版选修4-5教学案：第一讲一2

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。


高中数学人教
A
版选修
4-5
教学案：第一讲
一
2



对应学生
用书P4

1．基本不等式的理解

重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式≥，成立的条件是不同
的．前者成立的条件是 a 与b都为实数，并且a与b都为实数是不
等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数， 并且
a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b≥0
仍然能使≥成立．< br>
两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b.

2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式

(1)a2＋b2≥；

(2)ab≤；

(3)ab≤()2；

(4)()2≤；

(5)(a＋b)2≥4ab.

对应学生用书P5

利用基本不等式证明不等式
[例1] 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.

求证：＋＋≥9.

[思路点拨] 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来
世有伯乐，然后有千里马。千 里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食 之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。 固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以 兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。

证明．

[证明] 法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

∴＋＋＝＋＋
a＋b＋c

c
b
＝3＋＋＋＋＋＋
c

＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

即＋＋≥9.

法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

∴＋＋＝(a＋b＋c)(＋＋)

＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1

＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

∴＋＋≥9.

用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构
特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地
选择基本不等式进行证明．

1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.

证明：因为a，b，c，d都是正数，

所以≥＞0，≥＞0，

所以≥abcd，

即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.

当且仅当ab＝cd，ac＝bd，即a＝d，b＝c时，等号成立．

2．已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.

证明：∵a，b，c，，，均大于0，

又＋b≥2 ＝2a，

b2
＋c≥2 ＝2b.

c

世有伯乐，然后有千里马。 千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道， 食之不能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！
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