高中数学选修4-4知识与题型章章清

高中数学选修4-4知识与题型章章清
坐标系与参数方程
一、知识要点 < br>1、极坐标系：极点，极轴，极坐标
(
?
,
?
)
,? 为极径，
?
为极角，
?
?0
，
?
可取任意实数。
2、极坐标和直角坐标互化公式：
?
?
2
?x
2
?y
2
?
x?
?
cos
?
或
?
，θ的象限由点(x,y)所在象限确定.
?
?
y
y?
?
sin
?
?
?
tan
?
?(x?0)< br>x
?
?
5
?
和
?
?
；
ax ?by?c?0?a
?
cos
?
?b
?
sin
?< br>?c?0

44
2
4、圆的极坐标方程：
x
2
?y
2
?r
2
?
?
?r
；
?
x ?a
?
?y
2
?a
2
?
?
?2acos< br>?

5、柱坐标系：柱坐标P（
?
,
?
,z
），其中
?
?0,0?
?
?2
?
,???z???
。
6、球坐标系（空间极坐标系）：球坐标
P
?
r,
?
,
?
?
，其中
r?0,0?
?
?
?
,0?< br>?
?2
?
.

3、直线的极坐标方程：
y?x??
?
?
x?x
0
?tcos
?
7、过点M(x
0
,y
0
)
倾斜角为
?
的直线参数方程：
?
?
y?y
0
?tsin
?
8、圆的参数方程：< br>(x?a)
2
?(x?b)
2
?r
2
?
?< br>(t为参数，t为直线上一点到M点的有向距离)

?
x?a?rcos
?
（
?
为参数，
?
为旋转角）
?
y?b?rs in
?
22
?
x?acos
?
（
?
为参数，
?
为离心角）
xy
9、椭圆的参数方程：
??1?
?
a
2
b
2
?
y?bsin?
22
x?asec
?
?
10、双曲线的参数方程：
x
?
y
?1?
?
（为参数，
?
为离心角）
?
22
ab
?
y?btan
?
x?2pt
2
（
t
为参数，
t
为曲线上的点与原点连线的斜率的倒数）11、抛物线的参 数方程：
y
2
?2px?
?

?
?
x?r
?
cos
?
?
?
sin
?
?
12 、圆渐开线的参数方程：
?
（
?
为参数，
?
为旋转角） < br>?
y?r
?
sin
?
?
?
sin
?
?
?
x?r
?
?
?sin
?
?
1 3、摆线的参数方程：
?
（
?
为参数，
?
为旋转角）
?
y?r
?
1?cos
?
?
二、重点题型
?
y?2pt
?
?
1．极坐标和直角坐标互化——①公式法；②几何法。< br>极坐标方程
?
?2cos
?

?
?
?
?
化成直角坐标方程为 。
4
??
?
??
?
?
，则|AB|=______，
S
2．利用极坐标解题——①转化法；②几何法。
若A
?
3，
?
，B< br>?
4，?
??
?AOB
?
_____。

?
3
?
6
??
3．求柱坐标或球坐标——①公式法；②几何法。
点
1,?3,?2
的柱坐标为 ，球坐标为
。
t?t
?
?
x?e?e
4．参数方程化为普通方程—— ①代入法；②加减法；③平方法。
?
t
??
?
?
y?2(e ?e)
?t

(t为参数)
的普通方程为_________。
5． 直线与圆锥曲线的关系——①普通方程法；②参数方程法。
已知直线
l
经过点P(1, 1),倾斜角
?
?
（1）写出直线
l
的参数方程；（2）设
l
与圆
x
2
?
，
6

?y
2< br>?4
相交与两点A、B，求弦AB的长。
4
与双曲线(y-2)
2-x
2
=1
6．利用参数的几何意义解题——①参数换元法；②图解法。
直线
l
经过点 P(-1，2)且斜率
k??
，
3
相交于两 点A、B，(1)写出直线
l
的参数方程；(2)求AB中点M与点P的距离。

三、思维训练
1．已 知点M的直角坐标为（2，
?23
），下列所给出的四个极坐标中不能表示点M的是（ ）
A.
?
4，?
?
?
?
?
3
?
?
?
B.
?
4，
?
C.
?
4，
?
?
5
?
?
3
?< br>?
?
5
?
3
??
11
?
D.
??
4，
3
??
?
?

?
2．极坐标方程
?
?cos
?
?
?
?
?
?
?
表示的曲线是（ ）
?
4
?
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆
?
??
3．圆心为C
?
3，
?
，半径为3的圆的极坐标方程为 。
?
6
?
4．极点到直线
?
?
cos
??sin
?
?
?3
的距离是________ _____。
5．在极坐标系中，曲线
?
?4sin(
?
?
6．已知点
P
1
(2,
1
的球坐标是
P
?
3
)
一条对称轴的极坐标方程 .
,)
,
P
2
的柱坐标是
P
2
(6,,1)
,则
P
1
P
2
的值为（ ）
342
2
A．
2
B．
3
C．
22
D．
2
??
?
7.经过点M(1， 5)且倾斜角为
?
的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是( ) 3
1
1
?
?
1
1
?
?
x?1 ?t
x?1?t
x?1?t
x?1?t
?
?
?
?< br>A.
?
C. D.
2
2
B.
?
?
?
2
2
?
?
?
?
?
y?5?
3
t
?
y?5?
3
t
?
y?5?
3
t
?
y?5?
3
t
?
?
?
?
2
2
?
?
2
2
?
?
?
?
x?t
(t为参数)
等价的普通方程为（ ） 8.与参数方程 为
?
?
?
y?21?t
y
2
y
2
22
?1
B．
x??1(0?x?1)
A．
x?
44
y
2
y
2
22
?1(0?y ?2)
D．
x??1(0?x?1,0?y?2)
C．
x?
44
x?a?tcos
?
（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参 数值分别为t、t，9.在参数方程
?
12
?
?
y?b?tsin< br>?
则线段BC的中点M对应的参数值是（ ）

?
x?2?2t

(t为参数)上对应t=0, t=1两点间的距离是 .
?
y??1?t
?
x?rcos
?
11.设
r ?0
,那么直线
xcos
?
?ysin
?
?r
?< br>?
是常数
?
与圆
?
?
?
是参数
?< br>的位置关系是 .
y?rsin
?
?
10.直线
?
?
x?1?t
12.求直线
l
1
:
?< br>及点
P
与
Q(1,?5)
的距离。
(t为参数)
和 直线
l
2
:x?y?23?0
的交点
P
的坐标，
?
?
?
y??5?3t
x
2
y
2
??1上找一点，使这一点到直线
x?2y?12?0
的距离的最小值。 13.在椭圆
1612
14.已知方程。
（1）试证：不论如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
（2）
?
为何值时，该抛物线在直线x=14上截得的弦最长？并求出此弦长。