高中数学人教A版选修4-5教学案：第一讲一1

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄 作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦 将有感于斯文。


高中数学人教A版选修4-5教学案：第一讲
一1



对应学生用书P1

1．实数大小的比较

(1)数轴上的点与实数一一对应 ，可以利用数轴上点的左右位置
关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．

(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b
＜0，则a＜b.

(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符
号；比较两个代 数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又
归结为判断它们的差的符号．

2．不等式的基本性质

由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：

(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b?b＜
a.

(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c?a>c.

(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.

(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac
(5)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．

(6)如果a>b>0，那么＞(n∈N，n≥2)．

3．对上述不等式的理解

使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不 可强
化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：

世有伯乐，然后有千里马。千里马 常有，而伯乐不常有。故虽有名马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不 能尽其材，鸣之而不能通其意，执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。 固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以 兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。

(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不 等式两边同乘以同一
个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时
得 等式；③c<0时得异向不等式．

(2)a＞b，c＞d?a＋c>b＋d，即两个同向不等 式可以相加，但不
可以相减；而a>b>0，c>d>0?ac>bd，即已知的两个不等式同向且两< br>边为正值时，可以相乘，但不可以相除．

(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知 不等式两边均为正值，并且
n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，
a>b?an>bn(n＝2k＋1，k∈N)，a>b?>(n＝2k＋1，k∈N＋)．

(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：
“?”与“?”，即推出关系和等价关系 ，或者说“不可逆关系”与
“可逆关系”．这要求必须熟记与区别不同性质的条件．如a＞b，
ab＞0?＜，而反之不成立．

对应学生用书P1


实数大小的比较
[例1] 已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，试比较m和n的
大小．

[思路点拨]
变形
转化为因式
与0比较
两式作差――→――→判断正负，得出大小

乘积形式
[解] m－n＝＋－＝－＝＝，

∵x，y均为正数，

∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0.

∴m－n≥0，即m≥n.(当x＝y时，等号成立)．

比较两个数(式子)的大不 ，一般用作差法，其步骤是：作差—变
形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分 解
因式、配方等．

世有伯乐，然后有千里马。千里马常有，而伯乐不常有。故虽有名 马，祇辱于奴隶人之手，骈死于槽枥之间，不以千里称也。策之不以其道，食之不能尽其材，鸣之而不能通其意， 执策而临之，曰：天下无马！呜呼！其真无马邪？其真不知马也！

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