高中数学选修4-5同步练习题库：一般形式的柯西不等式(全部)

一般形式的柯西不等式（全部）

1、设,,,,
（ ）

,是正数，且++=++=++=20,则=
A． B． C． D．


2、已知x, y, R，且，则的最小值是

A．20 B．25 C．36 D．47


3、（2012?九江一模）设变量x，y满足|x﹣2|+|y﹣2|≤1，则
A． B． C．﹣ D．

的最大值为（ ）


4、（2013?湖北一模）已知a，b，c∈R，则 2a
2
+3b
2
+6c
2
=1是a+b+c∈[﹣1，1] 的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件


5、（2012?湖北）设a，b，c，x，y，z是 正数，且a
2
+b
2
+c
2
=10，x
2
+y
2
+z
2
=40，ax+by+cz=20，则
（ ）

A． B． C． D．

=

6、函数
A．6 B．2 C．5
（ ）

D．2


7、已知a，b，c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，则++的值（ ）

A．小于0 B．大于0 C．可能是0 D．正负不能确定

共 18 页，第 1 页

8、若，则的最小值为_________．


9、已知
（1）求
（2）若

的最小值及取最小值时
，求的取值范围。

的值。

10 、（2014?辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a
2
﹣2ab+b
2﹣c=0且使|2a+b|最大时，++的最小
值为 ．


1 1、（2014?宿迁模拟）已知实数a
1
，a
2
，a
3
不 全为零，正数x，y满足x+y=2，设
值为M=f（x，y），则M的最小值为 ．

的最大

12、（2014?荆门模拟）已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c +d+e=8，a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
=16，则e的取值范围
是 ．


13、（ 2014?宝鸡二模）已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x
2
+y
2< br>+z
2
的最小值为 ．


14、已知，且，则的最小值是 ．


15、设实数x，y，z均大于零，且，则的最小值是 ．


16、设，且，则的最小值为


17、选修4-5：不等式选讲
已知都是实数，且.
共 18 页，第 2 页

（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）若，证明.


18、选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）求的值；
，且的解集为．
（2）若都是正实数，且，求证：．


19、选修4-5：不等式选讲
设
.
（1）若
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）设







的最大值为
，
均为正实数，当
时，求
的最小值.


20、（本小题满分10分，不等式选讲）
已知实数满足，求的最小值．


21、（本小题满分10分，不等式选讲）
已知正实数满足，求证：．

共 18 页，第 3 页

22、（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
在中，内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.


23、已知
（1）求的值；
.

，且，的最小值为．
（2）解关于的不等式

24、（本小题满分7分）选修4—5：不等式选将
已知定义在R上的函数
（I）求的值；
（II）若为正实数，且，求证：.

的最小值为.

共 18 页，第 4 页

参考答案
1、C

2、C

3、B

4、A

5、C

6、D

7、A

8、

9、（1），；（
10、﹣1

11、

12、










2）。

13、


14、


15、


16、


17、（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析.


18、（I）;（II）见解析.


19、（1）
；（2）
.



20、


21、详见解析


22、(1)证明详见解析；（2）证明详见解析.

23、（1）；（2）.


24、（I）;（II）参考解析


【解析】
1、由柯西不等式得

当且仅当时等号成立，
,
等号成立


故答案选


2、试题分析：由于
则
考点：柯西不等式.

（当且仅当即时取等号.故选C

3、试题分析：先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验
证即得答案．
解：如图即为满足不等|x﹣2|+|y﹣2|≤1的可行域，是一个正方形，
得A（1，2），B（2，1），C（3，2），D（2，3）．
当x=1，y=2时，则=，

当x=2，y=1时，则=﹣，
当x=3，y=2时，则=﹣，
当x=2，y=3时，则=，
则有最大值．
故选B．

点评： 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行
域各 个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．


4、试题分析 ：利用柯西不等式2a
2
+3b
2
+6c
2
=1，推出﹣1 ≤a+b+c≤1，通过﹣1≤a+b+c≤1利用特例否定
2a
2
+3b
2
+6c
2
=1，利用充要条件的判断方法推出结果．
解：由柯西不等式得：|a+b+c|≤|a|+|b|+|c|
=
=1，
（2a
2
+3b
2
+6c
2
=1）
所以﹣1≤a+b+c≤1，
反之，当﹣1≤a+b+c≤1时，不妨令a=0.9，b=0 ，c=0.1；2a
2
+3b
2
+6c
2
=1.68＞1，
所以2a
2
+3b
2
+6c
2
=1是a+b+c∈ [﹣1，1]的充分不必要条件．
故选A．
点评：本题考查柯西不等式在不等式的证明中的 应用，充要条件的判断方法，考查逻辑推理能力．

5、试题分析：根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．
解：由柯西 不等式得，（a
2
+b
2
+c
2
）（x
2
+y
2
+z
2
）≥（ax+by+cz）
2
，
当且仅当时等号成立
∵a
2
+b
2
+c
2
=10，x
2
+y
2
+z
2
=40，ax+by+cz= 20，
∴等号成立
∴
∴=

故选C．
点评：柯西不 等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视
为“积和结构 ”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．


6、试题分析：函数可化为
大值．
解：由柯西不等式可得
=≤=2
=，利用柯西不等式，即可求得最
当且仅当
故选D．
，即x=时，函数取得最大值2
点评：本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，考查计算能力，属于中档题．


7、试题分析：因为a+b+c=0，abc（乘积）是正数，则这三个数中只能有一个正数，另两个为 负数．把
a+b+c=0变形代入代数式，运用柯西不等式即可判断．
解：∵a+b+c=0，abc＞0，
∴a，b，c中只能有一个正数，另两个为负数，
不妨设a＞0，b＜0，c＜0．
由a+b+c=0得a=﹣（b+c）代入得，++=﹣++，
∵[（﹣b）+（﹣c）]（）≥4，

∴
∴
故选A．
≤
，即
=＜0，
，
点评：本题主要考查柯西不等式的运用，解题的关键是由条件正确判断a，b，c的符号．


8、，所以，当且仅当
，即时取等号，所以所求最小值为．

< br>9、试题分析：（1）根据柯西不等式的一般形式可得
，把已知条件可化为
，即可求出的 最小值，注意等号成立的条
件；（2）由柯西不等式得到不等式，再利用等量代换转化为关于的不等式求 解。
试题解析：（1）根据柯西不等式得：
，
即，∴，等号成立的条件是，
∴当时，。
（2）根据条件可得，根据柯西不等式得：
即，∴，解之得。
考点：利用柯西不等式求最值或求参数的范围。

10、试题分析：首先把：4a
2
﹣2ab+b
2
﹣c=0，转化为∴=，再由柯西不等式得到
|2a+b|
2
，分别用b表示 a，c，在代入到++得到关于b的二次函数，求出最小值即可．
解：∵4a
2
﹣2ab+b
2
﹣c=0，
∴=
由柯西不等式得，

[
故当|2a+b|最大时，有
][]
2
=|2a+b|
2

∴，c=b
2
∴++==
当b=﹣2时，取得最小值为﹣1．
故答案为：﹣1
点评：本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．


1 1、试题分析：讨论a
2
=0，a
2
≠0，对原分式分子分母同除以a
2
，运用x≤|x|，然后分子运用柯西不等式，分
母运用均值不等式，再化简得到M=的最小值，从而得到M的最小值．
，根据条件正数x，y满足x+y=2，消去y，配方求出x< br>2
+y
2
解：若a
2
=0，则=0，
若a
2
≠0，则=≤
≤=，

∴M=，
∵正数x，y满足x+y=2，即y=2﹣x，
∴x
2
+y
2
=x
2
+（2﹣x）
2
=2x
2
﹣ 4x+4=2（x﹣1）
2
+2，
当x=1时，x
2
+y
2
取最小值2，
∴M的最小值为．
故答案为：．
点评：本题主要考查柯西不等式及均值不等式的运用，考查转化思想及配方思想 ，是一道综合题．


12、试题分析：先由柯西不等式得 （1+1+1+1）（a
2
+b
2
+c
2
+d
2
）≥（a+b+c +d）
2
从而得到关于e的不等关
系，解之即e的取值范围．
解：由柯西不等式得 （1+1+1+1）（a
2
+b
2
+c
2
+d
2
）≥（a+b+c+d）
2
即4（16﹣e
2
）≥（8﹣e）
2
解得

．
所以：a的取值范围是
故答案为：
点评：此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到 柯西不等式和基本不等式的应用问题，有一定的技巧
性，需要同学们对一般形式的柯西不等式非常熟练．


13、试题分析：利用条件x+2y+3z=1，构造柯西不等式（x+2y+3 z）
2
≤（x
2
+y
2
+z
2
+）（1< br>2
+2
2
+3
2
）进行解题
即可．
解：由 柯西不等式可知：（x+2y+3z）
2
≤（x
2
+y
2
+ z
2
+）（1
2
+2
2
+3
2
）
故x
2
+y
2
+z
2
≥，当且仅当
．
，
即：x
2
+y
2
+z
2
的最小值为< br>故答案为：
点评：本题主要考查了函数的值域，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x +2y+3z）
2
≤
（x
2
+y
2
+z
2
+）（1
2
+2
2
+3
2
）进行解题，属于中档题 ．

14、试题分析：法一：根据柯西不等式
的x，y，z分别对应a
1
，a
2
，a
3

，2，3，3分别对应b
1
，b
2
，b
3
，有
； 将问题中
，所以有，当且仅当
时取得等号，即
＊法二：设点Ｐ的坐标为
时，取 得最小值；故应填入：．
是空间直角坐标系一点，且满足，所以点P是平面
上任意一点，由其 几何意义可知：
的距离的平方，由空间中点到平面的距离得
的最小值是坐标原点到平面
的最小值是：
，故应填入：
考点：柯西不等式．

．

1 5、试题分析：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）
2
≤（x
2
+y2
+z
2
）（1
2
+2
2
+3
2）
故x
2
+y
2
+z
2
≥，当且仅当，即： x
2
+y
2
+z
2
的最小值为．
故答案为：
考点：函数的值域，柯西不等式的应用．


16、试题分析：由柯西不等式得：

所以
考点：柯西不等式.

，故答案为
，所以，得

17、试题分析：
（Ⅰ）由绝对值的性质有，再每个式子用基本不等式放大可得；
（Ⅱ）由已知，利用柯西不等式可得结论．

试题解析：
（Ⅰ）因为

，
所以
即
（Ⅱ）因为
.
，
.
所以
.
所以 .


1 8、试题分析：（I）考查绝对值不等式的解法（II）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式
证明.
试题解析：
（I）依题意
∴
,即,
（II）方法1:∵
∴

当且仅当,即时取等号
方法2: ∵

∴由柯西不等式得
整理得

当且仅当,即时取等号.


19、试题分析: (1)不等式 恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即
，由绝对值三角不等式可得
，再解不等式
可得实数




的取值范围；(2)由柯西不等式可得：
，即得
的最小值.
试题解析：
（1）据绝对值不等式得
，
∴
，
∴
；
（2）由（1）得
，
，
据柯西不等式可得：
，







（当且仅当
时，“=”成立）

∴
.



20、试题分析：直接利用柯西不等式即可解决
试题解析：由柯西不等式，， 4分
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以
考点：柯西不等式

的最小值为． 10分

21、试题分析：由
试题解析：证明：∵正实数
∴，∴
得
满足
，
，

， 5分
∴
考点：基本不等式

． １０分

22、试题分析：本题主要考查不等式的证明、均值不等式等基础知识，意在考查考 生的分析问题解决问题
的能力、运算求解能力.第一问，先利用均值不等式，再化简得到
，再次 利用均值不等式，最后验证等号是否成
立即可；第二问，先利用均值不等式得到，在利用一次得到

，利用三角形内角和为
试题解析：（Ⅰ）因为为正实数，
，得到，整理即可得到结论.
由均值不等式可得，即，
所以，
而
当且仅当
，所以
时，取等号． （5分）
．
（Ⅱ），
∴，
当且仅当时，取等号． （10分）
考点：不等式的证明、均值不等式.


23、试题分析：本小 题主要考查利用柯西不等式求最值、绝对值不等式的解法等基础知识；考查运算求解
能力；化归与转化、 分类与整合的思想．第一问，利用柯西不等式求最小值，注意等号成立的条件；第二
问，利用第一问的结 论，用零点分段法去掉绝对值，解不等式.
试题解析：（1）根据柯西不等式，有：
∴
即
（2）
，当且仅当时等号成立． 2分
， 1分
． 3分
可化为
或
解得，或或
或
， 6分
， 5分

所以，综上所述，原不等式的解集为． 7分
考点：利用柯西不等式求最值、绝对值不等式的解法.


24、试题分析：（I）已知定义在R上的函数
小值.即可得到结论.
（II）由（ I）可得
试题解析：（I）因为
最小值等于3,即
（II）由（I）知
.
,又因为是正数,所以
,即
考点：1.绝对值不等式.2.柯西不等式.

.
,再根据柯西不等式即可得到结论.
,当且仅当时,等号成立,所以的
的最小值,由绝对值的性质可得函数的最