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最新-高考数学试题分类汇编——选修4-5-不等式选讲

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 07:26
tags:高中数学选修4-5

新疆2017年夏季学考高中数学试卷-高中数学组合公式的计算方法

2020年10月7日发(作者:方觐)


学习-----好资料
2010-2014年高考数学试题分类汇编——不等式选讲

班级 姓名

一、
选择题:

1 .(2011年高考山东卷理科4)不等式
|x?5|?|x?3|?10
的解集为( )
(A)[-5.7] (B)[-4,6] (C)
(??,?5]?[7,??)
(D)
(??,?4]?[6,??)

【解析】由不等式的几何意义知,式子
|x?5|?|x?3|
表示数轴的点
(x)
与点(5)的距离和与
点(- 3)的距离之和,其距离之和的最小值为8,结合数轴,选项D正确
2.(2011天津理)已知集合
A?
?
x?R|x?3?x?4?9
?
,

B?< br>?
?
1
?
?
x?R|x?4t?
t
,t?( 0,??)
?
?
B?
?
?
?
x?R|x?4t?< br>1
t
,t?(0,??)
?
?
?
,则集合
A ?B
=________.
【答案】
?
x?R|?2?x?5
?

【解析】∵
A?
?
x?R||x?3|?|x?4|?9
?
?
?
x?R |?4?x?5
?

B?
?
?
?
x?R|x?4 t?
1
t
?6,t?
?
0,??
?
?
?< br>?
?
?
?
x?R|x?24t?
1
?6,t?
?
t
?
0,??
?
?
?
?
?
?
x?R|x??2
?


A?B?
?
x?R|? 4?x?5
?
?
?
x?R|x??2
?
?
?
x?R|?2?x?5
?
.
3.
对于实数x,y,若
x?1?1

y?2?1
,则
x?2y?1
的最大值为 .
【答案】5

4.(2011年高考广东卷理科9)不等式
x?1?x ?3?0
的解集是______.
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【解析】
{x|x?1}
。由题得
|x?1|?|x?3|?(x?1)
2
?(x?3)
2< br>?x?1
所以不等式的解
集为
{x|x?1}

5.( 2011年高考陕西卷理科15)若关于x的不等式
a?x?1?x?2
存在实数解,则实数< br>a
的取
值范围是
【答案】
(??,?3][3,??)

【解析】:因为
x?1?x ?2?|x?1?x?2|?3
所以
a?x?1?x?2
存在实数解,

a?3
a??3

a?3

6.(2012年高 考陕西理)
若存在实数
x
使
|x?a|?|x?1|?3
成立,则实 数
a
的取值范围是
___________.
7.(2012年高考山东理 )
若不等式
kx?4?2
的解集为
?
x1?x?3
?
,则实数
k?
__________.
8.(2012年高考江西理)
在 实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为
___________。
9 .(2012年高考广东理)
不等式
x?2?x?1
的解集为___________ _______.
10.(2012年高考(湖南理))
不等式|2x+1|-2|x-1| >0的解集为_______.

11.(2013年重庆理)
若关于实数
x
的不等式
x?5?x?3?a
无解,则实数
a
的取值范围是
_________
【答案】
?
??,8
?

12.(2013年高考陕西卷理)
已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小
值为_______.
【答案】
2
13.(2013年高考江西理)
在实数范围内,不 等式
x?2?1?1
的解集为_________
【答案】
?
0,4
?


3?x?4?9
?
,


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14. (2013年高考湖北理)

x,y,z?R
,且满足:
x?y?z?1,
x?2y?3z?14
,则
222
x?y?z?
______ _.
11
?由数轴可知,f(x)=|x-|+|x-|
1115
22?由数轴可知,f(x)=|x-|+|x-|+|x+2|有最小值f()=
222
5< br>2
15
111

f
(
x
)≥
a2
+

a+2恒成立,即

?由数轴可知,f(x)=|x-| +|x-|+|x+2|有最小值f()=

【答案】
314
7


15.(2014江西)对任意
x,y?R
,
x?1?x?y?1 ?y?1
的最小值为( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

B【解析】
|x?1|?|x|?|y?1|?|y?1?|x?1 ?x|?|y?1?
?
y?1
?
|?1?2?3

16.( 2014湖南)
x
的不等式
ax?2?3
的解集为
?
?x?
5
?
3
?x?
1
?
3
?
?
,则
a?
________.

17.(2014陕西)设a,b,m,n?R
,且
a
2
?b
2
?5,ma?nb ?5
,则
m
2
?n
2
的最小值为
?a
2
+b
2
=5,∴设a=5sinθ,b=5cosθ,则ma+nb =m5sinθ+n5cosθ=
5m
2
+n
2
sin(θ+φ)= 5,∴m
2
+n
2
sin(θ+φ)=5≤m
2
+n
2
.
所以,m
2
+n
2
的最小值为5
18.(2 014重庆)若不等式
2x?1?x?2?a
2
?
1
a?2
对任意实数
x
恒成立,则实数
a
的取值范
2

围是____________.
【解析】
[-1,
1
2
]

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f
(
x
)≥
a
2
+
1
a+2 恒成立,即
2
5
2

a
2
+
1
a +2,即0≥2
2
2
+a
2
-1,
22

f
(
x
)≥
a
2
+
2
1
a+2恒 成立,即
2
5

a
2
+
2
1
a< br>a+2,即0
2
解得a∈[-1,
1
]
解得a∈[-1,1
222
≥2a+a-1,
2
解得a∈[-1,
2
1< br>]
2
]
二、解答题
1、(2010福建理数)已知函数
f(x)?|x?a|

(Ⅰ)若不等 式
f(x)?3
的解集为
?
x|?1?x?5
?
,求实数< br>a
的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若
f(x)?f(x?5)?m
对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围。
【解析】(Ⅰ)由
f(x)?3
|x?a|?3
,解得
a?3?x?a?3
,又已知不等式
f(x)?3
的解集

?
x|?1?x?5
?
,所以
?
?
a?3??1
,解得
a?2

?
a?3?5
( Ⅱ)当
a?2
时,
f(x)?|x?2|
,设
g(x)=f(x)? f(x?5)
,于是
?
?2x?1,xg(x)=|x-2|?|x ?3|
=
?
?
5,?3?x?2
,所以
?
?2x?1,x>2

x<-3
时,
g(x)>5
;当
- 3?x?2
时,
g(x)>5
;当
x>2
时,
g(x)>5


2、(2010江苏卷)设a、b是非负实数,求证:
a
3< br>?b
3
?ab(a
2
?b
2
)

[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证的能力。满分10分。
证明:由a、b是非负实数,作差得
a
3
?b
3
?ab( a
2
?b
2
)?a
2
a(a?b)?b
2
b(b?a)
?(a?b)[(a)
5
?(b)
5
]


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a?b
时,
a ?b
,从而
(a)
5
?(b)
5
,得
(a?b)[ (a)
5
?(b)
5
]?0


a?b
时,
a?b
,从而
(a)
5
?(b)
5
,得
(a?b)[(a)
5
?(b)
5
]?0

所以
a
3
?b
3
?ab(a
2
?b
2
)
3、(2010辽宁理数)已知
a,b,c
均为正数,证明:
a2
?b
2
?c
2
?(
1
a
?
1
b
?
1
c
)
2
?63
,并确定
a,b,c
为何值时,等号成立。
证明:(证法一)因为a,b,c均为正数,由平均值不等式得
2
a
2?b
2
?c
2
?3(abc)
3
2
①, 所以
?
?
2
1
?
1
?
1
?
1
?
1
3
?
a
?
1
b
?
1
?
c
?
?
?9(abc)
3
② ……6分
abc
?3(abc)

a
2
?b2
?c
2
?(
111
2
2
3
?
2
a
?
b
?
c
)?3(abc)?9(abc)
3
.
22

3(abc)
3
?9(abc)
?< br>3
?227?63
③所以原不等式成立. ……8分
2当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立。当且仅当
3(abc)
3
?9(a bc)
?
2
3
时,③式等号成立。
1
即当且仅当a=b=c=
3
4
时,原式等号成立。 ……10分
(证法二)因为a,b,c均为正数,由基本不等式得
a?b
a?b?2 ab
b
2
?c
2

?2ab
?2bc

a
2
?b
2
?2ab

b
2
?c
2
?2bc

c
2
?a
2
?2ac
2
所以
b
a
2
?c2
2
?2
2
bc
c
2
?a
2
?2ac
c
2
?
?
b
a
2
?
?< br>c
2ac
?ab?bc?ac

同 理
111111
a
2
?
b
2
?
c
2
?
ab
?
bc
?
ac
② ……6分
?ab?bc?ac?3
1
?

a
2< br>?b
2
?c
2
?(
1
a
?
1
b
?
1
c
)
2
ab
3
?ab?bc?a c?3
111

?63

ab
?3
bc
?3
ac
所以原不等式成立. ……8分
?63
当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,
(ab)
2
?(bc)
2
?(ac)
2
?3
时,
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1
③式等号成立。即当且仅当a=b=c=
3
4
时,原式等号成立。 ……10分
4、(2011年高考辽宁卷理科24)已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.
(I)证明:-3≤f(x)≤3;
(II)求不等式f(x)≥x
2
-8x+15的解集.
?
解:( I)
f(x)?|x?2|?|x?5|?
?
?3,x?2,
?
2x ?7,2?x?5,

?
?
3,x?5.

2?x?5时,?3?2x?7?3.
所以
?3?f(x)?3.

(II)由(I)可知,

x?2时,f(x)?x
2
?8x?15
的解集为空集;

2?x?5时,f(x)?x
2
?8x?15的解集为{x|5?3?x?5}

x?5时,f(x)?x
2
?8x?15的解集为{x|5?x?6}
.
综上,不等式
f(x)?x
2
?8x?15的解集为{x|5?3?x?6} .

5、(2011年高考全国新课标卷理科24)设函数
f(x)?x?a?3x ,a?0

(1)当
a?1
时,求不等式
f(x)?3x?2
的解集;
(2) 如果不等式
f(x)?0
的解集为
?
xx??1
?
,求
a
的值。
分析:解含有绝对值得不等式,一般采用零点分段法,去掉绝 对值求解;已知不等式的解集要求
字母的值,先用字母表示解集,再与原解集对比可得字母的值; 解:
3
1
ac
(Ⅰ)当
a?1
时,不等式
f( x)?3x?2
,可化为,
x?1?2

?x??1,x?3

所以不等式
f(x)?3x?2
的解集为
?
xx??1,或x?3< br>?

(Ⅱ)因为
f(x)?0
,所以,
x?a?3x?0
,可化为,
1
?
bc


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?
?x?a
?
x?a
?
x?a

?
?
x? a?3x?0
?
x?a
,即
?
?
a?x?3x?0
?
?
?
x?
a

?
?
4
?
?
x??
a

2
因为,
a?0
所以,该不等式的 解集是
?
?
xx??
a
?
?
,再由题设条件得?
a
?
2
?
2
??1,?a?2

点评:本题考查含有绝对值不等式的解法,以及解法的应用,注意过程的完整性与正确性。
6、(2011年高考江苏卷21)解不等式:
x?|2x?1|?3

解析:考察绝对值不等式的求解,容易题。
[来源学#科#网]

原不等式等 价于:
x?3?2x?1?3?x,??2?x?
4
3
,解集为
(? 2,
4
3
)

7、(2011年高考福建卷理科21)设不等式|2x-1|<1的解集为M.
(I)求集合M; (II)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.
解析:本 小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,
解:(I)由
|2x?1|?1得?1?2x?1?1,解得0?x?1.
所以
M?{x|0?x?1}.
[

(II)由(I)和
a,b?M 可知0,所以
(ab?1)?(a?b)?(a?1)(b?1)?0.

ab?1?a?b.

8.(2012年高考新课标理)
已知函数
f(x)?x?a?x?2

(1)当
a??3
时,求不等式
f(x)?3
的解集;
( 2)若
f(x)?x?4
的解集包含
[1,2]
,求
a
的取 值范围.
【解析】(1)当
a??3
时,
f(x)?3?x?3?x?2?3

?
?
?
x?2
?
3?x?2?x?3

?
?
?
2?x?3
?
3?x?x?2?3

?
?
?
x?3
?
x?3?x?2?3

?x?1

x?4

(2)原命题
?f(x)?x?4
[1,2]
上恒成立
?x?a?2?x?4?x

[1,2]
上恒成立
??2?x?a?2?x

[1,2]
上恒成立
??3?a?0

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9.(2012年高考辽宁理)
已知< br>f(x)?|ax?1|(a?R)
,不等式
f(x)?3
的解集为
{ x|?2剎
x?1
}.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若
|f(x)? 2f(
x
2
)|?k
恒成立,求k的取值范围.

20. (2012年高考(江苏))
已知实数x,y满足:
|x?y|?
1
3
,|2x?y|?
1
6

求证:
|y|?
5
18
.
证明:∵
3|y|=|3y|=|2
?
x?y
?
?
?
2x?y
?
|?2x?y?2x?y
,
由题设< br>|x?y|?
11
3
,|2x?y|?
6


3|y|<
1
3
?
1
6
=
5
6
.∴
|y|?
5
18
.
【考点】绝对值不等式的基本知识.
11.(2012年高考福建理)
已知函数f(x)?m?|x?2|,m?R
,且
f(x?2)?0
的解集为
[? 1,1]

(Ⅰ)求
m
的值;
(Ⅱ)若
a,b,c?R< br>,且
1
a
?
1
2b
?
1
3c
?m
,求证:
a?2b?3c?9

【考点定位】本题主要考查绝对值不 等式、柯西不等式等基本知识,考查运算求解能力,考查化
归与转化思想。
【解析】(1)∵
f(x?2)?m?x?0,?x?m

?m?0,?m? x?m,?f(x?2)?0
的解集是
[?1,1]
,故
m?1

(2)由(1)知
1
a
?
1
2b
?
13c
?1,a,b,c?R
,由柯西不等式得



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