选修4-5 绝对值不等式教案(绝对经典)

选修4-5 不等式选讲

第1节 绝对值不等式
【最新考纲】 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及
取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋ |b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会
利用绝对值的几 何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋
|x－b|≥a.

要 点 梳 理
1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
|x||x|>a
a>0
(－a，a)
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
a＝0
?

(－∞，0)∪(0，＋∞)
a<0
?
R
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c；
(3)|x－a|＋|x－b|≥c (c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥ 0时，
等号成立.
基 础 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( )

(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.( )
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( )
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( )
(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )
A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5)
解析 ①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.
②当1∴x<4，∴1③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立.
综上，原不等式的解集为(－∞，4).
答案 A
3.若关于x的不等式|a|≥ |x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是
________.
解析 由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.
要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.
答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)
4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
解析 ∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
答案 2
aa
5.设 a>0，|x－1|<
3
，|y－2|<
3
，求证：|2x＋y－4|aa
证明 因为|x－1|<
3
，|y－2|<
3
，
所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|
2aa
≤2|x－1|＋|y－2|<
3
＋
3
＝a.

故原不等式得证.
题型分类 深度解析

考点一 绝对值不等式的解法
【例1－1】 已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)在图中画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

?
?
3x－2，－13
2
，
解 (1)f(x)＝
?
3
?
－x＋4，x>
?
2
，
故y＝f(x)的图象如图所示.
x－4，x≤－1，

(2)由f(x)的解析式及图象知，
当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
1
当f(x)＝－1时，可得x＝
3
或x＝5.
故f(x)>1的 解集为{x|1?
??
1
?
的解集为< br>x|x<
3
，或x>5
?
.
??
?
??< br>1
所以|f(x)|>1的解集为
?
x|x<
3
，或15
?
.
【例1－2】 已知函数f(x)＝－x
2
＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1，1]，求a的取值范围.
解 (1)当a＝1时，f(x)＝－x
2
＋x＋4，
f(x)≥g(x)?x
2
－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.
①当x>1时，f(x)≥g(x)?x
2
＋x－4≤0，
17－1
解之得12
.
②当－1≤x≤1时，f(x)≥g(x)?(x－2)(x＋1)≤0，
则－1≤x≤1.
③当x<－1时，f(x)≥g(x)?x
2
－3x－4≤0，解得－1≤x≤4，
又x<－1，∴不等式此时的解集为空集.
?
?
?
综上所述，f( x)≥g(x)的解集为
?
x
?
－1≤x≤
?
?
?
?
17－1
?
?
.
2
?
?
(2 )依题意得：－x
2
＋ax＋4≥2在[－1，1]上恒成立.
则x
2
－ax－2≤0在[－1，1]上恒成立.
2
1－2≤0，
?
1－a·
则只需
?

2
（－1）－a（－1）－2≤0，
?
解之得－1≤a≤1.
故a的取值范围是[－1，1].
规律方法 1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形
结合的思想.
2.解绝 对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零
点；划分区间，去绝对值符号； 分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝对
值的几何意义，结合数轴直观求解.
【变式练习1】 已知函数f(x)＝|x－2|.
(1)求不等式f(x)＋x
2
－4>0的解集；
(2)设g(x)＝－| x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)取值范围.
解 (1)不等式f(x)＋x
2
－4>0，即|x－2|>4－x
2
.
当x>2时，不等式可化为x
2
＋x－6>0，解得x>2；

当x<2时，不等式可化为x
2
－x－2>0，解得x<－1.
所以原不等式的解集为{x|x>2或x<－1}.
(2)依题意，|x－2|<3m－|x＋7|解集非空，
∴3m>|x－2|＋|x＋7|在x∈R上有解，
又|x－2|＋|x＋7|≥|(x－2)－(x＋7)|＝9，
所以3m>9，解得m>3.
故实数m的取值范围是(3，＋∞).
考点二 绝对值不等式性质的应用
【例2－1】 设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.
1
?
1?
1
(1)证明：
?
3
a＋
6
b
?< br><
4
；
??
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由.
(1)证明
?
3，x≤－2，
设f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝
?
－2x －1，－2
?
－3，x>1.
11
由－2<－2x－1 <0，解得－
2
2
.
11
?
11
?
因此集合M＝
?
－
2
，
2
?
，则|a| <
2
，|b|<
2
.
??
1
?
1111 111
?
1
a＋b
??
所以
36
?
≤3
|a|＋
6
|b|<
3
×
2
＋
6< br>×
2
＝
4
.
?
11
(2)解 由(1)得a
2
<
4
，b
2
<
4
.
因为|1－4ab|
2
－4|a－b|
2

＝(1－8ab ＋16a
2
b
2
)－4(a
2
－2ab＋b
2)
＝16a
2
b
2
－4a
2
－4b
2
＋1
＝(4a
2
－1)(4b
2
－1)>0，
所以|1－4ab|
2
>4|a－b|
2
，
故|1－4ab|>2|a－b|.
【例2－2】 对于任意的实数a(a≠0)和b，不等 式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记
实数M的最大值是m.
(1)求m的值；
(2)(一题多解)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.

解 (1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，
即M≤
|a＋b|＋|a－b|
对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于
|a|
右边的最小值 .
因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，
当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成立，
|a＋b|＋|a－b|
≥2成立，
|a|
|a＋b|＋|a－b|
也就是的最小值是2，所以M≤2.
|a|
即|a|≥|b|时，
因此m＝2.
(2)不等式|x－1|＋|x－2|≤m，
即|x－1|＋|x－2|≤2.
法一 由于|x－1|＋|x－2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和；
15
而数轴上
2
和
2
对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2， < br>?
15
?
故|x－1|＋|x－2|的解集为
?
x|
2
≤x≤
2
?
.
??
法二 ①当x<1时，不等式为－(x－1)－(x－2)≤2，
11
解得x≥
2
，即
2
≤x<1.
②当1≤x≤2时，不等式为(x－1)－(x－2)≤2，
即1≤x≤2.
55
③当x>2时，不等式为(x－1)＋(x－2)≤2，解得x≤
2
，即22
.
?
15
?
?
综上可知，不等式的解集是
x|
2
≤x≤
2
?
.
??
规律方法 1.求含绝 对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几
何意义；(2)利用绝对值三角不等式， 即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区
间法.
2.含绝对值不等式的证明中，要注意绝对值三角不等式的灵活应用.
【变式练习2】 对于 任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b
＋2|≤m，求实数m 的取值范围.
解 因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，

1
?
1
?
所以|3a－3b|≤3，
?
a－
2
?
≤
2
，
??
1
?
5
?
所以|4a－3 b＋2|＝|(3a－3b)＋
?
a－
2
?
＋
2
|
??
1515
≤|3a－3b|＋|a－
2
|＋
2
≤3＋
2
＋
2
＝6，
则|4a－3b＋2|的最大值为6，
所以m≥|4a－3b＋2|
max
＝6，m的取值范围是[6，＋∞).
考点三 绝对值不等式的综合应用
【例3】 已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x
2
－x＋m的解集非空，求m的取值范围.
解
?
－3，x≤－1，
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
?
2x－1，－1
?
3，x≥2.
①当x≤－1时，f(x)＝－3≥1无解；
②当－1解得x≥1，则1≤x<2；
③当x≥2时，f(x)＝3≥1恒成立，∴x≥2.
综上知f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)不等式f(x)≥x
2
－x＋m等价于f(x)－x
2
＋x≥m，
得m≤|x＋1|－|x－2|－x
2
＋x有解，
又|x＋1|－|x－2 |－x
2
＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x
2
＋|x|
3
?
2
55
?
＝－
?
|x|－
2
?
＋
4
≤
4
.
??
35
当且仅当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x
2
＋x＝.
24
5
??
故实数m的取值范围是
?
－∞，
4?
.
??
规律方法 1.例3第(1)问分段讨论，求得符合题意的x取值范围，最后取并集.
2.(1)不等式恒成立问题，解集非空(不能成立)问题，转化为最值问题解决.
(2)本题分离参数m，利用绝对值不等式的性质求解，避免分类讨论，优化了解题
过程.

【变式练习3】 已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围.
解 (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.
(2)当x∈R时，
1
f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当 x＝
2
时等号成
立，
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞).

错误!
课后练习

A组 (时间：50分钟)
1.(1)求不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集；
?
51
?
(2)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为
?
x|－
3
3
?
，求a的值.
??
解 (1)当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；
当－2≤x<1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；
当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.
综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.
(2)∵|ax－2|<3，∴－1151551
当a>0时，－a
a
，－
a
＝－
3
，且
a＝
3
无解；
当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；
515511< br>当a<0时，
a
a
，
a
＝－
3，且－
a
＝
3
，解得a＝－3.
2.已知函数f(x)＝|ax－2|.
(1)当a＝2时，解不等式f(x)>x＋1；

1
(2)若关于x的不等式f(x)＋f(－x)<
m
有实数 解，求m的取值范围.
解 (1)当a＝2时，不等式为|2x－2|>x＋1，当x≥1时，不等式 化为2x－2>x＋1，
解得x>3.
1
当x<1时，不等式化为2－2x>x＋1，解得x<
3
.
?< br>1
?
综上所述，不等式的解集为
?
x|x>3或x<
3
?
.
??
(2)因为f(x)＋f(－x)＝|ax－2|＋|－ax－2|≥| ax－2－ax－2|＝4，所以f(x)＋f(－x)的
11
最小值为4，又f(x)＋f( －x)<
m
有实数解，所以
m
>4.
1
??
0，
?
则m的取值范围为.
4
?
??
3.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
解 (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
2
当－10，解得
3
当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1
?
?
2
?
??
.
?
的解集为x
3
?
?
?
?
x－1－2 a，x<－1，
(2)由题设可得，f(x)＝
?
3x＋1－2a，－1≤x≤a，< br>
?
－x＋1＋2a，x>a.
?
2a－1
?
所以函 数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A
?
，0
?
，B(2 a＋
?
3
?
1，0)，C(a，a＋1)，
12
△ABC 的面积S＝
2
|AB|·(a＋1)＝
3
(a＋1)
2
.
2
由题设得
3
(a＋1)
2
>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).
4.在平面直角坐标系中，定义点P(x
1，y
1
)，Q(x
2
，y
2
)之间的“直角距离”为L (P，
Q)＝|x
1
－x
2
|＋|y
1
－y
2
|，已知A(x，1)，B(1，2)，C(5，2)三点.

(1)若L(A，B)>L(A，C)，求x的取值范围；
(2)当x∈R时，不等式L(A，B)≤t＋L(A，C)恒成立，求t的最小值.
解 (1)由定义得|x－1|＋1>|x－5|＋1，
则|x－1|>|x－5|，两边平方得8x>24，解得x>3.
故x的取值范围为(3，＋∞).
(2)当x∈R时，不等式|x－1|≤|x－5|＋t恒 成立，也就是t≥|x－1|－|x－5|恒成立，
因为|x－1|－|x－5|≤|(x－1)－(x－5)|＝4，
所以t≥4，t
min
＝4.
故t的最小值为4.
?
1
?
5.设函数f(x)＝
?
2
x＋1
?
＋|x|( x∈R)的最小值为a.
??
(1)求a；
11
(2)已知两个正数m， n满足m
2
＋n
2
＝a，求
m
＋
n
的最小 值.
?
?
1
解 (1)f(x)＝
?
－
2
x＋1，－2≤x≤0，

3?
?
2
x＋1，x>0.
当x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减；
当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增；
∴当x＝0时，f(x)的最小值a＝1. < br>1
(2)由(1)知m
2
＋n
2
＝1，则m
2
＋n
2
≥2mn，得
mn
≥2，
由于m>0，n>0，
11
则
m
＋
n
≥2
12
≥22，当且仅当m＝n ＝
mn2
时取等号.
3
－
2
x－1，x<－2，
11
∴
m
＋
n
的最小值为22.
B组 (时间：30分钟)
6.已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.
(1)解不等式：|g(x)|＜5；
(2)若对任意的x
1
∈R，都有x
2
∈R，使得f(x
1
)＝g(x
2
)成立，求实数a的取 值范围.

解 (1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，
所以－7＜|x－1|＜3，
解不等式得－2＜x＜4，
所以原不等式的解集是{x|－2＜x＜4}.
(2)因为对任意的x
1
∈R，都有x
2
∈R，
使得f(x
1
)＝g(x
2
)成立，
所以{y|y＝f(x)}?{y|y＝g(x)}，
又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋ 3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，
所以|a＋3|≥2，
解得a≥－1或a≤－5，
所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.
7.已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|x＋1|－x.
(1)解不等式f(x)>g(x)；
(2)若存在实数x，使不等式m－g(x)≥f(x)＋x(m∈R)成立，求实数m的最小值.
解 (1)原不等式f(x)>g(x)化为|x－2|＋x>|x＋1|，
当x<－1时，－(x－2)＋x>－(x＋1)，
解得x>－3，即－3当－1≤x≤2时，－(x－2)＋x>x＋1，
解得x<1，即－1≤x<1.
当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3.
综上所述，不等式f(x)>g(x)的解集为{x|－33}.
(2)由m－g(x)≥f(x)＋x(m∈R)可得m≥|x－2|＋|x＋1|，
由题意知m≥(|x－2|＋|x＋1|)
min
，
∵|x－2|＋|x＋1|≥|x－2－(x＋1)|＝3，
∴m≥3，故实数m的最小值是3.
8.已知不等式|x－m|<|x|的解集为(1，＋∞).
(1)求实数m的值；
a－5
?
1
??
m
?
a＋2
(2)若不等式x
<
?
1＋
x
?
－
?
1－
x
?
<
x
对x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值
????
范围.

解 (1)由|x－m|<|x|，得|x－m|
2
<|x |
2
，即2mx>m
2
，
又不等式|x－m|<|x|的解集为(1，＋∞)，
则1是方程2mx＝m
2
的解，解得m＝2(m＝0舍去).
a－5
?
1
??
m
?
a＋2
(2)∵m＝2，∴不等式
x
<
?
1＋
x
?
－
?
1－
x?
<
x
对x∈(0，＋∞)恒成立等价于不
????
等式a－5 <|x＋1|－|x－2|?
2x－1，0设f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
?

3，x≥2，
?
当0则－1当x≥2时，f(x)＝3.
因此函数f(x)的值域为(－1，3].
?
a－5≤－1，
从而原不等式等价于
?
解得1?
a＋2>3，
所以实数a的取值范围是(1，4].