高中数学人教A版选修4-5习题：第四讲4.2用归纳法证明不等式 Word版含答案

第四讲 数学归纳法证明不等式
4.2 用数学归纳法证明不等式

A级 基础巩固
一、选择题
1．用数学归纳法证明3≥
n(
n
≥3，
n
∈N)，第一步应验证( )
A．
n
＝1
C．
n
＝3
解析：由题意
n
≥3知应验证
n
＝3.
答案：C
111
2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋
n
＜
n
，(
n
∈N
＋
，
n
＞1)”时，由
n
＝
k(
k
＞1)不
232－1
等式成立，推证
n
＝
k
＋1时，左边应增加的项数是( )
A．2
k
－1
n
3
B．
n
＝2
D．
n
＝4
B．2－1
D．2＋1
k
＋1
k
k
C．2
解析：增加的项数为(2
答案：C
k
k
－1)－(2－1)＝2
k
＋1
－2＝2.故选C.
kk
111127
3．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋
n
－1
＞(
n
∈N
＋
)成立，其初始值至少应取
24264
( )
A．7 B．8 C．9 D．10
1
1－
n
2
1111
解析：左边＝1＋＋＋…＋
n
－1
＝＝2－n
－1
，代入验证可知
n
的最小值是8.
24212
1－
2
答案：B
4．用数学归纳法证明“
11 1111
*
＋＋＋…＋≥(
n
∈N)”时，由
n
＝
k
到
n
＝
k
n
＋1
n
＋2
n＋3
n
＋
n
24
＋1时，不等式左边应添加的项是( )
A.
B.
C.
1

2（
k
＋1）
11
＋
2
k
＋12
k
＋2
111
＋－
2
k
＋12
k
＋2
k
＋1
- 1 -

D.
1111
＋－－
2
k
＋1 2
k
＋2
k
＋1
k
＋2
解析：当
n
＝
k
时，不等式为
11111
＋＋…＋≥.
k
＋1< br>k
＋2
k
＋
k
24
当
n
＝
k
＋1时，
左边＝
1111
＋＋…＋＋＋
（
k
＋ 1）＋1（
k
＋1）＋2（
k
＋1）＋（
k
－1）（
k
＋1）＋
k
111111
＝＋＋…＋＋＋.
（
k＋1）＋（
k
＋1）
k
＋2
k
＋3
k
＋
k
2
k
＋12
k
＋2
比较
n
＝
k
与
n
＝
k
＋1的左边，
111
可知应添加的项为＋－.
2
k
＋12
k
＋2
k
＋1
答案：C
5．若不等式
大值为( )
A．12
C．14
解析：令
f
(
n
)＝
B．13
D．不存在 111
＋＋…＋，取
n
＝2，3，4，5等值发现
f
(
n
)是单调递减的，
n
＋1
n
＋22
n
111m
＋＋…＋＞对大于1的一切自然数
n
都成立，则自然数
m
的最
n
＋1
n
＋22
n
24
所以[
f
(
n
)]
max
＞，
24
所以由
f
(2)＞
答案：B
二、填空题
6 ．用数学归纳法证明2
解析：当
n
＝1时，2
答案：2
1＋121＋1
m
m
24
，求得
m
的值．故应选B.
n
＋1
≥
n
＋
n
＋2(
n
∈N
＋
)时，第一步的验证为________．
2
2
≥1＋1＋2，即4≥4成立．
≥1＋1＋2
111911 1116
7．在△
ABC
中，不等式＋＋≥成立；在四边形
ABCD
中，不等式＋＋＋≥成
ABC
π
ABCD
2π
1111125
立；在五边形
ABCDE
中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在
n
边形
A
1
A
2
…
A
n
中，类似成
ABCDE
3π
立的不等式为________．
解析：由题中已知不等式可猜想：
- 1 -

1
A
1
A
2
＋＋… ＋≥
11
11
n
2
1
A
n
（
n< br>－2）π
(
n
≥3且
n
∈N)．
*
答案： ＋＋…＋≥
n
2
A
1
A
2
A
n
（
n
－2）π
(
n
≥3且
n
∈N)
*1112
n
＋1
*
8．在应用数学归纳法证明“1＋
2
＋
2
＋…＋(
n
∈N)”时，从
n
＝
k
到
n
2
＜
23（
n
＋1）
n
＋1
＝
k
＋1，不等式左边增加的项是________．
解析：解决此题的关键是看清不 等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从1开
始；二看“尾”，当
n
＝
k
时，尾项的分母为(
k
＋1)，
n
＝
k
＋1时 尾项的分母为(
k
＋2)；三看
中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(
n
＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从
n
＝
k
到
n1
＝
k
＋1只增加了一项，即
2
(
k
∈N＋
)．
（
k
＋2）
答案：
1
2

（
k
＋2）
22
2
三、解答题
9．试证明：1＋
1
2
＋
1
3
＋…＋
1
n
＜2n
(
n
∈N
＋
)．
证明：(1)当
n
＝1时，不等式成立．
(2)假设
n
＝
k
(
k
≥1，
k
∈N
＋
)时，不等式成立 ，即
1＋
111
＋＋…＋＜2
k
.
23
k
那么
n
＝
k
＋1时，
1
?
1＋
1
＋
1
＋…＋
1
?

??
＋
23
k
??
k
＋1
＜2
k
＋< br>1
k
＋1
k
＋1

＝
＜
2
k
（
k
＋1）＋1

k
＋（
k
＋1）＋1

k
＋1
＝2
k
＋1.
这就是说，
n
＝
k
＋1时，不等式也成立．
根据(1)(2)可知不等式对
n
∈N
＋
成立．
1
3
10．已知函数
f
(
x
)＝
x
－
x< br>，数列{
a
n
}满足条件：
a
1
≥1，且
a
n
＋1
≥
f
′(
a
n
＋1)，证明：a
n
3
≥2－1(
n
∈N)．
n
*
- 1 -

1
3
证明：由
f
(
x
)＝
x
－
x
，
3
得
f
′(
x
)＝
x
－1.
因 此
a
n
＋1
≥
f
′(
a
n
＋1) ＝(
a
n
＋1)－1＝
a
n
(
a
n
＋2)，
(1)当
n
＝1时，
a
1
≥1＝2－1，不等式成立． < br>(2)假设当
n
＝
k
时，不等式成立，即
a
k
≥2－1，
当
n
＝
k
＋1时，
k
1
2
2
a
k
＋1
≥
a
k
(
a
k
＋2)≥(2
k
－1)(2
k
－1＋2)＝2
2
k
－1.
又
k
≥1，所以2≥2
2
kk
＋1< br>，所以
n
＝
k
＋1时，
a
k
＋1
≥ 2
n
k
＋1
－1，不等式成立．
根据(1)和(2)知，对任意< br>n
∈N
＋
，
a
n
≥2－1成立．
B级 能力提升
111
1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋
n
＜
f
(
n
)(
n
≥2，
n
∈N
＋
)的 过程中，由
n
232－1
＝
k
到
n
＝
k< br>＋1时，左边增加了( )
A．1项
C．2
k
－1
B．
k
项
D．2项
k
项
1
?
111111
?
11
解析 ：1＋＋＋…＋
k
＋1
－
?
1＋＋＋…＋
k
＝k
＋
k
＋…＋
k
＋1
，共增加
?
2－ 1
?
22＋1232－1
?
23
2－1
了2项．
答案：D
2．利用数学归纳法证明
________．
3
解析：
n
0
＝1时不成立，
n
0
＝2时，＜3，再用数学归纳法证 明，故
n
0
＝2.
2
答案：2
1
3．已知数列 {
a
n
}的前
n
项和为
S
n
，且满足a
1
＝，
a
n
＋2
S
n
S
n
－1
＝0(
n
≥2)．
2
?
1
?
(1)判断
??
是否为等差数列，并证明你的结论；
?
S
n?
k
3×5×…×（2
n
－1）
＜2
n
－1时 ，
n
的最小取值
n
0
应为
2×4×…×（2
n－2）
11
222
(2)证明：
S
1
＋
S2
＋…＋
S
n
≤－.
24
n
11
( 1)解：
S
1
＝
a
1
＝，所以＝2.
2
S
1
当
n
≥2时，
a
n
＝
S
n< br>－
S
n
－1
，即
S
n
－
S
n
－1
＝－2
S
n
S
n
－1
，
11
所以－＝2.
S
n
S
n
－1
- 1 -

?
1
?
故
??
是以2为首项、2为公差的等差数列． ?
S
n
?
111
2
(2)证明：①当
n
＝1时，
S
1
＝＝－，不等式成立．
424×1
11
2 22
②假设
n
＝
k
(
k
≥1，且
k
∈N
＋
)时，不等式成立，即
S
1
＋
S
2
＋…＋
S
k
≤－成立，
24
k
1
11111< br>?
1
?
1
2222
则当
n
＝
k＋1时，
S
1
＋
S
2
＋…＋
S
k＋
S
k
＋1
≤－＋
2
?
＝－
2
＝－
?
－
24
k
4（
k
＋1）24
?< br>k
（
k
＋1）
?
1
22
4
·
k
＋
k
＋1
k
（
k
＋1）
＜
1
2
－
1
4
·
k
＋
k
11
2
k
（
k
＋1）
2
＝
2
－
4（< br>k
＋1）
.
即当
n
＝
k
＋1时，不等式成立．
根据①②可知对任意
n
∈N
＋
不等式成立．



2
- 1 -