济南高中数学现行教材-高中数学发展性顶层设计
第四讲 数学归纳法证明不等式
4.2 用数学归纳法证明不等式
A级 基础巩固
一、选择题
1.用数学归纳法证明3≥
n(
n
≥3,
n
∈N),第一步应验证( )
A.
n
=1
C.
n
=3
解析:由题意
n
≥3知应验证
n
=3.
答案:C
111
2.用数学归纳法证明“1+++…+
n
<
n
,(
n
∈N
+
,
n
>1)”时,由
n
=
k(
k
>1)不
232-1
等式成立,推证
n
=
k
+1时,左边应增加的项数是( )
A.2
k
-1
n
3
B.
n
=2
D.
n
=4
B.2-1
D.2+1
k
+1
k
k
C.2
解析:增加的项数为(2
答案:C
k
k
-1)-(2-1)=2
k
+1
-2=2.故选C.
kk
111127
3.用数学归纳法证明不等式1+++…+
n
-1
>(
n
∈N
+
)成立,其初始值至少应取
24264
( )
A.7 B.8 C.9 D.10
1
1-
n
2
1111
解析:左边=1+++…+
n
-1
==2-n
-1
,代入验证可知
n
的最小值是8.
24212
1-
2
答案:B
4.用数学归纳法证明“
11
1111
*
+++…+≥(
n
∈N)”时,由
n
=
k
到
n
=
k
n
+1
n
+2
n+3
n
+
n
24
+1时,不等式左边应添加的项是( )
A.
B.
C.
1
2(
k
+1)
11
+
2
k
+12
k
+2
111
+-
2
k
+12
k
+2
k
+1
- 1 -
D.
1111
+--
2
k
+1
2
k
+2
k
+1
k
+2
解析:当
n
=
k
时,不等式为
11111
++…+≥.
k
+1<
br>k
+2
k
+
k
24
当
n
=
k
+1时,
左边=
1111
++…+++
(
k
+
1)+1(
k
+1)+2(
k
+1)+(
k
-1)(
k
+1)+
k
111111
=++…+++.
(
k+1)+(
k
+1)
k
+2
k
+3
k
+
k
2
k
+12
k
+2
比较
n
=
k
与
n
=
k
+1的左边,
111
可知应添加的项为+-.
2
k
+12
k
+2
k
+1
答案:C
5.若不等式
大值为( )
A.12
C.14
解析:令
f
(
n
)=
B.13
D.不存在 111
++…+,取
n
=2,3,4,5等值发现
f
(
n
)是单调递减的,
n
+1
n
+22
n
111m
++…+>对大于1的一切自然数
n
都成立,则自然数
m
的最
n
+1
n
+22
n
24
所以[
f
(
n
)]
max
>,
24
所以由
f
(2)>
答案:B
二、填空题
6
.用数学归纳法证明2
解析:当
n
=1时,2
答案:2
1+121+1
m
m
24
,求得
m
的值.故应选B.
n
+1
≥
n
+
n
+2(
n
∈N
+
)时,第一步的验证为________.
2
2
≥1+1+2,即4≥4成立.
≥1+1+2
111911
1116
7.在△
ABC
中,不等式++≥成立;在四边形
ABCD
中,不等式+++≥成
ABC
π
ABCD
2π
1111125
立;在五边形
ABCDE
中,不等式++++≥成立.猜想在
n
边形
A
1
A
2
…
A
n
中,类似成
ABCDE
3π
立的不等式为________.
解析:由题中已知不等式可猜想:
- 1 -
1
A
1
A
2
++…
+≥
11
11
n
2
1
A
n
(
n<
br>-2)π
(
n
≥3且
n
∈N).
*
答案:
++…+≥
n
2
A
1
A
2
A
n
(
n
-2)π
(
n
≥3且
n
∈N)
*1112
n
+1
*
8.在应用数学归纳法证明“1+
2
+
2
+…+(
n
∈N)”时,从
n
=
k
到
n
2
<
23(
n
+1)
n
+1
=
k
+1,不等式左边增加的项是________.
解析:解决此题的关键是看清不
等式的左边每一项的分母的变化,一看“头”,从1开
始;二看“尾”,当
n
=
k
时,尾项的分母为(
k
+1),
n
=
k
+1时
尾项的分母为(
k
+2);三看
中间,如果忽略平方,1,2,3,…,(
n
+1)这些数都是连续相差1时.因此,从
n
=
k
到
n1
=
k
+1只增加了一项,即
2
(
k
∈N+
).
(
k
+2)
答案:
1
2
(
k
+2)
22
2
三、解答题
9.试证明:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<2n
(
n
∈N
+
).
证明:(1)当
n
=1时,不等式成立.
(2)假设
n
=
k
(
k
≥1,
k
∈N
+
)时,不等式成立
,即
1+
111
++…+<2
k
.
23
k
那么
n
=
k
+1时,
1
?
1+
1
+
1
+…+
1
?
??
+
23
k
??
k
+1
<2
k
+<
br>1
k
+1
k
+1
=
<
2
k
(
k
+1)+1
k
+(
k
+1)+1
k
+1
=2
k
+1.
这就是说,
n
=
k
+1时,不等式也成立.
根据(1)(2)可知不等式对
n
∈N
+
成立.
1
3
10.已知函数
f
(
x
)=
x
-
x<
br>,数列{
a
n
}满足条件:
a
1
≥1,且
a
n
+1
≥
f
′(
a
n
+1),证明:a
n
3
≥2-1(
n
∈N).
n
*
- 1 -
1
3
证明:由
f
(
x
)=
x
-
x
,
3
得
f
′(
x
)=
x
-1.
因
此
a
n
+1
≥
f
′(
a
n
+1)
=(
a
n
+1)-1=
a
n
(
a
n
+2),
(1)当
n
=1时,
a
1
≥1=2-1,不等式成立. <
br>(2)假设当
n
=
k
时,不等式成立,即
a
k
≥2-1,
当
n
=
k
+1时,
k
1
2
2
a
k
+1
≥
a
k
(
a
k
+2)≥(2
k
-1)(2
k
-1+2)=2
2
k
-1.
又
k
≥1,所以2≥2
2
kk
+1<
br>,所以
n
=
k
+1时,
a
k
+1
≥
2
n
k
+1
-1,不等式成立.
根据(1)和(2)知,对任意<
br>n
∈N
+
,
a
n
≥2-1成立.
B级
能力提升
111
1.用数学归纳法证明不等式1+++…+
n
<
f
(
n
)(
n
≥2,
n
∈N
+
)的
过程中,由
n
232-1
=
k
到
n
=
k<
br>+1时,左边增加了( )
A.1项
C.2
k
-1
B.
k
项
D.2项
k
项
1
?
111111
?
11
解析
:1+++…+
k
+1
-
?
1+++…+
k
=k
+
k
+…+
k
+1
,共增加
?
2-
1
?
22+1232-1
?
23
2-1
了2项.
答案:D
2.利用数学归纳法证明
________.
3
解析:
n
0
=1时不成立,
n
0
=2时,<3,再用数学归纳法证
明,故
n
0
=2.
2
答案:2
1
3.已知数列
{
a
n
}的前
n
项和为
S
n
,且满足a
1
=,
a
n
+2
S
n
S
n
-1
=0(
n
≥2).
2
?
1
?
(1)判断
??
是否为等差数列,并证明你的结论;
?
S
n?
k
3×5×…×(2
n
-1)
<2
n
-1时
,
n
的最小取值
n
0
应为
2×4×…×(2
n-2)
11
222
(2)证明:
S
1
+
S2
+…+
S
n
≤-.
24
n
11
(
1)解:
S
1
=
a
1
=,所以=2.
2
S
1
当
n
≥2时,
a
n
=
S
n<
br>-
S
n
-1
,即
S
n
-
S
n
-1
=-2
S
n
S
n
-1
,
11
所以-=2.
S
n
S
n
-1
-
1 -
?
1
?
故
??
是以2为首项、2为公差的等差数列. ?
S
n
?
111
2
(2)证明:①当
n
=1时,
S
1
==-,不等式成立.
424×1
11
2
22
②假设
n
=
k
(
k
≥1,且
k
∈N
+
)时,不等式成立,即
S
1
+
S
2
+…+
S
k
≤-成立,
24
k
1
11111<
br>?
1
?
1
2222
则当
n
=
k+1时,
S
1
+
S
2
+…+
S
k+
S
k
+1
≤-+
2
?
=-
2
=-
?
-
24
k
4(
k
+1)24
?<
br>k
(
k
+1)
?
1
22
4
·
k
+
k
+1
k
(
k
+1)
<
1
2
-
1
4
·
k
+
k
11
2
k
(
k
+1)
2
=
2
-
4(<
br>k
+1)
.
即当
n
=
k
+1时,不等式成立.
根据①②可知对任意
n
∈N
+
不等式成立.
2
- 1 -