最新整理高中数学人教A版选修4-5章末综合测评4 Word版含解析.doc

章末综合测评(四)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大 题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的) < br>1．用数学归纳法证明“1＋2＋2
2
＋…＋2
5n
－
1(n∈N
＋
)能被31整除”，当n
＝1时原式为( )
A．1
C．1＋2＋3＋4
B．1＋2
D.1＋2＋2
2
＋2
3
＋2
4

【解析】 左边＝1＋2＋2
2
＋…＋2
5n
－
1
，所以n＝1时，应为1＋2＋…＋2
5
×
1
－
1
＝1＋2 ＋2
2
＋2
3
＋2
4
.故选D.
【答案】 D
2．下列说法中正确的是( )
A．若一个命题当n＝1,2时为真，则此命题为真命题
B．若一个命题当n＝k时成立且推得n＝k＋1时也成立，则此命题为真命题
C．若一个命题当n＝1,2时为真，则当n＝3时此命题也为真
D．若一个命题当n＝1时为真，n＝k时为真能推得n＝k＋1时亦为真，则
此命题为真命题
【解析】 由数学归纳法定义可知，只有当n的初始取值成立且由n＝k成
立能推得n＝k＋1 时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A，B，C
项均不全面．
【答案】 D
1111
3．设S(n)＝
n
＋＋＋…＋
n
2
，则 ( )
n＋1n＋2
11
A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝
2
＋
3

111
B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2 )＝
2
＋
3
＋
4

111
C．S(n)共 有n
2
－n项，当n＝2时，S(2)＝
2
＋
3
＋
4

111
D．S(n)共有n－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝
2
＋
3
＋
4

2
111
【解析】 S(n)共有n
2
－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝
2
＋
3＋
4
.
【答案】 D
4．数列{a
n
}中，已知a
1
＝1，当n≥2时，a
n
－a
n
－
1
＝ 2n－1，依次计算a
2
，
a
3
，a
4
后，猜想a
n
的表达式是( )
【导学号：32750073】
A．3n－2
C．3
n
－
1

B．n
2

D.4n－3
【解析】 计算知a
1
＝1，a
2
＝4，a
3
＝9，a
4
＝16，
所以可猜想a
n
＝n
2
.
【答案】 B
5．平 面内原有k条直线，他们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，
它们的交点个数最多为( )
A．f(k)＋1
C．f(k)＋k＋1
B．f(k)＋k
D.k·f(k)
【解析】 第k＋1条直线与前k条直线都有不同的交点，此时应比原先增
加k个交点．
【答案】 B
6．下列代数式，n∈N
＋
，能被13整除的是( )
A．n
3
＋5n
C．6
2n
－
1
＋1
B．3
4n
＋
1
＋5
2n
＋
1

D.4
2n
＋
1
＋3
n
＋
2

【解析】 当n＝1时，n
3
＋5n＝6,3
4n
＋
1＋5
2n
＋
1
＝368,6
2n
－
1
＋1＝7,4
2n
＋
1
＋3
n
＋
2
＝91 ，
只有91能被13整除．
【答案】 D
7．用数学归纳法证明命题“当n是正 奇数时，x
n
＋y
n
能被x＋y整除”时，
第二步正确的证明方法是 ( )
A．假设n＝k(k∈N
＋
)时成立，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)时成立，证明n＝k＋1时命题也成立

C．假 设n＝2k＋1(k∈N
＋
)时成立，证明n＝2k＋3时命题也成立
D．假设n＝2k－1(k∈N
＋
)时成立，证明n＝2k＋1时命题也成立
【解析】 假设n的取值必须取到初始值1，且后面的n的值比前面的值大
2.A，B，C错．故选D.
【答案】 D
π
8．设0<θ<
2
，已知a
1
＝2cos θ，a
n
＋
1
＝2＋a
n
，则猜想a
n
为( )
θ
A．2cos
2
n

C．2cos
2
n
＋
1

B．2cos
2
n
－
1
θ
θθ
D.2sin
2
n

θ
2＋2cos
2
＝2cos
θ
【解析】 a
1
＝2cos θ，a
2
＝2＋2cos θ＝2cos
2
，a
3
＝
θ
4
，
猜想a
n
＝2cos
【答案】 B
2
n
－
1
.
θ
n
4
＋n
2
9．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n＝
2
，则当n＝k＋1时左端应在2
n＝k的基础上加上( )
A．k
2

B．(k＋1)
2

?k＋1?
4
＋?k＋1?
2
C.
2
D．(k< br>2
＋1)＋(k
2
＋2)＋…＋(k＋1)
2

【解析】 当n＝k时，左端＝1＋1＋2＋3＋…＋k
2
，
当n＝k＋1 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k
2
＋(k
2
＋1)＋(k
2
＋2)＋…＋(k＋1)
2
.
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k
2
＋1)＋(k
2
＋2)＋…＋(k＋1)
2
.
【答案】 D
10．用数学归纳法证明“4
2n
－
1
＋3
n
＋
1
(n∈N
＋
)能被13整除”的第二步中，当
n＝k＋1时为了使用归纳假设，对4
2k
＋
1
＋3
k
＋
2
变形正确的是( )
A．16(4
2k
－
1
＋3
k
＋
1
)－13×3
k
＋
1

B．4×4
2k
＋9×3
k

C．(42k
－
1
＋3
k
＋
1
)＋15×4
2 k
－
1
＋2×3
k
＋
1

D．3(42k
－
1
＋3
k
＋
1
)－13×4
2 k
－
1

【解析】 4
2k
＋
1
＋3k
＋
2
＝16×4
2k
－
1
＋3
k< br>＋
2
＝16(4
2k
－
1
＋3
k
＋
1
)＋3
k
＋
2
－16×3
k
＋
1
＝
16(4
2k
－
1
＋3
k
＋
1
)－13×3
k
＋
1
.
【答案】 A
11． 如果命题P(n)对于n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(n)对n
＝2成立，则下列结论 正确的是( )
A．P(n)对所有自然数n成立
B．P(n)对所有偶自然数n成立
C．P(n)对所有正自然数n成立
D．P(n)对所有比1大的自然数n成立
【解析】 因为n＝2时，由n＝k＋2的“递推”关系，可得到n＝4成立，
再得到n＝6成 立，依次类推，因此，命题P(n)对所有偶自然数n成立．
【答案】 B
1
12 ．在数列{a
n
}中，a
1
＝且S
n
＝n(2n－1)a< br>n
，通过求a
2
，a
3
，a
4
，猜想an
的
3
表达式为( )
A.
C.
1

?n－1??n＋1?
B.
1

2n?2n＋1?
1

?2n＋1??2n＋2?
1

?2n－1??2n＋1?
D.
1
【解析】 ∵a
1
＝
3
，
由S
n
＝n(2n－1)a
n
，得a
1
＋a
2
＝2(2×2－1)a
2
，
11
解得a
2
＝
15
＝，
3×5
a1
＋a
2
＋a
3
＝3×(2×3－1)a
3
，
11
解得a
3
＝
35
＝，
5×7
a1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
＝4(2×4－1)a
4
，

11
解得a
4
＝
63
＝，
7×9
1
所以猜想a
n
＝.
?2n－1??2n＋1?
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横
线上)
13．探索表达式A＝(n－1)(n－1)！＋(n－2)(n－2)！＋…＋2·！＋1·1！(n>1且n∈N
＋
)的结果时，第一步n＝________时，A＝________.
【导学号：32750074】
【解析】 第一步n＝2时，
A＝(2－1)(2－1)！＝1.
【答案】 2 1
14．已知1＋2×3＋3 ×3
2
＋4×3
3
＋…＋n×3
n
－
1
＝ 3
n
(na－b)＋c对一切n∈N
＋
都成立，那么a＝________， b＝________，c＝________.
【解析】 先分别取n＝1,2,3并联立方程组得
?
?
1＋2×3＝3
2
?2a－b?＋c，
?
1＋ 2×3＋3×3
2
＝3
3
?3a－b?＋c，
111
解得a ＝
2
，b＝
4
，c＝
4
.
然后可用数学归纳法证明．
111
【答案】
2

4

4

1＝3
1
?a－b?＋c，


1111n
15．证明1＋
2
＋
3
＋
4
＋…＋
n
>
2
(n∈N
＋
)，假设n＝k时成立， 当n＝k＋
2－1
1时，左边增加的项数是________.
【解析】 左边增加 的项数为2
k
＋
1
－1－2
k
＋1＝2
k
.
【答案】 2
k

16．假设凸k边形的对角线有f(k)条，则凸k＋ 1边形的对角线的条数f(k＋
1)为________．
【解析】 凸k＋1边形的对角线 的条数等于凸k边形的对角线的条线，加

上多的那个点向其他点引的对角线的条数(k－ 2)条，再加上原来有一边成为对角
线，共有f(k)＋k－1条对角线．
【答案】 f(k)＋k－1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用数学归纳法证明：
1111n
＋＋＋…＋＝(n∈N
＋
)．
2×44×66×82n?2n＋2?4?n＋1?
【证明】 (1)当n＝1时，
左边＝
11
＝
8
，
2×1×?2＋2?
11
右边＝＝，
4?1＋1?
8
左边＝右边．
所以当n＝1时，等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N
＋
)时等式成立，即有
1111k
＋＋＋…＋＝，
2×44×66×82k?2k＋2?4?k＋1?则当n＝k＋1时，
k1
＋

4?k＋1?4?k＋1??k＋2?k?k＋2?＋1?k＋1?
2
＝＝

4?k＋1??k＋2?4?k＋1??k＋2?
k＋1k＋1
＝＝.
4?k＋2?4?k＋1＋1?
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，对于一切n∈N
＋
等式都成立．
18．(本小题满分 12分)求证：对于整数n≥0时，11
n
＋
2
＋12
2n
＋
1
能被133整
除．
【证明】 (1)n＝0时，原式＝11
2
＋12＝133能被133整除．
(2)假设n＝k (k≥0，k∈N)时，11
k
＋
2
＋12
2k
＋
1
能被133整除，
n＝k＋1时，原式＝11
k
＋
3
＋ 12
2k
＋
3

11111
＋＋＋＋＝
2×44× 66×82k?2k＋2?2?k＋1?[2?k＋1?＋2]

＝11(11
k
＋
2
＋12
2k
＋
1
)－11·12
2k
＋
1
＋12
2k
＋
3

＝11(11k
＋
2
＋12
2k
＋
1
)＋12
2k
＋
1
·133也能被133整除．
由(1)(2)可知，对于整数n≥0, 11
n
＋
2
＋12
2n
＋
1
能被133整 除．
19．(本小题满分12分)平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意
三个圆不 相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n
2
－n＋2个部分(n∈N
＋
)．
【证明】 (1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2< br>＝2，所以n＝1时命题成立．
(2)假设n＝k(k∈N
＋
，k≥1)时命 题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k
2
－k＋2
个部分．
则n＝k＋ 1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)
个部分，而圆O与k个圆有2k 个交点，这2k个交点将圆O分成2k段弧，每段
弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋ 2k＝k
2
－k＋2＋2k＝(k＋1)
2
－(k＋1)＋
2.
所以当n＝k＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，对一切n∈N
＋
， 命题成立，即这几个圆将平面分成f(n)＝n
2
－n＋2个部分(n∈N
＋
)．
1111
n－2
20．(本小题满分12分)求证：
2
＋3
＋
4
＋…＋
n
－
1
>
2
( n≥2).
2
【导学号：32750075】
1
【证明】 (1)当n＝2时，
2
>0，不等式成立．
(2)假设n＝k(k≥2)时，原不等式成立，
11111
k－2
即2
＋
3
＋
4
＋
5
＋…＋
k
－
1
>
2
.
2
则当n＝k＋1时，
111111 1
左边＝
2
＋
3
＋
4
＋…＋
k
－
1
＋
k
－
1
＋
k
－
1
＋ …＋
k
－
1

22＋12＋22＋2
k
－
1
k－2
111
>
2
＋
k
－
1
＋
k
－
1
＋…＋
k
－
1

2＋12 ＋22＋2
k
－
1
k－2
11
1
?
1?
－
>
2
＋
2
k
＋
2
k＋…＋
2
k
?
共2
k1
个
2
k
?

??

k－22
k
－
1
k－1
＝
2
＋
2
k
＝
2

?k＋1?－2
＝.
2
所以当n＝k＋1时，原不等式成立．
由(1)(2)知，原不等式对n≥2的所有的自然数都成立．
－1＋3a
n
21．(本小题满分12分)如果数列{a
n
}满足条件：a
1
＝－4，a
n
＋
1
＝(n
2－a
n
＝1,2，…)，证明：对 任何自然数n，都有a
n
＋
1
>a
n
且a
n
<0.
【证明】 (1)由于a
1
＝－4，
－1＋3a
1－1－12－13
a
2
＝＝＝
6
>a
1
. < br>2－a
1
2＋4
且a
1
<0，因此，当n＝1时不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，a
k
＋
1
>a
k
且a
k
<0.
－1＋3a
k
那么a
k
＋
1
＝<0.
2－a
k
当n＝k＋1时，
－1＋3a
k
＋
1< br>有a
k
＋
2
＝，
2－a
k
＋
1< br>－1＋3a
k
＋
1
－1＋3a
k
∴a
k＋
2
－a
k
＋
1
＝－

2－a
k
＋
1
2－a
k
＝
5?a
k
＋
1
－a
k
?
>0.
?2－a
k
＋
1??2－a
k
?
因此a
k
＋
2
>a
k
＋
1
且a
k
＋
1
<0，
这就是说，当n＝k＋1时不等式也成立，
根据(1)(2)，不等式对任何自然数n都成立．
因此，对任何自然数n，都有a
n
＋
1
>a
n
且a
n
<0.
22．(本 小题满分12分)已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且S
n，a
n
的等差中
项为1.
(1)写出a
1
，a
2
，a
3
；
(2)猜想a
n
的表达式，并用数学归纳法证明．
11
【解】 ( 1)由题意S
n
＋a
n
＝2，可得a
1
＝1，a
2
＝
2
，a
3
＝
4
.

n< br>－
1
?
1
?
(2)猜想a
n
＝
?< br>2
?
??
.
下面用数学归纳法证明：
n
－
1
0
?
1
?
①当n＝1时，a
1
＝1，
?
2
?
??
?
1
?
＝
?
2
?
＝1，等式成立．
??
k
－
1
?
1
?
②假设当n＝k时，等式成立，即a
k
＝
?
2
?
??
，
则当n＝k＋1时，由S
k
＋
1
＋a
k< br>＋
1
＝2，S
k
＋a
k
＝2，
得(Sk
＋
1
－S
k
)＋a
k
＋
1
－a
k
＝0，
即2a
k
＋
1
＝a
k
，
k
－< br>1(k+1)
－
1
1
?
1
??
1
?
??
∴a
k
＋
1
＝
2
a
k
＝
?
2
?
·
???
2
?
?
1< br>?
＝
?
2
?
??
，
即当n＝k＋1时，等式成立．
n
－
1
?
1
?< br>由①②可知，对n∈N，a
n
＝
?
2
?
??
＋
.