高中数学选修怎么下载-对高中数学课程发展性的理解
选修4-5 不等式选讲
考点 不等式选讲
1.(2017
?新课标Ⅰ,23)已知函数f(x)=﹣x
2
+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1
|.(10分)
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
1.(1)解:当a=1时,f(x)=﹣x
2
+x+4,是开口向下,对称轴为x=
的二次函数,
g(x)=|x+1|+|x﹣1|= ,
当x∈(1,+∞)时,令﹣x
2
+x+4=2x,解得x= ,g(x)在(1,+
∞)上单调递增,
f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,
];
当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.
当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.
综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1, ];
(2)依题意得:﹣x
2<
br>+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x
2
﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,
则只需
,解得﹣1≤a≤1,
故a的取值范围是[﹣1,1].
2.(2017?新课标Ⅱ,23)已知a>0,b>0,a
3
+b
3
=2,证明:
(Ⅰ)(a+b)(a
5
+b
5
)≥4;
(Ⅱ)a+b≤2.
2.证明:(Ⅰ)由柯西不等式得:(a+b)(a
5
+b
5
)≥(
当且仅当 = ,即a=b=1时取等号,
+
)
2
=(a
3
+b
3
)
2
≥4,
(Ⅱ)∵a
3
+b
3
=2,
∴(a+b)(a
2
﹣ab+b
2
)=2,
∴(a+b)[(a+b)
2
﹣3ab]=2,
∴(a+b)
3
﹣3ab(a+b)=2,
∴ =ab,
由均值不等式可得:
∴(a+b)
3
﹣2≤
∴ (a+b)
3
≤2,
,
=ab≤( )
2
,
∴a+b≤2,当且仅当a=b=1时等号成立.
3.(2017?新课标Ⅲ,23)已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥x
2
﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
3.(Ⅰ)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|= ,f(x)≥1,
∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;
综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(Ⅱ)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x
2
+x≥m成立,
即m≤[f(x)﹣x
2
+x]
max
,
设g(x)=f(x)﹣x
2
+x.
由(1)知,g(x)= ,
>﹣1,
当x≤﹣1时,g(x)=﹣x
2
+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=
∴g(x)≤g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;
当﹣1<x<2时,g(x)=﹣x
2
+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=
∴g(x)≤g( )=﹣ + ﹣1= ;
<2,
∈(﹣1,2),
当x≥2时,g(x)=﹣x
2
+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=
∴g(x)≤g(2)=﹣4+2=3=1;
综上,g(x)
max
= ,
]. ∴m的取值范围为(﹣∞,
4.(201
7?江苏,21D)已知a,b,c,d为实数,且a
2
+b
2
=4,c2
+d
2
=16,证明ac+bd≤8.
4. 证明:∵a<
br>2
+b
2
=4,c
2
+d
2
=16,
令a=2cosα,b=2sinα,c=4cosβ,d=4sinβ.
∴ac+bd=8
(cosαcosβ+sinαsinβ)=8cos(α﹣β)≤8.当且仅当cos(α﹣β)=1时取等号
.
因此ac+bd≤8.
5.(2016·全国Ⅰ,24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)在图中画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
?
?
3x-2,-1
,
2
y=f(x)的图象如图所示. 5.解(1)f(x)=
?
3
?
-x+4,x>,
?
2
x-4,x≤-1,
(2)当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
1
当f(x)=-1时,可得x=或x=5,
3
1
??
故
f(x)>1的解集为{x|1
x|x<
3<
br>或x>5
?
.
??
1
??
所以|f(x)|>1的
解集为
?
x|x<
3
或1
?
.
??
6.(2016·全国Ⅲ,24)已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
6.解
(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,f(x)+g(x)
=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,
所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.
当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
11
x-
?
+
?
x+
?,M为不等式f(x)<2的解集. 7.(2016·全国Ⅱ,24)已知函数f(x)=
??
2
??
2
?
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
?
?
11
7.(1)解 f(x)=
?
1,-
2<
br>
,
1
?
2x,x≥
?
2
.
11
当-
2
时,f(x)<2;
1
-2x,x≤-,
2
11
当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,所以,-1
11
当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,所以,-
所以f(x)<2的解集M={x|-1
-(1+ab)
2
=a
2
+b
2
-a
2
b
2
-1
=
(a
2
-1)(1-b
2
)<0,即(a+b)
2
<(1+ab)
2
,因此|a+b|<|1+ab|.
8.
(2015·重庆,16)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=______
__.
8.4或-6 [由绝对值的性质知f(x)的最小值在x=-1或x=a时取得,若f(-1
)=2|-1-a|=5,a
37
=或a=-,经检验均不合适;若f(a)=5,则|x+1
|=5,a=4或a=-6,经检验合题意,
22
因此a=4或a=-6.]
9.(2015·陕西,24)已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.
(1)求实数a,b的值;
(2)求at+12+bt的最大值.
?
?<
br>-b-a=2,
9.解(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则
?
解得a=-3,b=1.
?
b-a=4,
?
(2)-3t+12+t=3
4-t+t≤[(3)
2
+1
2
][(4-t)
2
+(t)
2
]=24-t+t=4,
当且仅当
10.(2015·新课标全国Ⅰ,24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
10.解
(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
2
当-1
当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.
?
2
?
. 所以f(x)>1的解集为
?
x
?
?
3
??
4-t
t
=,即t=1时
等号成立,故(-3t+12+t)
max
=4.
1
3
x-1-2
a,x<-1,
?
?
(2)由题设可得,f(x)=
?
3x+1-2
a,-1≤x≤a,
?
?
-x+1+2a,x>a.
所以函数f(
x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A
?
2a-1
?
?
3
,0
?
,B(2a+1,0),C(a,a+1),
22
△ABC的面积为(a+1)
2
.由题设得(a+1)
2
>6,故a>2.
所以a的取值范围为(2,+∞).
33
11.(2015·新课标全国Ⅱ,24)设a、b、c、d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则a+b>c+d;
(2)a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件.
11.证明 (1)因为(a
+b)
2
=a+b+2ab,(c+d)
2
=c+d+2cd,
由
题设a+b=c+d,ab>cd得(a+b)
2
>(c+d)
2
.因此a+
b>c+d.
(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)
2
<(c-d)<
br>2
,即(a+b)
2
-4ab<(c+d)
2
-4cd.
因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得a+b>c+d.
②若a+b>c+d,
则(a+b)
2
>(c+d)
2
,即a+b+2ab>c+d+2cd. <
br>因为a+b=c+d,所以ab>cd,于是(a-b)
2
=(a+b)
2-4ab<(c+d)
2
-4cd=(c-d)
2
.
因此|a-b|<|c-d|.综上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件.
12.(2014·广东,9)不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集为________.
?
?
x≥1,
12.{x|x≤-3或x≥2}
[原不等式等价于
?
?
(x-1)+(x+2)≥5
?
?
-2
x≤-2,
??
或
?
或
?
??
-(x-1)+(x+2)≥5-(x-1)-(x+2)≥5,
?
?
解得x≥2或x≤-3.故原不等式的解集为{x|x≤-3或x≥2}.]
5
1
??
13.(2014·湖南,13)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为
?
x|-
3
?
,则a=________.
??
13.-3 [依题意,知a≠0.|ax-2|<3?-3
15
-,
?
,从而有
?
为
?
?
aa
?
1
?
?
51
=,a3
5
-=-,
a3
此方程组无解.
55
=-,a3
51
??
当a<0时,不等式的解集为
?
a
,-<
br>a
?
,从而有解得a=-3.]
11
-=,
a3
?
?
?
1
14
.(2014·重庆,16)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a
2
+a+2对任意实数x
恒成立,则实数a的取
2
值范围是________.
1
5151
-1,
?
[令f(x)=|2x-1|+|x+2|,
易求得f(x)
min
=,依题意得a
2
+a+2≤
?-1≤a≤<
br>.] 14.
?
2
??
2222
1
15.
(2014·新课标全国Ⅱ,24)设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0).
a
(1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
111
15.(1)证明
由a>0,有f(x)=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a)|=+a≥2.所以f(x)≥2.
aaa
5+21
11
(2)解
f(3)=|3+|+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3aa
2
1+5
1
当0a2
综上,a的取值范围是
?
16.(2014·天津,19)已
知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},
集合A={x|x=x
1
+x
2
q+…+x
n
q
n1
,x
i
∈M,i=1,2,…,n}.
-
?
1+55+21
?
?
?
2
,
2
?
(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;
(2)设s,t∈A,s=a
1
+a
2
q+…+a
n
q
n1
,t=b
1
+b
2
q+…+b
n
q
n1
,其中a
i
,b
i
∈M,i=1,2,…,
--
n.证明:若a
n
n
,则s
1
+x<
br>2
·2+x
3
·2
2
,x
i
∈M,i=1,
2,3}.可得,A=
{0,1,2,3,4,5,6,7}.
(2)证明 由s,t∈A,
s=a
1
+a
2
q+…+a
n
q
n1
,t
=b
1
+b
2
q+…+b
n
q
n1
,a<
br>i
,b
i
∈M,i=1,2,…,
--
n及a
nn
,可得s-t=(a
1
-b
1
)+(a
2
-b
2
)q+…+(a
n
-
1
-b
n<
br>-
1
)q
n
(q-1)q+…+(q-1)·q
n
-
2
-
2
+(a
n
-b
n
)q
n<
br>-
1
≤(q-1)+
-q
n
-
1
(q-1)
(1-q
n1
)
n
-
1
=-q=-1<0.
-
所以,s
1-q