2018年高考选修4-5不等式选讲复习：(教师版)

（河北衡水重点中学）人生的上半场打不好没关系，还有下半场，只要努力
33
选修4－5 不等式选讲专项训练（一）答案
－∞，－
?
∪
?
，＋∞
?
.[10分] 所以原不等式的解集为
?
2
??
2
??
------含绝对值的不等式的解法
温馨提醒 这三种方法是解|x＋a|＋|x＋b|≥c型不等 式常用的
1、（1）解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵
（2）(2016·重庆) 若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|循“不重不漏”的原则，方法三则要 准确画出函数图象，并准确
的取值范围是____．
找出零点.
（3）(2 017·山东)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝
（2）答案 (－∞，8]
________.
解析 ∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3|

≥|5－x＋x＋3|＝8，
（1）思维启迪 本题不等式为|x－a|＋|x－b|≥c型不等式，解此类不等式有三
∴( |x－5|＋|x＋3|)
min
＝8，
种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法．
要使|x－5|＋|x＋3|规范解答
（3）答案 2
（1）方法一 当x≤－1时，原不等式可化为
解析 ∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
3
－(x＋1)－(x－1)≥3，解得：x≤－.[3分]
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
2
2、(2017·课标全国)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
当－1(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
x＋1－(x－1)≥3，即2≥3.不成立，无解．[6分]
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
当x≥1时，原不等式可以化为
3
－2x＋5，x≤2，
?
x＋1＋x－1≥3.所以x≥.[9分]
?
2
解 (1)当a＝－3时，f(x)＝
?
1，2
33
??< br>综上，可知原不等式的解集为
?
x|x≤－
2
或x≥
2
?
.[10分]
?
??
?
2x－5，x≥3.
方法二 将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，
当2
－2x－3，x≤－1；
?
?
即y＝
?
－1，－ 1?
?
2x－3，x≥1.

[3分]
作出函数的图象，如图所示：

33
函数的零点是－，.
22
33
从图象可知，当x≤－或x≥时，y≥0，[8分]
22
即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4.
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4|?|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
?4－x－(2－x)≥|x＋a|?－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
思维升华 解绝对值不等式的基本方法：
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
(2)当不 等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值
符号的普通不等式；
每个人都想和别人不一样，结果是每个人都一样

（河北衡水重点中学）人生的上半场打不好没关系，还有下半场，只要努力
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． (2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．
3、(2016·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3. 解 (1)由题设知|x＋1|＋|x－2|>5，
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)a1
???
?
x≥2，?
－1≤x<2，
?
x<－1，
－，
?
时，f(x)≤ g(x)，求a的取值范围． (2)设a>－1，且当x∈
?
??
或或
?

?
2 2
?
?
x＋1＋x－2>5
?
x＋1－x＋2>5
?
－x－1－x＋2>5，
???
a1
－，
?
时去绝对值，审题破题 (1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x∈
?
解得函数f(x)的定义域为(－∞，－2 )∪(3，＋∞)．
?
22
?
(2)不等式f(x)≥2即|x＋1|＋|x－2|>m＋2，
利用函数最值求a的范围．
∵x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
解 (1)当a＝－2时，不等式f(x)不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋2解集是R，
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
∴m＋2≤3，m的取值范围是(－∞，1]．
1
－5x，x<，

2

1
则y＝
－x－2，
≤x≤1，

2

3x－6，x>1，

其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0，所以原不等式的

解集是

?
?
?
?
?

{x|0a1
(2)∵a>－1，则－<，
22
∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|
选修4－5 不等式选讲专项训练（二）答案
------含绝对值的不等式的解法
1、已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1 )的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值
范围．
解 方法一 (1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
?
?
a－3＝－1，
所以
?
解得a＝2.
?a＋3＝5，
?
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f( x＋5)，

a1
?
当x∈
?
?
－
2< br>，
2
?
时，f(x)＝a＋1，
a1
－，
?
上恒成立． 即a＋1≤x＋3在x∈
?
?22
?
4
a4
－1，
?
. ∴a＋1≤－＋3，即a≤，∴a的取值范围为
?
3
??
23

4、已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－m.
(1)当m＝5时，求f(x)>0的解集；

－2x－1，x<－3，
?
?
于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝
?
5，－3≤x≤2，
?
?
2x＋1，x>2.
所以当x<－3时，g(x)>5；
每个人都想和别人不一样，结果是每个人都一样

（河北衡水重点中学）人生的上半场打不好没关系，还有下半场，只要努力
当－3≤x≤2时，g(x)＝5；
当x>2时，g(x)>5.
综上可得，g(x)的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m 对一切实数x恒成立，则m的取值范围
为(－∞，5]．
方法二 (1)同方法一．
(2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)． 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g (x)
的最小值为5.
从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x 恒成立，则m的取值范围
为(－∞，5]．
2、(2016·辽宁)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式 |f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．

解 (1)当a＝2时，
－2x＋6，x≤2，
?
?
f(x)＋|x－4|＝< br>?
2，2＜x＜4，
?
?
2x－6，x≥4.
?
所以
?
a＋1
?
2
＝2，
a－1
＝1，
2
于是a＝3.
3、设函数
f(x)?x?a?3x
,其中
a?0
。
（Ⅰ）当
a?1
时，求不等式
f(x)?3x?2
的解集；
（Ⅱ）若不等式
f(x)?0
的解集为
?
x|x??1
?
，求a的值。
3、解：（Ⅰ）当
a?1
时，
f(x)?3x?2
可 化为
|x?1|?2
。由此可得
x?3
或
x??1
。
故不等式
f(x)?3x?2
的解集为
{x|x?3
或
x? ?1}
。
( Ⅱ) 由
f(x)?0
得
x?a?3x?0




当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；
当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；
所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．
(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
－2a，x≤0，
?
?
则h(x)＝
?
4x－2a，0＜x＜a，
?
?
2a，x≥ a.
?
x?a
?
?
x?a
?
x?a
?a
此不等式化为不等式组
?
或
?
即
x?

?
?4
?
x?a?3x?0
?
a?x?3x?0
?
x?a
?
a
?
a
或
a??
因为
a ?0
，所以不等式组的解集为
?
x|x??
?
2
?2

?
由题设可得
a－1a＋1
由|h(x)|≤2，解得
≤x≤< br>.
22
又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，
a
?
=
?1
，故
a?2

2
每个人都想和别人不一样，结果是每个人都一样

1
x＋
?
＋|x－a|(a＞0)． 4、设函数f(x)＝
?
?
a
?
(1)证明：f(x)≥2；
(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．
（河北衡水重点中学）人生的上半场打不好没关系，还有下半场，只要努力
习的教学方向.
[解答] 已知条件
p
即
5x?1??a
，或
5x?1?a
，∴
x?
1?a
，或
5
11
1
x＋
?
＋|x－a|≥
?
x＋－（x－a）
?
＝＋a≥2，4、解：( 1)证明：由a>0 ，有f(x)＝
?

?
a
??
a
?
a
所以f(x)≥2.
1
3＋
?
＋|3－a|. (2)f(3)＝
?
?
a
?
5＋21
1
当a>3时，f(3)＝a＋，由f(3)<5得3a2
1＋5
1
当0a2
综上，a的取值范围是
?

x?
1?a
，
5
已知条件
q
即
2x2
?3x?1?0
，∴
x?
令
a?4
，则
p< br>即
x??
1
，或
x?1
；
2
3
，或
x?1
，此时必有
p?q
成立，反之不
5
故可以选取的一个实数是
a?4
，A为
p
，B为
q
，对应的命题是若
p
则
q
，
由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.
?
1＋55＋21
?
.
?
?
2
，2
?
x?1
|?2，q:x
2
?2x?1?m
2
?0(m?0)
；
p
是
q
的必要
3
不充分条件，求实数
m
的取值范围.
2． 已知
p:|1?
[分析] 本题实为上一命题的姊妹题，将命题的表述重心移至充要条件，使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念，新教
材将这一内容的学习放 在第一章，从而也可能利用第一章的知识内容来命题
考查这一概念.本例是一道揉绝对值不等式、二次不 等式的求解与充要条件的
运用于一起的较好试题，要求学生能正确运用数学符号，规范数学学习行为，< br>否则连读题审题都感困难.
[解答] 由
|1?
选修4－5 不等式选讲专项训练（三）答案
------含绝对值的不等式的解法
1．（2014届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件
p:|5x?1|?a
和条件
1
?0
，请选取适当的实数
a
的值，分别利用所给的两个条件作
2
2x?3x?1
为A、B构造命题：“若A则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命
题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什 么这一命题是符合
要求的命题.
[分析] 本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一， 使得本题的求
解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的
a
， 也
q:
能先猜后证，所找到的实数
a
只需满足
x?1
得?2?x?10
，
|?2，
3
由
x
2
?2x ?1?m
2
?0(m?0)
，得
1?m?x?1?m(m?0)
，
∴?
p
即
x??2
，或
x?10
，而?
q
即
x?1?m
，或
x?1?m
(m?0)
；
由?
p
是?
q
的必要不充分条件，知?
q
?
?
p
，
设A=
{x|x??2，或x?10}
，B=
{x|x?1? m，或x?1?m(m?0)}
，
1?a11?a
?
，且
?
1即可.这种新
5
52
颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的 一种新尝试，
如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学
每个人 都想和别人不一样，结果是每个人都一样

（河北衡水重点中学）人生的上半场打不好没关系，还有下半场，只要努力
?
1?m??1，
总在函数
y?|3x?6|
图象的下方，因此，函数
y?|2x?m|
的图象也必须经过点
?
则有A
?B
，故
?
1?m?10，
且不等式中的第一、二两个不等式不能同
?
?
m?0 ，
(?2,0)
，所以
m??4
.
?
时取等号，
解得
0?m?3
，此即为“?
p
是
q
的必要不充分条件” 时实数
m
的取值范围.
3、（1） 若不等式
|x?1|?kx
对 一切
x?R
恒成立，求实数
k
的取值范围.
（2）若不 等式
|2x?m|?|3x?6|
恒成立，求实数
m
的取值范围.
（1） 解析：在同一坐标系中分别画出函数
y?|x?1|
与
y?kx
的图象
（如下图），
显然，要使不等式
|x?1|?kx
对一切
x?R< br>恒成立，须
0?k?1
，
即
k
的取值范围是
[0,1]
.

y

y?|3x?6|
y?|2x?m|

?2
O
x
y
y?kx

?1
O
x

评注：运用数形结合的方法求解绝对值不等式问题，既直观形象，又简单易
行.


4、已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a<3)的最小值为2.
(1)解关于x的方程f(x)＝a；
(2)若存在x∈R，使f(x)－mx≤1成立，求实数m的取值范围．

1、解 ：(1)由f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|x－4－(x－a)|＝|a－4|(当(x－4)(x－a )≤0
时取等号)，知|a－4|＝2，解得a＝6(舍去)或a＝2.

（2）解 析：在同一坐标系中分别画出函数
y?|2x?m|
及
y?|3x?6|
（如
下图），由于不等式
|2x?m|?|3x?6|
恒成立，所以函数
y?|2 x?m|
的图象应

方程f(x)＝a即|x－4|＋|x－2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x≤4.
( 2)不等式f(x)－mx≤1即f(x)≤mx＋1，由题意知y＝f(x)的图象至少有一
每个人都 想和别人不一样，结果是每个人都一样

（河北衡水重点中学）人生的上半场打不好没关系，还有下半场，只要努力
部 分不在直线y＝mx＋1的上方，作出对应的图象观察可知，m∈(－∞，－
1
2)∪[，＋∞ )．
4

每个人都想和别人不一样，结果是每个人都一样