2017-2018学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式达标检测 新人教A版选修4-5

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者， 凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无 钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
第四 讲 数学归纳法证明不等式
达标检测
时间：120分钟 满分：150分
一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目 要求的)
1．用数学归纳法证明“对任意
x
＞0和正整数
n
，都有
x
＋
x
nn
－2
＋
x
n
－4＋…＋
1
x
n
－4
＋
1
x
n
－2
1
＋
n
≥
n
x
＋1”时，需要验证的使命题成 立的最小正整数值
n
0
应为( )
A．
n
0
＝1
C．
n
0
＝1,2
1
解析：当
n
0
＝1时，
x
＋≥2成立，故选A.
B．
n
0
＝2
D．以上答案均不正确
x
答案：A
2．从一楼到二楼的楼梯共有
n
级台阶，每步只能跨上 1级或2级，走完这
n
级台阶共有
f
(
n
)
种走法 ，则下面的猜想正确的是( )
A．
f
(
n
)＝
f(
n
－1)＋
f
(
n
－2)(
n
≥3 )
B．
f
(
n
)＝2
f
(
n
－ 1)(
n
≥2)
C．
f
(
n
)＝2
f< br>(
n
－1)－1(
n
≥2)
D．
f
(
n
)＝
f
(
n
－1)
f
(
n
－2)(
n
≥3)
?
?
n
，
n
＝1，2，
解析：分别取
n
＝1,2,3,4验证，得
f
(
n
)＝
?
?
fn
－＋
f
?
n
－，
n
≥3.


答案：A
3．设凸
n
边形有
f
(
n
)条对角线，则凸
n
＋1 边形的对角形的条数
f
(
n
＋1)为( )
A．
f
(
n
)＋
n
＋1
C．
f
(
n
)＋
n
－1
B．
f
(
n
)＋
n

D．
f
(
n
)＋
n
－2
解析：凸
n
＋1边形的对角线的条数等于凸
n
边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他< br>点引的对角线的条数(
n
－2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有
f(
n
)＋
n
－1条对角线，
故选C.
答案：C 4．用数学归纳法证明“
n
＋(
n
＋1)＋(
n
＋2) ，
n
∈N
＋
能被9整除”，利用归纳假设证
n
＝
k
＋1，只需展开( )
A．(
k
＋3)
C．(
k
＋1)
33
3
3
333
B．(
k
＋2)
D．(
k
＋1)＋(
k
＋2)
3
33
3
解析：
n
＝
k
时，式子为
k
＋(
k
＋1)＋(
k
＋2)，

1

邴原少孤，数岁时 ，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤 ，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒 相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
n
＝
k
＋1 时，式子为(
k
＋1)
3
＋(
k
＋2)
3
＋(
k
＋3)
3
，
故只需展开(
k
＋3).
答案：A
5．下列说法中正确的是( )
A．若一个命题当
n
＝1,2时为真，则此命题为真命题
B．若一个命题当
n
＝
k
时成立且推得
n
＝
k
＋1时也成立 ，则这个命题为真命题
C．若一个命题当
n
＝1,2时为真，则当
n
＝3时这个命题也为真
D．若一个命题当
n
＝1时为真，
n
＝
k
时为真能 推得
n
＝
k
＋1时亦为真，则此命题为真命题
解析：由完全归纳法 可知，只有当
n
的初始取值成立且由
n
＝
k
成立能推得n
＝
k
＋1时也成
立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可．A，B， C项均不全面．
答案：D
6．平面内原有
k
条直线，它们的交点个数记为
f
(
k
)，则增加一条直线
l
后，它们的交点个
数 最多为( )
A．
f
(
k
)＋1
C．
f
(
k
)＋
k
＋1
B．
f
(
k
)＋
k

D．
k
·
f
(
k
)
3
解析：第
k
＋1条直线与前
k
条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比 原先
增加
k
个交点．
答案：B
7．用数学归纳法证明3
4
n
＋1
＋5
2
n
＋1
(
n
∈N
＋
)能被8整除时，若
n
＝
k
时，命题成立，欲证当
n
＋5
2(
k
＋1)＋1
＝
k
＋1时命题成立， 对于3
A．56×3
B．3×3
C．3
4
k
＋1
4
4
k
＋1
4(
k
＋1)＋1
可变形为( ) < br>＋25(3
2
4
k
＋1
＋5
2
k
＋ 1
)
4
k
＋1
＋5×5

2
k
＋1
2
k
＋5
4
k
＋1
2
k
＋ 1
D．25(3＋5)
2(
k
＋1)＋1
解析：由3
＝5 6×3
4(
k
＋1)＋1
＋5＝81×3
)．
4
k
＋1
＋25×5
2
k
＋1
＋25×3
4
k
＋1
－25×3
4
k
＋1

4
k
＋1
＋25(3
4
k
＋1
＋5
2
k
＋1
答案：A
8．数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝
n
·
a
n
(
n
≥2)，而
a
1
＝1通过计算
a
2
，
a
3
，
a
4
，猜想
a
n
等于( )
A.
C.
4
n
＋
1

2－1
n
2
2
B．
n
2
n
＋

1
D．
2
n< br>－1
12
解析：由
a
2
＝
S
2
－< br>S
1
＝4
a
2
－1得
a
2
＝＝
32×3

2