人教版高中数学选修4-5 练习：第一讲1.1-1.1.2基本不等式

第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.2 基本不等式

A级 基础巩固
一、选择题
1．已知a，b∈R，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )
A．a＋b≥2ab
?
ab
?
C.
?
b
＋
a
?
≥2
??
ab
B.＋≥2
ba
D．a
2
＋b
2
＞2ab
解析：当a，b都是负数时，A不成立；
当a，b一正一负时，B不成立；
当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．
答案：C
2．下列各式中，最小值等于2的是( )
xy
A.＋
yx
1
C．tan θ＋
tan θ
x
2
＋5
B.
2

x＋4
D．2
x
＋2
－
x

解析：因为2
x
＞0，2
－
x
＞0，
所以2x
＋2
－
x
≥22
x
2
－
x
＝2.
当且仅当2
x
＝2
－
x
，即x＝0时，等号成立．

答案：D
3．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3
x
＋3
y
的最小值是( )
A．10
C．46
B．63
D．183
解析： 3
x
＋3
y
≥23
x
·3
y
＝23
x
＋
y
＝23
5
＝183，
5
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
2
答案：D
?
14
?
4．设x，y为正数，则(x＋y)
?
x
＋
y
?
的最小值为( )
??
A．6
C．12
B．9
D．15
?
14
?
y
4x
y
??
解析：x，y为正数，(x＋y)
x
＋
y
＝1＋4＋＋≥9，当且仅当xyx
??
4x
＝，即y＝2x时，等号成立，选B.
y
答案：B
xy
5．(2015·福建卷)若直线＋＝1(a＞0，b＞0 )过点(1，1)，则a
ab
＋b的最小值等于( )
A．2
C．4
B．3
D．5
11
xy
解析：因为直线＋＝1过点(1，1)，所以＋＝1.
abab
又a，b均大于0，
?
11
?
ba
??
所以a＋b＝(a＋b)
a
＋
b
＝1＋1＋＋≥2＋2
ab
??
ba
·＝2＋2＝
ab
4，当且仅当a＝b时，等号成立．

答案：C
二、填空题
1
6．设x＞0，则函数y＝3－3x－的最大值是________．
x
?
1
?
解析：y＝3－
?
3x＋
x
?
≤3 －23，
??
13
当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．
x
3
所以y
max
＝3－23.
答案：3－23
1
7．已知函数f(x)＝2，点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，
x
x
那么f(a)·f(b)的最小值是________．
1
解析：点P(a，b)在函数y＝(x＞0)的图象上，所以有ab＝1.
x因为a＞0，b＞0，所以f(a)·f(b)＝2
a
·2
b
＝2
a
＋
b
≥2
2
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
答案：4
8．当x＞0时，f(x)＝
2x
的值域是________．
2
x＋1
ab
＝4，
111
解析：因为x＞0，所以x＋≥2，所以0＜≤.
x
12
x＋
x
所以0＜≤1.
1
x＋
x
2
2x2
又因为f(x)＝
2
＝，
1
x＋1x＋
x
所以0＜f(x)≤1，当且仅当x＝1时，等号成立．故f(x)的值域是

(0，1]．
答案：(0，1]
三、解答题
1
9．已知x＜0，求2x＋的最大值．
x
解：由x＜0，得－x＞0，
1
得－2x＋≥2
－x
?
1
?
（－2x）
?
－x
?
＝22，
??
1
所以2x＋≤－22，
x
当且仅当－2x＝
1
，
－x
2
即x＝－时等号成立．
2
1
故2x＋取得最大值－22.
x
10．若a，b，c＞0，且 a＋b＋c＝1，求证：8abc≤(1－a)·(1－b)(1
－c)．
证明：因为a＋b＋c＝1，
所以1－a＝b＋c＞0，1－b＝a＋c＞0，1－c＝a＋b＞0.
所以(1－a)(1－b)(1－c)＝(a＋b)(b＋c)(a＋c)．
因为a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，a＋c≥2ac＞0，
三式相乘，得(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥2ab·2bc·2ca＝8abc，
1
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
3
所以8abc≤(1－a)(1－b)(1－c)．
B级 能力提升
?
1
a
?
1．已知不等式(x＋y)
?
x
＋
y
?
≥9对任意正实数x，y恒成立，则正
??

实数a的最小 值为( )
A．2
C．6
B．4
D．8
?1
a
?
解析：不等式(x＋y)
?
x
＋
y?
≥9对任意正实数x，y恒成立，
??
yax
则1＋a＋＋≥a＋2a＋1≥9，
xy
所以a≥2或a≤－4(舍去)．
所以正实数a的最小值为4.
答案：B
x
2
－y
2
2．(2015·山东卷)定义运算 “?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)，
xy
当x＞0，y＞0时，x?y＋(2y)? x的最小值为________．
x
2
－y
2
解析：因为x?y＝，
xy
x
2
－y
2
（2y）
2
－x
2
x
2
＋2y
2
2x
2
·2y
2
所以x?y＋(2y)?x＝＋ ＝≥＝
xy
2yx2xy2xy
22xy
＝2.
2xy
其 中x＞0，y＞0，当且仅当x
2
＝2y
2
，即x＝2y时等号成立．
答案： 2
3．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016
年 法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆
品的年销售量x万件与年促销费t万元 之间满足3－x与t＋1成反比
例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1
万件化妆品需要投入32万 元的生产费用，若将每件化妆品的售价定
为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年 生产的

化妆品正好能销完．
(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售 完，试将2016年的
利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；
(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最
大？
k
解：(1)由题意可设3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.
t＋1
所以x＝3－
2
.
t＋1
?
2
?
3－
??
＋3， 当年生产x万件时 ，年生产成本为32x＋3＝32×
t＋1
??
当销售x万件时，年销售收入为 ???
1
2
?
150%×
?
32×
?
3－
t＋1
?
＋3
?
＋t.
????
2
由题意，生产x万件化妆品正好销完，
－t
2
＋98t＋35
得年利润y＝(t≥0)．
2（t＋1）< br>?
t＋1
－t
2
＋98t＋35
32
?
?< br>≤ (2)y＝＝50－
?
2
＋
t＋1
2（t＋1）
??
50－2
t＋1
32
·＝50－216＝42，
2
t＋1
t＋1
32
当且仅当＝，即t＝7时，等号成立，y
max
＝ 42，
2
t＋1
所以当促销费定在7万元时，年利润最大．