最新人教版高中数学选修4-4综合测试题及答案

最新人教版高中数学选修4-4综合测试题及答案
模块综合测试
一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．下列有关坐标系的说法，错误的是( )
A．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆
B．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小
C．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程
D．同一条曲线可以有不同的参数方程
解析： 直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系 中，伸缩变形可以改变图形的形
状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆 ；而平移变换不改
变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方 程的，
同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．
答案： C
11< br>2．把函数y＝sin2x的图象经过________变化，可以得到函数y＝sinx的图象．( )
24
1
A．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍
2
B．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍
11
C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍
22
1
D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的
2
解析： 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y
11
＝sin2x的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y＝sinx的图象，再把纵坐标缩短为原来 的
22
11
，得到y＝sinx的图象．
24
答案： D
π
θ＋
?
的图形是( ) 3．极坐标方程ρ＝2sin
?
?
4
?

π
ππ
θ＋
?
＝2sinθ·解析： ∵ρ＝2sin
?
cos＋2cosθ·sin＝2(sinθ＋cosθ)，
?< br>4
?
44
∴ρ
2
＝2ρsinθ＋2ρcosθ，
∴x
2
＋y
2
＝2x＋2y，
∴
?
x－
?
2
?
2
?
2
＋
y－
?
2
＝1，
2
??
2
?
22
?
.
，
2
??
2
∴圆心
?
结合题中四个图形，可知选C项．
答案： C
2
?
?
x＝2＋sin
θ
4．将参数 方程
?
(θ为参数)化为普通方程为( )
2
?
y＝sin
θ
?

A．y＝x－2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
B．y＝x＋2
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
2
?
?
x＝2＋sin
θ
解析： 由
?
知x＝2＋y(2≤x≤3)
2
?
y＝sin
θ
?

所以y＝x－2 (2≤x≤3)．
答案： C
π
θ－
?
(ρ∈R)关于( ) 5．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin
?
?
4
?
π
A．直线 θ＝成轴对称
3
3π
B．直线θ＝成轴对称
4
π
2，
?
成中心对称 C．点
?
?
3
?
D．极点成中心对称
π
π
θ－
?
?
， 解析： 将原方程变形为ρ＝4cos< br>?
2
－
?
?
4
?
??
3π3πθ－
?
，该方程表示以
?
2，
?
为圆心，以2为半径的 圆，所以曲线关于直即ρ＝4cos
?
4
?
4
???

3π
线θ＝成轴对称．
4
答案： B
π
6．经过点M( 1,5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程
3
是( ) ?
A.
?
3
y＝5－t
?
2
?
C.< br>?
3
y＝5－t
?
2
1
x＝1－t
2
1
x＝1＋t
2



?
B．
?
3
y＝5＋t
?
2
1
x＝1＋t
2
1
x ＝1－t
2

?
D．
?
3
y＝5＋t
?< br>2
π
x＝1＋t·cos
3
?
解析： 根据直线参数方程的定 义，易得
?
π
y＝5＋t·sin
?
3
?
即
?
3
y＝5＋t
?
2
答案： D
22



，


1
x＝1＋t
2

.
?
?
x′＝2x
7．x＋y＝1经过伸缩变换
?
，后所得图形的焦距( )
?
y′＝3x
?

A．4
C．25
x
2
y
2
解析： 变换后方程变为：＋＝1，
49
B．213
D．6
故c
2
＝a
2
－b
2
＝9－4＝5，c＝5，所以焦距为25.
答案： C
?
?
x＝2－tsin30°
8．已知直线
?
(t为参数)与圆x
2< br>＋y
2
＝8相交于B、C两点，则|BC|的值
?
?
y＝－1 ＋tsin30°

为( )
A．27
C．72
B．30
D．
30

2

12
x＝2－t＝2－t′< br>?
?
22
?
x＝2－tsin30°
解析：
??
?
?
y＝－1＋tsin30°
?
12
y＝－1＋t ＝－1＋t
?
22


(t′为参数)．
代入x
2
＋y
2
＝8，得t′
2
－32t′－3＝0，
∴|BC |＝|t′
1
－t′
2
|＝?t′
1
＋t′
2?
2
－4t′
1
t′
2

＝?32?
2
＋4×3＝30，故选B.
答案： B
πππ2，，1
?
，点Q的球面坐标为
?
1，，
?
，根据空间 坐标系中9．已知P点的柱坐标是
?
?
4
??
24
?
两点A(x
1
，y
1
，z
1
)，B(x
2
，y
2
，z
2
)之间的距离公式|AB|＝?x
1
－x< br>2
?
2
＋?y
1
－y
2
?
2
＋?z
1
－z
2
?
2
，可
知P、Q之间的距离为 ( )
A.3
C.5
B．2
D．
2

2
解析： 首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P点的柱坐标转化为空间直
角坐标(2，2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q点的球坐标转化为空
间直角坐标
?
22
?
，，0
，代入两点之间的距离公式即可得到距离为2.
2
?
2
?
答案： B
1
10．如果直线ρ＝与直线l关于极轴对称，则直线l的极坐标方程是( )
cosθ－2sinθ
1
A．ρ＝
cosθ＋2sinθ
1
C．ρ＝
2cosθ＋sinθ
1
B．ρ＝
2sinθ－conθ
1
D．ρ＝
2cosθ－sinθ
1
解析： 由ρ＝知ρcosθ＋2ρsinθ＝1，∴x＋2y＝1.
cosθ＋2sinθ
答案： A
11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )
?
?
x＝2?cosφ＋φsinφ?，
A.
?
(φ为参数)
?
y＝2 ?sinφ－φcosφ?.
?
?
?
x＝4?cosθ＋θsinθ?，B.
?
(θ为参数)
?
y＝4?sinθ-θcosθ?.
?
?
?
x＝2?φ－sinφ?，
C.
?
(φ为参数)
?
y＝2?1－cosφ?.
?

?
?
x＝4?θ－sinθ?，
D.
?
(θ为参数)
?
y＝4?1－cosθ?.
?

解析： 圆心在原点，半径为2的 圆的渐开线的参数方程为
?
?
x＝2?cosφ＋φsinφ?，
?

?
y＝2?sinφ－φcosφ?.?φ为参数?.
?

答案： A
12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴
的正半轴分别相切于点 C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、
D是该圆的四等分点．若点P(x，y)、点P′ (x′，y′)满足x≤x′，且
y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其他 点
优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )


解析： ∵x≤x′且y≥y′，
∴点P(x，y)在点P′(x′，y′)的左上方．
∵Ω中不存在优于Q的点，
∴点Q组成的集合是劣弧AD ，故选D.
答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上)
?x＝2cosθ
?
13．对于任意实数，直线y＝x＋b与椭圆
?
(0≤ θ＜2π)恒有公共点，则b的取
?
y＝4sinθ
?
︵
B．BC

︵
︵︵
︵

值范围是________．
?
x＝2cosθ
?
x
2
y
2
解析： 椭圆
?
可化为＋＝1
416
?
y＝4sinθ
?

把y＝x＋b代入得5x
2
＋2bx＋b
2
－16＝0
Δ＝4b
2
－20(b
2
－16)≥0
解之得：－25≤b≤25.
答案： [－25，25]
?
x＝tcos α，
?
x＝4＋2cosφ，
??
14．直线
?
(t为参数 )与圆
?
(φ为参数)相切，则此直线的倾斜
??
y＝tsinαy＝2si nφ
??

角α＝________.
解析： 直线

< br>：y＝x·tanα，圆：(x－4)
2
＋y
2
＝4，
21
如图，sinα＝＝，
42
π
5
∴α＝或
π.
66
π
5
答案： 或
π.
66
?
?x＝t，
15．已知直线l的参数方程
?
(t为参数)，若以原点O为极点，x轴 的正半轴为
?
y＝1＋2t
?

π
θ＋
?
.则圆的直角坐标方程为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝22sin
?
?
4
?
__________，直线l和圆C的位置关系为__________(填相交、相 切、相离)．
π
θ＋
?
即ρ＝2(sinθ解析： (1)消去参数t，得 直线l的普通方程为y＝2x＋1.ρ＝22sin
?
?
4
?
＋co sθ)，两边同乘以ρ得ρ
2
＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，消去参数θ，得⊙C的直角坐 标方程为(x－
1)
2
＋(y－1)
2
＝2.
|2－1＋1|
25
(2)圆心C到直线l的距离d＝
22
＝<2，
5
2＋1
所以直线l和⊙C相交．
答案： (x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2；相交
?
?
x ＝t＋3，
16．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
?
(参数t∈R) ，圆C的
?
y＝3－t
?
?
x＝2cosθ
?
参数 方程为
?
(参数θ∈[0,2π])，则圆C的圆心坐标为______，圆心到直线l的距< br>?
y＝2sinθ＋2
?


离为______．
解析： 直线和圆的方程分别是x＋y－6＝0，x
2
＋(y－2)
2
＝2
2
，所以圆心为(0,2)，其到
|0＋2－6|
直线的距离为d＝＝ 22.
1＋1
答案： (0,2) 22
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)(1)化ρ＝cosθ－2sinθ.为直角坐标形式并说明曲线的形状；
(2)化曲线F的直角坐标方程：x
2
＋y
2
－5x
2
＋y
2
－5x＝0为极坐标方程．
解析： (1)ρ＝cosθ－2sinθ两边同乘以ρ得
ρ
2
＝ρcosθ－2ρsinθ
∴x
2
＋y
2
＝x－2y
即x
2
＋y
2
－x＋2y＝0

1
5
x－
?
2
＋(y＋1)
2
＝
??
2 即
?
?
2
?
?
2
?
1
5< br>，－1
?
为圆心，半径为的圆． 表示的是以
?
?
2
?
2
(2)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得
x
2
＋y
2
－5x
2
＋y
2
－5x＝0的极坐标方程为：
ρ
2
－5ρ－5ρcosθ＝0.
π
3，
?
，半 径为1.Q点在圆周上运动，O18．(12分)在极坐标系中，已知圆C的圆心C
?
?
9
?
为极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
OQ2
(2)若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．
QP3
解析： (1)设M(ρ，θ)为圆C上任意一点，

π
θ－
?
， 如图，在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM| ＝1，∠COM＝
?
?
6
?
根据余弦定理，
得1＝ρ
2
＋9－2·ρ·3·
π
θ－
?
，化简整理， cos
?
?
6
?
π
θ－
?
＋8＝0为圆C的轨迹方程． 得ρ
2
－6·ρc os
?
?
6
?
(2)设Q(ρ
1
，θ
1< br>)，
π
θ
1
－
?
＋8＝0① 则有ρ
2< br>ρ
1
cos
?
1
－6·
6
??
设P (ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ
1
∶(ρ－ρ
1
)
2
＝2∶3?ρ
1
＝
ρ，
5
2
?
?
ρ
1
＝
5
ρ，
又θ
1
＝θ，即
?

?
?
θ
1
＝θ，
42
π
代 入①得
ρ
2
－6·
ρcos(θ－
)＋8＝0，
2556
5π
θ－
?
＋50＝0为P点的轨迹方程． 整理得ρ
2
－15ρcos
?
6
??

x
2
y
2
19．(12分)如图所示，已知点M是椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)上的第一象限的点，A(a,0)
ab
和

B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原来，求四边形MAOB的面积的最大值．
x
2
y
2
解析： 方法一：M是椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)上在第一象限的点，
ab
?
?
x＝acosφ
x
2
y
2
由椭圆
2
＋
2
＝1的参数方程为
?
(φ为参数)，
ab
?
y＝bsinφ
?

故可设M(acosφ，bsinφ)，
π
其中0＜φ＜，因此，
2S
四边形
MAOB
＝S
△
MAO
＋S
△
MOB

11
＝OA·y
M
＋OB·x
M

22
1
＝ab(sinφ＋cosφ)
2
＝
π
2
φ＋
?
. absin
?
?
4
?
2
π
2
所以，当φ＝时，四边形MAOB面积的最 大值为ab.
42
方法二：设M(x
M
，y
M
)，xM
＞0，y
M
＞0，则
y
M
＝b
x
2
M
1－
2
，S
四边形
MAOB
＝S
△< br>MAO
＋S
△
MOB

a
11
＝OA·y
M
＋OB·x
M

22
1
＝ab
2
x
2
1
M
1－
2＋bx
M

a2
1
2
＝b(a
2
－x
M
＋x
M
)
2
1
222
＝ba
2
－x
2
M
＋2x
M
a－x
M
＋x
M

2
1
＝ba
2
＋2x
M
a
2
－x
2
M

2
1
22
≤ba
2
＋x
2
M
＋a－x
M

2

＝
2
ab.
2
20．(12分)如图， 自双曲线x
2
－y
2
＝1上一动点Q引直线l：x
＋y＝2的垂线， 垂足为N，求线段QN中点P的轨迹方程．
解析： 设点Q的坐标为(secφ，tanφ)，(φ为参数)．
∵QN⊥l，
∴可设直线QN的方程为x－y＝λ①
将点Q的坐标代入①得：λ＝secφ－tanφ
所以线段QN的方程为x－y＝secφ－tnaφ②
又直线l的方程为x＋y＝2.③
2＋secφ－tanφ
由②③解得点N的横坐标x
N
＝
2
设线段QN中点P的坐标为(x，y)，
x
N
＋x
Q
2＋3secφ－tanφ
则x＝＝，④
24
4×④－②得
3x＋y－2＝2secφ.⑤
4×④－3×②得
x＋3y－2＝2tanφ.⑥
⑤
2
－⑥
2
化简即得所求的轨迹方程为
2x
2
－2y
2
－2x＋2y－1＝0.
?
x＝ 23cosθ，
21．(12分)已知直线l：x－y＋9＝0和椭圆C：
?
(θ为参 数)．
?
y＝3sinθ
(1)求椭圆C的两焦点F
1
，F
2
的坐标；
(2)求以F
1
，F
2
为焦点且与直线l有 公共点M的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．
x
2
y
2
解析： (1)由椭圆的参数方程消去参数θ得椭圆的普通方程为＋＝1，
123
所以a
2< br>＝12，b
2
＝3，c
2
＝a
2
－b
2＝9.
所以c＝3.故F
1
(－3,0)，F
2
(3,0)．
(2)因为2a＝|MF
1
|＋|MF
2
|，
所以只需在 直线l：x－y＋9＝0上找到点M使得|MF
1
|＋|MF
2
|最小即可．
点F
1
(－3,0)关于直线l的对称点是F
1
′(－9,6)，
|MF
1
|＋|MF
2
|＝|MF
1
′|＋|MF
2
|＝|F
1
′F
2
|
＝?－9－3?
2
＋?6－0?
2
＝65，
故a＝35.

又c＝3，b
2
＝a
2
－c
2< br>＝36.
x
2
y
2
此时椭圆方程为＋＝1.
45 36
22．(14分)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l
?
?
x＝t，
的参数方程为
?
(t为参数)．当m为何值时，直线 l被椭圆截得的弦长为6？
?
y＝m＋2t
?

?
?
x＝t，
y
2
解析： 椭圆方程为＋x＝1，化直线参 数方程
?
4
?
y＝m＋2t
?
2

?x＝
5
5
t′
为
?
25
y＝m＋t′
?
5

(t′
为参数)．
代入椭圆方程得
(m＋
25
5
t′)
2
＋4
?
5
?
5
t′
?
?
2
＝4?8t′
2
＋45mt′＋5m
2
－20＝0
当Δ＝80m
2
－160m
2
＋640＝64 0－80m
2
>0，
即－22方程有两不等实根t′
1
，t′
2
，
则弦长为|t′′t ′
640－80m
2
1
－t
2
|＝?t′
1
＋
2
?
2
－4t′
1
t′
2
＝
8

依题意知＝
640－80m
2
8
＝6，解得m＝±45
5
.