北师大版高中数学选修4-5 1.3平均值不等式公式四个_教案

平均值不等式教学设计

【教材依据】本节教学设计依据北师大20 07年5月第2版的《高中数学（选
修4-5）》，是第一章“不等关系与基本不等式”的第3节“§3 平均值不等式”中
的第一课时。
一、设计思路
1.指导思想。
本设计以 素质教育精神和新课程理念为指导，充分调动学生动手实践、合
作探究，以此提高课堂教学效率。 以建构主义为指导，找准学生认知的最近发展区和认知生长点，指导学生
在已有认知的基础上学习、 发展。
结合实践体验，引导学生意识到几何直观和类比、分析等在数学证明中的
独特价值，让 学生体会数学的图形之美、构造之美和结论的和谐一致之美。
2.教学目标。
知识与能力： 进一步理解二元、三元平均值不等式，进而类比并了解
n
元平
均值不等式。
方法与途径：观察、动手实践、讨论交流、总结归纳。
情感与评价：口头评价与成果交流评价 相结合。拓展学生的视野，激发学生
类比、分析的意识与能力。在从二元平均值不等式到三元平均值不等 式的推广过
程中，条件由“实数”变为了“正实数”，也以此让学生领会“量变会引起质变”
的 哲学观点。
现代教学手段的运用：PPT多媒体辅助手段与学案相结合。
3.教学重点与难点。
重点：二元、三原平均值不等式的理解与证明方法。
难点：类比得出三原平均值不等式，三元平均值不等式的证明思路的探索。
二、教学准备 < br>利用几何画板提前将有关二元平均值不等式及其变式的几何证明的图像做
好，分为三组在学案上印 制出来，准备让学生发现这些图形中隐藏的秘密。
三、教学过程
1.体验数学发现与数学结论的不同表达形式

让学生观察第一组3个图形中有关部分面积的大小关系，揭示其
中的秘密并恰当表述出来。 < br>师生共同交流总结出：
a,b?R,a
2
?b
2
?2ab，当且仅当
a?b
时“
?
”成
立。
让学生观察第二组2个图形中有关部分线段的长短关系，揭示其
中的秘密并恰当表述出来。 < br>有了刚才的铺垫，学生比较容易发现并表述出：
a,b?R
?
,a?b?2ab
，当且
仅当
a?b
时“
?
”成立.或表示为
a?b
?ab
。
2
继续让学生第二组这一个图形中有指定的四条线段的长短关系， 揭
示其中的秘密并恰当表述出来。
在学生观察表述的基础生，老师明确告诉学生，这就是四种 平均
数间到小关系的几何表示与证明。
a
2
?b
2
a?b2
。
a,b?0,??ab?
11
22
?
ab
2.类比、探索
对三个实数
a,b,c
，你能类比二元平均值不等式有什么猜想呢？
师：启 发、引导学生从熟悉的三角形面积公式到三棱锥的体积公
式，在由二维到三维的的过程中，是如何“升级 ”的。
学生可能有各种猜想的结论，老师恰当引导其发现不足或问题。
对
a
3
?b
3
?c
3
?3abc
中，到底应该是
a,b ,c?R,
还是
a,b,c?R
?
,
让学生做决断。
或许 有学生通过举特殊值发现
a,b,c?R
时结论不一定成立。或许说不清，先
留作悬念 ，看在后面证明过程中能不能有所发现。
3.实践、展示
鼓励学生应用所学知识尝试给出证明。
比较法证明过去作为例题讲过，要求学生课后在证一次 ，体会乘
法公式及因式分解的价值与作用。
鼓励学生大胆尝试、展示，教师及时、适当地启发或指点。
4.启迪与引导

教师针对学生在证明思路和方向上的难点，以此作为启迪学生思维、指导学生经验、已有方法中受启发、找思路。
课本上介绍的综合法很好，大入手太突兀，怎么就一下子 想到了利用
a,b?0
时，
?
a?b
?
a
2
?b
2
?0
，这是个难点。结构的对称性，还有分析法可以有
??
助于突破这个难点。
给学生再介绍一种综合法，利用立方和公式与二元平均值不等式给出证明，
启迪学生思考。 < br>再把分析法、综合法结合起来，受用综合法证明
给出另一种思路，这样也就揭示了课
a< br>2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
?
a, b,c?R
?
的启发，
本证明思路的来源。
5.再类比、推广
由学生顺利类比、推广出
n
元平均值不等式。
对
n
个正实 数
a
1
,a
2
,
a
1
?a
2?
,a
n
?
n?2
?
，
a
1
?a
2
?
n
?a
n
?
n
a
1a
2
a
n
，当且仅当
?a
n
时“
?< br>”成立.（简称：
n
个正实数的算术平均值不小于它们的几
何平均值）
其中数值
几何平均值。
6.教学小结
从几何角度进一步理解、巩固了二元平均值不等式。
理解并掌握三元平均值不等式及证明，了 解
n
元平均值不等式.体会类比法、
分析法的应用。
7.课后思考
让学生类比二元平均值不等式求最值的思路、方法，思考尝试所
给函数最值的求法（可用三元平均值不 等式求，亦可用导数法求）。
四、教学反思
通过本节平均值不等式的教学，让学生认识到数 学结论的结构之
美、结论的而和谐之美。对平均数有了一个相对全面、完整的认识。
尤其通过对 三元平均值不等式不同证明思路的分析，启迪学生思维的

a
1
?a
2
?
n
?a
n
，
n
a
1
a
2
a
n
分别称为这
n
个正数的算数平均值与

开阔性和灵活性。个人认为本节教学设计特下面几个方面做的很有特
点；
1.引 导学生换个角度（几何直观，这也是后面证明不等式的方法
之一——几何法）再认识“二元平均值不等式 及其变式”，让学生应
用所学过的类比方法和类比的经验，尝试从“二元平均值不等式的结
论” 类比出“三元平均值不等式的结论”（认知发展与生长策略）—
—已有认知——已有体验——最近发展区 ，最佳生长点。
2.以具体问题为载体，让学生体验类比推理（情感体验策略）――
已有结论 的体验――新结论的提炼――新结论的形成――新结论的
理解、巩固――新概念的应用为设计线索。 < br>3.引导学生类比、分析：观察、表述、类比、分析、尝试等数学
发现的过程以及数学研究的方法 同样也是数学的重要内容，甚至可以
这样讲，没有大胆的类比、猜想,就没有今天的数学，数学也就无法
健康的发展。（思维加工的策略）。
4.以问题为导向，以问题的探索解决为载体,调动学生 利用已有
的学习体验和经验，大胆类比、猜想。再次让学生意识到类比、猜想
的结论不一定可靠 ，其正确性必须要以逻辑证明为依据，以此引导学
生在类比时注意全面、严谨，逐步形成言之有理，论述 有据的思维习
惯（活动操作策略）。
问题与不足：现阶段“三元平均值不等式”的证明对学生 而言确
实有难度，加之学生对必修五中基本不等式以及类比推理等知识方法
有点回生，学生的实 践、展示开展的不很充分。尤其应该给学生展示
用做差比较法证明“三元平均值不等式”或用其它方法证 明的机会。
今后应针对学生的相关问题提前做一些辅导或准备，帮助学生扫清障
碍。