人教版高中数学【选修4-4】[知识点整理及重点题型梳理]

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人教版高中数学选修4-4
知识点梳理
重点题型（
常考知识点
）巩固练习
直线的参数方程
【学习目标】
1．能选择适当的参数写出直线的参数方程．
2. 会运用直线的参数方程解决有关问题。
【要点梳理】
要点一、直线的参数方程的标准形式
1. 直线参数方程的标准形式：
经过定点
M
0
(x
0< br>,y
0
)
，倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程 为：
?
x?x
0
?tcos
?
（
t
为参数）；
?
y?y?tsin
?
0
?
我们把这一形式称为直线参数方 程的标准形式。
2. 参数
t
的几何意义：
参数
t
表示 直线
l
上以定点
M
0
为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线 段的长度再加上表示方向的正
负号，也即
|M
0
M|?|t|
，|t|
表示直线上任一点M到定点
M
0
的距离。
当点
M
在
M
0
上方时，
t?0
；
当点
M
在
M
0
下方时，
t?0
；
当点
M
与
M
0
重合时，
t?0
；

?
x?x
0
?t
要点注释：若直线
l
的 倾角
?
?0
时，直线
l
的参数方程为
?
.
y?y
0
?
要点二、直线的参数方程的一般形式
过定点P
0
(x
0
,y
0
)斜率k=tgα=
b
的直线的参 数方程是
a
?
x?x
0
?at
(t为参数) ?
?
y?y
0
?bt
在一般式中，参数t不具备标准式中t的几 何意义。若a+b=1,则为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点
P到定点P
0
的距 离；若a+b≠1，则动点P到定点P
0
的距离是
22
22
a
2
?b
2
｜t｜.
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要点三、化直线参数方程的一般式为标准式
一般地，对于倾斜角为
?
、过点M
0
(
x
0
,y
0
)直线
l
参数方程的一般式为，.
b
?
x?x
0
?at
（t为参数）， 斜率为 k?tg
?
?
?
a
y?y?bt
0
?
(1) 当
a?b
＝1时，则t的几何意义是有向线段
M
0
M
的数量.
(2) 当
a?b
≠1时，则t不具有上述的几何意义.
22
22
a
?
22
x?x?(a?bt)
0
??
x?x
0
?at
22
a?b
可化为
?
令
?
?
y?y?bt
b
0
?
?
y?y
0
?(a
2
?b
2
t)
?
a2
?b
2
?
t?=
a
2
?b
2
t

a
?
x?x?t
?
0
?
22
a?b
则可得到标准式
?
t?的几何意义是有向线段
M
0
M
的数量.
?
b
?
y?y
0
?t
?
22
?
a?b
?
要点四、直线参数方程的应用
1. 直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法：
设过 点P
0
(x
0
,y
0
),倾斜角为α的直线l的参数方程是

?
?
x?x
0
?tcosa
（t为参数）
?
y?y
0
?tsina
若P
1
、 P
2
是l上的两点，它们所对应的参数分别为t
1
,t
2
， 则
（1）P
1
、P
2
两点的坐标分别是：(x
0
+t
1
cosα,y
0
+t
1
sinα)，(x
0
+t
2
cosα,y
0
+t
2
sinα)； (2)｜P
1
P
2
｜=｜t
1
-t
2
｜;
(3) 线段P
1
P
2
的中点P所对应的参数为t，则t=< br>t
1
?t
2

2
中点P到定点P
0
的距离｜PP
0
｜=｜t｜=｜
(4) 若P
0
为线段P
1
P
2
的中点，则t
1
+t
2
=0.
t
1
?t
2
｜
2
2. 用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的几种题型：
（1）有关弦长最值题型
过定点的直线 标准参数方程，当直线与曲线交于A、B两点。则A、B两点分别用参变量t1、t2表示。
一般情况A、B都在定点两侧，t1，t2符号相反，故|AB|=| t1- t2|，即可作分公式 。且因正、余弦函数
式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法 步骤定型，计算量
不大而受大家的青睐。

(2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型
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直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数
t
中
=
t
1
?t
2
；若定点恰为AB为
2
中点，则t1+ t2=0 . 这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交，且与中点坐标有
关的问 题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。

（3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型
若F为定点，P、Q为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2. 则|FP|·|FQ|=| t1·t2|，
由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程
解决为好
【典型例题】
类型一、直线的参数方程
例1. （2016春 福州校级期中）直线
?

?
x?-tcos20?
（t为参数）的倾斜角是（ ）
?
y?3?tsin20?
A． 20° B. 70° C. 110° D. 160°
【思路点拨】因为不是标准形式，不能直接判断出倾斜角，有两种方法：化为普通方程，化标准形式。
【答案】D
【解析】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．
?
-x?tcos20?
把参数方程改写成
?
，
y-3? tsin20?
?
消去t，有
y-3?-xtan20?=xtan160?
，
即
y?xtan160?+3
，所以直线的倾斜角为160°．
?x?tcos160?
第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程
?
，
y?3?tsin160?
?
所以直线的倾斜角为160°，选D．
【总结 升华】根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，
?
x?2?tcos20?
根据方程就可以判断出倾斜角，例如
?
（t为参数），可以 直接判断出直线的倾斜角是20°，
y??4?tsin20?
?
但是如果不是标准形 式，就不能直接判断出倾斜角了。
举一反三：
?
?
x??2?3t
【变式1】 已知直线
l
的参数方程为
?
（t为参数），求直线
l
的倾斜角．
?
?
y?2?t
【答案】 关键是将已知的参数方程化为
?
?
x?x
0
?tcos
?
的形式。
?
y?y0?tsin
?
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?
3
(2t)
?
x? ?2?
?
2
若化成另一种形式
?
，
?
y?2?< br>?
?
1
?
(2t)
??
?
?
2?
?
?
3
cos
?
?
?
?
2
，在
?
?[0,
?
)
内无解； 若2t为一个参数，则?
?
sin
?
??
1
?
?2
?
?
3
?
?
3
x??2??(?2t)
?
??cos
?
??
?
2
?
?
?
?
2
得
?
?
5
?
．
??
而化成
?
时，则
?
6
?
?
sin
?
?
1< br>?
1
?
?
(?2t)
?
y?2?
?
?
?2
2
??
?
5
?
故直线
l
的倾斜角为．
6
【变式2】求直线
?
?
x?3?4t
(t为参数)
的斜率。
?
y?4?5t
?
x ?3?4t
?
x?3?4t
【答案】
?

(t为参数)?
?
y?4?5ty?4??5t
??
∴
k?
y?4?5t5
???

x?34t4
3
?
x?1?tcos(
?
?
?
)
?
?
2
【变式3】
?
为锐 角，直线
?
的倾斜角（ ）。
3
?
y?2?tsin(?
?
?
)
?
?2
A、
?
B、
??
??3
C、
??
D、
???

222
3
?
x?1?tcos(
?< br>?
?
)
?
y?23
?
?
2
【答案】
?
，相除得
?tan(
?
?
?
)?tan(
?
?)
，
x?122
?
y?2?tsin(
?
?
3
?
)
?
?2
∵
??
???
? (,?)
，∴倾角为
??
，选C。
222
?
x?1?2t
?
x??1?2t
?
【变式4】 已知直线
l
1
的参数方程为
?
，
l
2
的参数方程为
?
5
．试判断
l
1
与
l< br>2
的位
y???t
y??1?4t
?
?
?2
置关系．
【答案】
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解法一：将直线
l
1
化为普通 方程，得y=2x+1，将
l
2
化为普通方程，得
y??
因 为
k
1
?k
2
?2?
?
?
1
x? 2
．
2
?
1
?
?
??1
，所以两直线垂直．
?
2
?
解法二：由参数方程可知
l
1
的方 向向量是a
1
=（2，4），
l
2
的方向向量是a
2
=（2，－1），又2×2+4×(－
1)=0， ∴
l
1
?l
2
．
即两条直线垂直．
【直线的参数方程406451例题1】
例2．设直线的参数方程为
?
?
x?5?3t
．
y?10?4t
?
（1）求直线的直角坐标方程；
（2）化参数方程为标准形式．
【思路点拨】
在直线的参数方程的标准形式中参数t的系数 具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余弦值，
且y值中t的系数一定为正．
【解析】（1）把
t?
得
y?10?
x?5
代入y的表达式，
3
4(x?5)
，
3
化简得4x+3y－50=0．
所以直线的直角坐标方程为4x+3y－50=0．
（2）把方程变形为
33?
22
x?5?3?4?t?5??(5t)
?
22
5
3?4
?

?
，
44
?
y?10?32
?4
2
?t?10??(5t)
?
5
3
2< br>?4
2
?
3
?
x?5?u
?
?
5< br> 令u=－5t，则方程变为
?
．
?
y?10?
4< br>u
?
5
?
记
cos
?
??
34，
sin
?
?
，
55
?
x?5?ucos
?
∴直线参数方程的标准形式是：
?

y?10?usin
?
?
【总结升华】
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?
x?x
0
?at
?
x?x
0
?tcos
?
已知直线的参数方程为
?
（t为参数），由直线的参数方程的标准形式
?
可知
y?y?bty?y?tsin
?
00
??
参数t前的系数分别 是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1，故可将原式转化为
a
?
22
x?x??a?bt
0
?
22
ab
a?b
?
再令
cos
?
?
，
sin
?
?
，由直线倾斜角 的范围，使
?
?
2222
b
a?ba?b
?
y?y ??a
2
?b
2
t
0
?
a
2
?b
2
?
在[0，π）范围内取值，并且把
a
2
?b
2
t
看成标准方程中的参数t，即得标准式的参数方程为
?
x?x
0< br>?tcos
?
（t为参数）．由上述过程可知，一般参数方程中的
a
2
?b
2
t
具有标准形式参数方程中参
?
?
y?y< br>0
?tsin
?
数t的几何意义。
举一反三：
【变式1】写出经过点M
0
（－2，3），倾斜角为
相距为2的点的坐标.
?
3
?
x??2?tcos
?
x??2?
【答案】 直线
l
的标准参数方程为
?
即
?
?
4
?
?
3
?
y?3?tsin
?
?
y?3?
?
4
?
?
2
t
（1）
2
（t为参数）2
t
2
3
?
的直线
l
的标准参数方程，并且求 出直线
l
上与点M
0
4
设直线
l
上与已知点M
0
相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t,
则| M
0
M|＝|t| =2, ∴t=±2 将t的值代入(1)式
当t=2时，M点在 M
0
点的上方，其坐标为（－2－
2
，3＋
2
）；
当t=-2时，M点在 M
0
点的下方，其坐标为（－2＋
2
，3－
2
）.
【变式2】直线的参数方程
?
?
x?1?t
能否化为标准形式？
?
y?3?3 t
【答案】 是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化)

?
?
?
y
1
?
22
x?1?(1?(3)t)
?
22
x?1?t
22
1?(3)
令t?=
1?(3)t

?
?
?
?3?3 t
3
?
y?3? (1
2
?(3)
2
t)
?
1
2
?(3)
2?
1
?
x?1?t
?
?
?
2
t?的几何意义是有向线段
M
0
M
的数量. 得到直线
l
参数方程的标准形式
?
?
y?3?
3
t
?
?
2
?
【变式3】化直线
l
1
的普通 方程
x?3y?1
＝0为参数方程，并说明参数的几何意义,说明∣t∣的
几何意义.
【答案】令y=0,得
x
＝1，∴直线
l
1< br>过定点(1,0). k＝－
1
=－
3

3
3
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1
设倾斜角为
?
，tg
?
=－
3
,
?
=
5
?
, cos
?
=－
3
, sin
?
=
32
2
6

l
1
的参数方程为
?
?
x?1?
2
t
（t为参数）
?
?
?
?
y?
1
t
2?
3
?
3
(1)
t是直线
l
1
上定点M
0
（1，0）到t对应的点M(
x,y
)的有向线段M
0
M
的数量.由
?
?
x?1??
2
t
?
?
y?
1
t (2)
?
2
?
(1)、(2)两式平方相加,得
(x?1)?y?t

∣t∣＝
(x?1)
2
?y
2
∣t∣是定点 M
0
（1，0）到t对应的点M(
x,y
)的有向线段
M
0
M
的长.
类型二、直线的标准参数方程的初步应用
例3． 设直线
l
1
过点A（2，－4），倾斜角为
?
．
（1）求
l
1
的参数方程；
（2）设直线
l
2< br>:x?y?1?0
，
l
2
与
l
1
的交点为B ，求点B与点A的距离．
【思路点拨】（2）中，若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点 的坐标较麻烦，而使用直线的
参数方程，充分利用参数t的几何意义求较容易.
222
5
6
?
5
?
3
x?2?tcos
?
x? 2?t
?
?
?
?
6
2
【解析】（1）直线的参数方 程为
?
， 即
?
（t为参数）．
5
?
y? ?4?tsin
?
?
y??4?
1
t
?
?
6
?
?2
（2）如图所示，B点在
l
1
上，只要求 出B点对应的参数值t，则|t|就是B到A的距
离．
把
l
1
的参数方程代入
l
2
的方程中，
?
3
?
?
1
?
t??4?t
?
?1?0
， 得
?
2?
?
??
?
22
?
??
?
∴
3?1
t?7
，
2
∴
t?
14
?7(3?1)
．
3?1
由t为正值，知
|AB|?7(3?1)
．
【总结升华】
（1）求直线上 某一定点到直线与曲线交点的距离时，通常要使用参数的几何意义，宜用参数方程的
标准形式．而对于某 些比较简单的直线问题，比如求直线和坐标轴或者与某条直线的交点时宜用直线的普
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通方程．
（2）本类题常见错误是转化参数方程时不注意题目内容，随便取一个定点．
举一反三： < br>?
x?1?3t
【变式1】已知直线
l
1
:
?
(t为参数)
与直线
l
2
:2x?4y?5
相交于点
B< br>，又点
A(1,2)
，
y?2?4t
?
则
AB?
_______________。
【答案】
?
x?1?3t
155
5
。 将
?< br>代入
2x?4y?5
得
t?
，则
B(,0)
，而A(1,2)
，得
AB?

222
2
?
y?2?4t
4
．
3
【变式 2】已知直线l
1
过点P(2，0)，斜率为
(1)求直线l
1
的参 数方程；
(2)若直线l
2
的方程为x＋y＋5＝0，且满足l
1
∩l
2
＝Q，求|PQ|的值．
【答案】(1) 设直线的倾斜角为
?
，由题意知tan
?
＝
4
，
3
?
x＝2＋
3
t
?
5
43
?
所以sin
?
＝，cos
?
＝，故l
1
的参数方程为
?
(t为参数)．
5 5
?
y＝
4
t
?
?
5
?
x＝2＋
3
t
?
5
34
?
(2)将
?
代入 l
2
的方程得：2＋t＋t＋5＝0，解得t＝－5，即Q(－1，－4)，所以|PQ|＝5 ．
55
?
y＝
4
t
?
?
5
【变 式3】求点A（?1，?2）关于直线l：2x ?3y +1 =0的对称点A' 的坐标。
【答案】
?
x = ?1 ?
由条件，设直线AA' 的参数方程为
?
?
y = ?2+

2
t ，
13
(t是参数)，
3
t
13
∵A到直线l的距离d =
510
， ∴ t = AA' = ，
1313
334
，)。
1313
代入直线的参数方程得A' (?
【变式4】 已知直线
l
过点P（3，2），且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B 两点，求|PA|·|PB|的值为
最小时的直线
l
的方程．
【答案】设直线的倾斜角为
?
，
则它的参数方程为
?
?
x?3?tcos
?
（t为参数）．
?
y?2?tsin
?
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由A、B分别是x轴、y轴上的点知y
A
=0，x
B
=0，
2
；
sin
?
3
0=3+t cos
?
，即
|PB|?|t|??
．
cos
?
∴0=2+t sin
?
，即
|PA|?|t|?
故
|PA |?|PB|?
2
?
3
?
?
sin
?
?< br>cos
?
12
?
??
．
?
sin2
?
?
∵90°＜
?
＜180°， ∴当2
?
=270°，即
?
=135°时，|PA|·|PB|有最小值 ．
?
?
x?3?
?
∴直线方程为
?
?< br>y?2?
?
?
2
t
2
（t为参数），
2
t
2
化为普通方程为x+y－5=0．
类型三、直线参数方程在圆锥曲线中的应用
例4. 经过点
A
?
?3,?
?
?
3
?
22
?
，倾斜角为
?< br>的直线
l
与圆x+y=25相交于B、C两点．
2
?
（1）求弦BC的长；
（2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；
（3）当|BC|=8时，求直线BC的方程；
（4）当
?
变化时，求动弦BC的中点M的轨迹方程．
【思路点拨】 本题可 以使用直线的普通方程来解，也可以使用参数方程来解，但是使用普通方程解，
运算较为麻烦．如果设出 直线的倾斜角，写出直线的参数方程求解，就可以把问题转化为三角函数的最小
值问题，便于计算．
【解析】取AP=t为参数（P为
l
上的动点），
?
x??3?tcos
?
?
则
l
的参数方程为
?
，
3
y???tsin
?
?
?2
代入x
2
+y
2
=25，整理得

t?3(2co s
?
?sin
?
)t?
2
55
?0
．
4
∵Δ=9(2cos
?
+sin
?
)
2
+55＞0恒成立．
∴方程必有相异两实根t
1
、t
2
，且t
1
+t
2
=3(2cos
?
+sin
?
），
t1
?t
2
??
22
55
．
4
（1）
|BC|?|t
1
?t
2
|?(t
1
?t< br>2
)?4t
1
t
2
?9(2cos
?
?si n
?
)?55
．
（2）∵A为BC中点，∴t
1
+t
2
=0，
即2cos
?
+sin
?
=0，∴tan
?
=－2．．
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故直线BC的方程为
y?
即4x+2y+15=0．
（3）∵|BC|?9(2cos
?
?sin
?
)
2
?55?8
，
∴(2cos
?
+sin
?
)
2=1，∴cos
?
=0或
tan
?
??
∴直线BC的方程是x=－3或3x+4y+15=0．
（4）∵BC的中点M对应的参数是
t?
∴点M的轨迹方程为
3
??2(x?3)
，
2
3
．
4
t< br>1
?t
2
3
?(2cos
?
?sin
?)
，
22
3
?
x??3?si
?
n(2c< br>?
o?s
?
sin)
?
?
2

?
，
(0?
?
?
?
)
?
y??
3
?
3
sin
?
(2cos
?
?sin< br>?
)
?
?22
?33
?
1
?
x?? cos2
?
?sin2
?
??
?
22
?
2
??
∴
?
．
331
?
y??
?
sin2
?
?cos2
?
?
??
?
42
?
2
?
?
3
??
3
?
45
?
∴
?
x?
?
?
?
y?
?
?
．
2
??
4
?
16
?
即点M的轨迹是以?
?
22
35
?
33
?
,?
?
为圆心，以为半径的圆．
4
24
??
【总结升华】 利用直线的参数方程 可以研究直线与圆的位置关系，求直线方程、求弦长、求动点轨迹等
问题，也十分方便．
举一反三：
1
?
x?1?t
?
2
?
【变 式1】直线
?
(t为参数)
和圆
x
2
?y
2
?16
交于
A,B
两点，则
AB
的中点坐标为
?
y??33?
3
t
?
?2
（ ） A．
(3,?3)
B．
(?3,3)
C．
(3,?3)
D．
(3,?3)

【答案】D
13
2
t?t
(1?t)
2
?(?33?t)?16
，得
t
2
?8t?8?0
，
t
1
?t
2
?8,
12
?4

22
2
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1
?
x?1??4
?
?
x?3
2
??
中点为
?

?
?
?
y??3
?
y??33?
3
?4
?< br>?
?2
?
?
x?2?t
22
【变式2】求直线
?
（
t
为参数）被双曲线
x?y?1
截得的弦长。
?
?
y?3t
1
?
x?2?t
?
2
?
【答案】把直线参数方程化为标准参数方程
?

（t 为参数）
?
y?
3
t
?
2
?1
?
?
3
?
?
22
t
?
?1

代入x?y?1，得：
?
2?t
?
?
?
??
22
??
??

整理，得：t ?4t ?6?0


设其二根为t
1
，t
2
，则


t
1
?t
2
?4，t
1
?t
2
??6


从而弦长为AB?t
1
?t
2
?
2
2
2
?
t
1
?t
2

?
2
?4t
1
t
2
?4
2
?4
?
?6
?
?40?210

1
?
x?t?,
?
?
t
(t为参数)
相交于A、B两 点，求【变式3】过点P（－3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线
?
1
?
y?t?
?
t
?
线段AB的长．
?
1
?
3
x?t?
x??3?s
?
?
?
?
t
22
2
(t为参数）
【答案】直线的参数方程为
?
曲线
?
可以化为
x?y?4
．
(s为参数）
?
y?t?
1?
y?
1
s
?
?
t
?
?2
2
将直线的参数方程代入上式，得
s?63s?10?0
．设A、B对应的参数分别为< br>s
1
，s
2
，
∴
s
1
?s
2
?63，s
1
s
2
?10
． AB
?s
1
?s
2
?(s
1
?s
2
)
2
?4s
1
s
2
＝
217
．
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例5（2016 鞍山一模）直角 坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
的方程为ρ=4cosθ， 直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．
（1）求点T的极坐标；
（ 2）过点T作直线l
1
，若l
1
被曲线C截得的线段长为2，求直线l
1
的极坐标方程．
【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为x
2
﹣4x+y
2
=0．
将代入上式并整理得．
解得
其极坐标为
．∴点T的坐标为
…（5分）
．
（2）设直线l'的方程为．
由（Ⅰ）得曲线C是以（2，0）为圆心的圆，且圆心到直线l '的距离为
则，
直线l'的方程为
其极坐标方程为
举一反三：
【直线的参数方程406451例题2】

．解得k=0，或
，或
．
．
（ρ∈R）
【变式1】已知直线
l
经过点
P(1,1)
, 倾斜角
?
?
（1）写出直线
l
的参数方程。
?
6
，
（2）设
l
与圆
x?y?4
相交 与两点
A,B
，求点
P
到
A,B
两点的距离之积。
22
?
?
?
3
x?1?tcos
x?1?t
?< br>?
?
?
6
2
【答案】（1）直线的参数方程为
?< br>，即
?
?
y?1?tsin
?
?
y?1?
1
t
?
?
6
?
?2
?
3
x?1?t
?
?
2
代入
x
2
?y
2
?4 （2）把直线
?
?
y?1?
1
t
??2
得
(1?
3
2
1
t)?(1?t)
2?4,t
2
?(3?1)t?2?0

22
t
1
t
2
??2
，则点
P
到
A,B
两点的距离之积为
2

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【变式2】（2016 杭锦后旗校级二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参
数）．在极坐标系 （与直角 坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）
中，圆C的方程为ρ=4c osθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．
【解析】（I）∵ρ=4cosθ，∴ρ
2
=4ρcosθ，
∴圆C的直角 坐标方程为x
2
+y
2
=4x，即（x﹣2）
2
+y
2
=4．
代入（x﹣2）
2
+y
2
=4整理得（II） 设点A、B对应的参数分别为t
1
，t
2
，将，
∴，即t
1
，t
2
异号．
=
2
∴|PA |+|PB|=|t
1
|+|t
2
|=|t
1
﹣t
2
|=．
【变式3】 设M、N是抛物线y=2px (p>0)的对称轴上的相异两点， 且|OM|=|ON|
（O为坐标轴原点），过M、N作两条相互平行的直线，分别交抛物线于P
1
、P
2
两点和Q
1
、Q
2
两点.求证：|MP
1
|·|MP
2
|=|NQ
1
|·|NQ
2
|


【答案】设点M、N的坐标为M(a，0)，N(-a，0) (a>0)，
两平行线P
1
P
2
，Q
1
Q
2
的倾角为α，则直线P
1
P
2
的标准参数方程为
?程y=2px，得tsinα-2ptcosα-2pa=0 由t的几何意义得

同理Q
1
Q
2
的参数方程为
?
得
NQ
1
NQ
2
?
?
1
?
2
?
222
?
x?a?tcos
?
(t为参数)
代入抛物线方
y ?tsin
?
?
?
x??a?
?
cos
?
(t为参数)

?
y?
?
sin
?
2pa

2
sin
?
∴|MP
1
|·|MP
2
| =|NQ
1
|·|NQ
2
|

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