高中数学人教A版选修4-5习题：第三讲3.1-3.2一般形式的柯西不等式 Word版含答案

第三讲 柯西不等式与排序不等式
3.1 二维形式的柯西不等式
3.2 一般形式的柯西不等式

A级 基础巩固
一、选择题
1．函数
y
＝
x
－5＋26－
x
的最大值是( )
A.3
C．3
B.5
D．5
解析：根 据柯西不等式，知
1＋2·（
x
－5）＋（6－
x
）＝5.
答案：B
2222
y
＝1·
x
－5＋2·6－
x
≤
149
2．已知
x
，
y
，
z
均 大于0，且
x
＋
y
＋
z
＝1，则＋＋的最小值为( )
xyz
A．24
C．36
B．30
D．48
12
?
149
?
?
解析：(
x
＋
y＋
z
)
?
＋＋
?
≥
?
x
·＋
y
·＋
z
·

?
xyz
?
?
xy

3
?
2
z
?
?
＝36，
149
所以＋＋≥36.
xyz
答案：C
3．已知
a< br>，
b
＞0，且
a
＋
b
＝1，则(4
a
＋1＋4
b
＋1)的最大值是( )
A．26
C．6
2
2
B.6
D．12
222
解析：(4
a＋1＋4
b
＋1)＝(1·4
a
＋1＋1·4
b
＋1) ≤(1＋1)·(4
a
＋1＋4
b
＋1)＝
2[4(
a＋
b
)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，
当且仅当4
a
＋1 ＝4
b
＋1，即
a
＝
b
时等号成立．
答案：D
- 1 -

4．设
a
，
b
，
c
∈R，且
a
＋
b
＋
c
＝1，则
a
＋
b
＋
c
的最大值是( )
A．1
C．3
2
＋
B.3
D．9
222222
解析：由柯西不等式得[(
a
)＋(
b
)＋(
c
)](1＋ 1＋1)≥(
a
＋
b
＋
c
)，所以(
a
＋
b
＋
c
)≤3×1＝3.
1
当且仅当
a
＝
b
＝
c
＝时等号成立．
3
所以
a
＋
b
＋
c
的最大值为3.故选B .
答案：B
5．已知
a
1
＋
a
2
＋… ＋
a
n
＝1，
x
1
＋
x
2
＋…＋
x
n
＝1，则
a
1
x
1
＋
a2
x
2
＋…＋
a
n
x
n
的最大值为( )
A．1
C．－1
2
222222
2
B．2
D．不确定
222222
解析：因为(
a
1
x
1
＋
a
2
x
2
＋…＋
a
n
x
n
)≤(
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
)(
x
1
＋
x
2
＋…＋
x
n< br>)＝1×1＝1，
当且仅当
a
i
＝
kx
i
(
i
＝1，2，…，
n
)时等号成立．
所以
a
1
x
1
＋
a
2
x
2
＋…＋
a
n
x
n
的最大值是1.
答案：A
二、填空题
6．( 2015·重庆卷)设
a
，
b
＞0，
a
＋
b
＝5，则
a
＋1＋
b
＋3的最大值为________．
解析： 因为
a
，
b
＞0，
a
＋
b
＝5，所以(< br>a
＋1)＋(
b
＋3)＝9.
令
x
＝
a< br>＋1，
y
＝
b
＋3，则
x
＋
y
＝9 (
x
＞1，
y
＞3)，
于是
a
＋1＋
b
＋3＝
x
＋
y
，而(
x
＋
y
)＝
x
＋
y
＋2
xy
≤
x
＋
y
＋(
x
＋
y
)＝18，
所以
x
＋
y
≤32.
此时
x
＝
y
，即
a
＋1＝
b
＋3，结合
a
＋
b＝5可得
a
＝3.5，
b
＝1.5，
故当
a
＝3.5，
b
＝1.5时，
a
＋1＋
b
＋3的最大值为32 .
答案：32
7．已知
x
，
y
，
z
∈ R，且
x
＋
y
＋
z
＝1，则
x
＋
y
＋
z
的最小值为________．
11
解析：根据柯西不等式 ，
x
2
＋
y
2
＋
z
2
＝(12
＋1
2
＋1
2
)×(
x
2
＋
y
2
＋
z
2
)≥(1·
x
＋1·
y＋1·
z
)
2
33
11
2
＝(
x＋
y
＋
z
)＝，当且仅当
x
＝
y
＝< br>z
时等号成立．
33
1
答案：
3
＋222
2
?
4936
?
8．设
a
，
b
，
c
为正数，则(
a
＋
b
＋
c
)
?
＋＋
?
的最小值为________．
?
abc
?
解析 ：由
a
，
b
，
c
为正数，
- 1 -

?
4936
?
所以(
a
＋
b
＋
c
)
?
＋＋
?

?
abc
?
2
?
?
2
?
2
?
3
?
2
?
6
?
2
?
＝
[
（
a
）＋（
b
）＋（
c
）
]
?
??
＋
??
＋
??
?

??
a
??
b
??
c
??
22
?
a
·
2
＋< br>b
·
3
＋
c
·
6
?
2
≥
??

abc
??
＝121，
当且仅当＝＝＝
k
(
k
＞0)时等号成立．
236
abc
?
4936
?
故(
a
＋
b
＋c
)
?
＋＋
?
的最小值是121.
?
abc
?
答案：121
三、解答题
9．若
a
，
b
，
c
∈R，且满足
a
＋
b
＋
c
＝2.
(1)求
abc
的最大值；
1119
(2)证明：＋＋≥.
abc
2
3
＋
( 1)解：因为
a
，
b
，
c
∈R，所以2＝
a
＋
b
＋
c
≥3
abc
，故
abc
≤28
当且仅当
a
＝
b
＝
c
＝时等号成立，所以
abc
的最大值为.
327
＋
8
.
27
1111
＋
(2)证明：因为
a
，
b
，
c
∈R，且
a
＋
b
＋
c
＝2，所以根据柯西不等式，可得＋ ＋＝(
a
abc
2
11
?
1
?
222＋
b
＋
c
)
?
＋＋
?
＝[(
a
)＋(
b
)＋(
c
)]·
?
?
?
?
abc
?
2
??
?
1
1
??
?
＋
?
a
??
2
1
??
?
＋?
b
??
2
1
?
?
2
c
??
?
?
≥
1
?
?
a
·
2
?
1
a
＋
b
·
1
＋
c
·
1
?
2
b
?
＝.
c
?
2
9
1119
所以＋＋≥.
abc
2
10．已知实数
x
，
y
，
z
满足
x＋2
y
＋
z
＝1，求
t
＝
x
＋4y
＋
z
的最小值．
解：由柯西不等式得
(
x
＋4
y
＋
z
)(1＋1＋1)≥(
x
＋2
y＋
z
).
因为
x
＋2
y
＋
z
＝1，
1
2 22222
所以3(
x
＋4
y
＋
z
)≥1，即x
＋4
y
＋
z
≥.
3
11111
2 22
当且仅当
x
＝2
y
＝
z
＝，即
x＝，
y
＝，
z
＝时等号成立．故
x
＋4
y＋
z
的最小值为.
33633
- 1 -
2222
222

B级 能力提升
1．已知2x
＋3
y
＋4
z
＝10，则
x
＋
y< br>＋
z
取到最小值时的
x
，
y
，
z
的 值为( )
5105
A.，，
396
11
C．1，，
23
B.
203040
，，
292929
222
11
D．1，，
49
xyz
?
?
＝＝，
xyz
20
解析：当且仅当＝＝时，取到最小值，所以联 立
?
234
可得
x
＝，
y
＝
23429< br>?
?
2
x
＋3
y
＋4
z
＝10，< br>3040
，
z
＝.
2929
答案：B
2．已知4
x
＋5
y
＝1，则2
x
＋5
y
的最大值是 ________．
解析：因为2
x
＋5
y
＝2
x
·1＋5
y
·1≤（2
x
）＋（5
y
）·1＋1＝1·2 ＝2，
所以2
x
＋5
y
的最大值为2.
答案：2 3．已知正数
x
，
y
，
z
满足
x
＋< br>y
＋
z
＝1.
(1)求证：
x
2222
2 2
x
2
y
y
＋2
z
＋
2
1
≥；
z
＋2
xx
＋2
y
3
＋
y
2
z
2
(2)求4＋4＋4
z
的最小值．
?
x
＋
y
＋
z
?
·(
y
＋2
z
＋
z
＋2
x
＋
x
＋2
y
)≥
x
·
y
＋2
z
＋(1)证明：
??
?
y＋2
zz
＋2
xx
＋2
y
?
y
＋2< br>z
y
z
＋2
x
·
z
＋2
x
＋
22
222
z
x
＋2
y
·
x
＋ 2
y
＝1，
2
?
x
＋
y
＋
z
?
≥1， 即3
??
?
y
＋2
zz
＋2
xx
＋2
y
?
所以
1
≥.
y
＋2
zz
＋2
xx
＋2
y
3
＋＋
x
2
y
2
z
2
3
xy
22
(2)解：由基本不等式，得4＋4＋4
z< br>≥34
x
＋
y
＋
z
，
因为
x
＋
y
＋
z
＝1，
?
1< br>?
33
所以
x
＋
y
＋
z
＝1－z
＋
z
＝
?
z
－
?
＋≥，
?
2
?
44
22
2
3
故4＋4＋4
z≥3
xy
2
3
4
4
＝32，
11
当 且仅当
x
＝
y
＝，
z
＝时等号成立，
42
- 1 -

所以4＋4＋4
z
的最小值为32.


xy
2
- 1 -