最新人教版高中数学选修4-4综合测试题及答案版

最新人教版高中数学选修 4-4 综合测试题及答案
模块综合测试
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．下列有关坐标系的说法，错误的是( )
A．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆
B．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小
C．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程
D．同一条曲线可以有不同的参数方程
解析： 直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形
状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改
变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，
同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．
答案： C
1 1
2．把函数y＝2sin2x 的图象经过________变化，可以得到函数y＝4sinx 的图象．(
1
A．横坐标缩短为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的 2 倍
B．横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标伸长为原来的 2 倍
1 1
C．横坐标缩短为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的2倍
1
D．横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标缩短为原来的2
解析： 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y
1 1
＝2sin2x 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍可得 y＝2sinx 的图象，再把纵坐标缩短为原来的
1 1
，得到 y＝ sinx 的图象．
2 4
答案： D
3．极坐标方程 ρ＝2sin
π
θ＋ 的图形是(

4
)
)

解析： ∵ρ＝2sin

π π π
θ＋ ＝2sinθ· cos ＋2cosθ· sin ＝ 2(sinθ＋cosθ)，

4

4 4
∴ρ
2
＝ 2ρsinθ＋ 2ρcosθ，
∴x
2
＋y
2
＝ 2x＋ 2y，
∴
x－


2


2
2
＋


2
y－


2
2
＝1，
2


∴圆心
2
.


， 2

2
结合题中四个图形，可知选 C 项．
答案： C
x＝2＋sin θ

4．将参数方程

2
(θ 为参数)化为普通方程为(
2
)
y＝sin θ

A．y＝x－2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
x＝2＋sin θ

解析： 由

2
B．y＝x＋2
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
知 x＝2＋y(2≤x≤3)
2
y＝sin θ

所以 y＝x－2 (2≤x≤3)．
答案： C
5．在极坐标系中，曲线 ρ＝4sin
π
θ－ (ρ∈R )关于(

4

)

π
A．直线 θ＝3成轴对称
3π

B．直线 θ＝ 4 成轴对称
π
C

．点2

， 成中心对称


3
D．极点成中心对称
π
解析： 将原方程变形为 ρ＝4cos

，
2－

3π
即

ρ＝4cosθ－

，该方程表示以
4



π
θ－

4

3π
2，

为圆心，以 2 为半径的圆，所以曲线关于直
4

3π
线 θ＝ 4 成轴对称．
答案： B
π
6．经过点 M(1,5)且倾斜角为3的直线，以定点 M 到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程
是( )

x＝1＋2t

1 1
x＝1－2t
A.

B．



y＝5－
3
2
t

y＝5＋
3
2
t




x＝

1－2t
1
x＝
1
C.


1＋2t
D．
3

y＝5－
2
t
3
y＝5＋


2
t

π
x＝
解析： 根据直线参数方程的定义，易得

1＋t· cos3
，

π
y＝5＋t· sin



.
3
x＝

1＋2t
1
即

3
y＝5＋
2
t
答案： D

x′＝2x
7．x ＋y ＝
2
1 经过伸缩变换

2
，后所得图形的焦距(

y′＝3x
A．4 B．2 13
C．2 5 D．6

)

x
2

y
2

解析： 变换后方程变为：4＋9＝1，
故 c
2
＝a
2
－b
2
＝9－4＝5，c＝ 5，所以焦距为 2 5.
答案： C

8．已知直线

x＝2－tsin30°
(t 为参数)与圆 x
2
＋y
2
＝8 相交于 B、C 两点，则|BC|的值
为( )
A．2

C．7


y＝－1＋tsin30°
7
2
B． 30
D．

30
2

1 2
x＝2－ t＝2－ t′
解析：



(t′为参数)．

x＝2－tsin30°
y＝－1＋tsin30°


2 2
1 2
y＝－1＋ t＝－1＋ t
2 2

代入 x
2
＋y
2
＝8，得 t′
2
－3 2t′－3＝0，
∴|BC|＝|t′
＝ 3 2
|＝
－t′
2 1
t′
2
＋t′
1
2
－4t′
1
t′
2

2
＋4×3＝ 30，故选 B.
答案： B
9．已知 P 点的柱坐标是
π
2， ，1

4
，点 Q 的球面坐标为
π π
1， ， ，根据空间坐标系中

2 4

2
1
2
＋

两点 A(x ，y ，z
1 1
y
1
－y
22
＋z
1
－z
22
，可
)，B(x ，y ，z )之间的距离公式|AB|＝
2 2 2
x －x
1
知 P、Q 之间的距离为(
A. 3

C. 5
)
B． 2

2
D．
2
解析： 首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把 P 点的柱坐标转化为空间直
角坐标( 2， 2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q 点的球坐标转化为空
间直角坐标

2， 2，0，代入两点之间的距离公式即可得到距离为 2.

2

2
答案： B
1
10．如果直线 ρ＝ 与直线 l 关于极轴对称，则直线 l 的极坐标方程是(
cosθ－2sinθ


A．ρ＝
cosθ＋2sinθ
1
C．ρ＝
2cosθ＋sinθ
1
解析： 由 ρ＝ 知 ρcosθ＋2ρsinθ＝1，∴x＋2y＝1.
cosθ＋2sinθ
答案： A
11．圆心在原点，半径为 2 的圆的渐开线的参数方程是(
x＝2cosφ＋φsinφ
，


)
1 1

B．ρ＝
2sinθ－conθ
1

D．ρ＝
2cosθ－sinθ
)

A.

y＝2sinφ－φcosφ
.

(φ 为参数)
x＝4cosθ＋θsinθ
，

B.

y＝4sinθ-
θcosθ.

x＝2φ－sinφ
，

C.

y＝21－cosφ
(φ 为参数)
(θ 为参数)
.

D.
y＝4 1－cosθ.
解 析 ：
x＝2 cosφ＋φsinφ，
y＝2 sinφ－φcosφ. φ为参数 .
答案： A
x＝4 θ－sinθ，
(θ为参数)
圆 心 在 原 点 ， 半 径 为 2 的 圆 的 渐 开 线 的 参 数 方 程 为
12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与 x 轴的正半轴、y 轴
的正半轴分别相切于点 C 、D 的定圆所围成的区域(含边界)，A 、B 、C 、
D 是该圆的四等分点．若点 P (x，y)、点 P ′(x′，y′)满足 x≤x′，且
y≥y′，则称 P 优于 P ′.如果 Ω中的点 Q 满足：不存在 Ω中的其他点
优于 Q ，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧(

)
︵

︵

解析： ∵x≤x′且 y≥y′，
∴点 P (x，y)在点 P ′(x′，y′)的左上方．
∵Ω中不存在优于 Q 的点，
︵

B ．BC
︵

︵
∴点 Q 组成的集合是劣弧AD ，故选 D.
答案： D
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．把正确答案填在题中横线上)

13．对于任意实数，直线 y＝x＋b 与椭圆

值范围是________．
x＝2cosθ x
2
y
2

y＝4sinθ
x＝2cosθ
(0≤θ＜2π恒) 有公共点，则 b 的取
解析： 椭圆 y＝4sinθ 可化为 4 ＋16＝1
把 y＝x＋b 代入得 5x
2
＋2bx＋b
2
－16＝0
Δ＝4b
2
－20(b
2
－16)≥0
解之得：－2 5≤b≤2 5.
答案： [－ 2 5，2 5]
14．直线
y＝tsinα
角 α＝________.
解析： 直线
x＝tcosα， x＝4＋2cosφ，
(t为参数)与圆
y＝2sinφ
(φ为参数)相切，则此直线的倾斜

：y＝x· tanα，圆：(x－4)
2
＋y
2
＝4，
2 1
如图，sinα＝4＝2，
π 5
∴α＝6或6π.
π 5
答案： 6或6π.
x＝t
，

15．已知直线l 的参数方程


y＝1＋2t
(t 为参数)，若以原点O 为极点，x 轴的正半轴为
π
θ＋ .则圆的直角坐标方程为

4

π
θ＋ 即 ρ＝2(sinθ

4

极轴，建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2sin

__________，直线 l 和圆 C 的位置关系为__________(填相交、相切、相离)．
解析： (1)消去参数 t，得直线 l 的普通方程为 y＝2x＋1.ρ＝2 2sin

1)
2
＋(y－1)
2
＝2.
|2－1＋1| 2 5
(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d＝
＝ 5 < 2，
2 ＋1
2 2
＋cosθ)，两边同乘以 ρ 得 ρ
2
＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，消去参数 θ，得⊙C 的直角坐标方程为(x－
所以直线 l 和⊙C 相交．
答案： (x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2；相交

x＝t＋3，
y＝3－t
(参数 t∈R )，圆 C 的 16．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为



参数方程为


x＝2cosθ
(参数 θ∈[0,2π])，则 圆 C 的圆心坐标为______，圆心到直线 l 的距
y＝2sinθ＋2
离为______．
解析： 直线和圆的方程分别是 x＋y－6＝0，x
2
＋(y－2)
2
＝2
2
，所以圆心为(0,2)，其到
|0＋2－6|
＝2 2.
1＋1
答案： (0,2) 2 2
三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12 分)(1)化 ρ＝cosθ－2sinθ.为直角坐标形式并说明曲线的形状；

直线的距离为 d＝

(2)化曲线 F 的直角坐标方程：x
2
＋y
2
－5 x
2
＋y
2
－5x＝0 为极坐标方程．
解析： (1)ρ＝cosθ－2sinθ 两边同乘以 ρ 得
ρ
2
＝ρcosθ－2ρsinθ
∴x
2
＋y
2
＝x－2y
即 x
2
＋y
2
－x＋2y＝0

1

5

即x－

2
＋(y＋1)
2
＝
2

2

2

1 5
表示的是以

，－1为圆心，半径为 的圆．

2

2
(2)由 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ 得
x
2
＋y
2
－5 x
2
＋y
2
－5x＝0 的极坐标方程为：
ρ
2
－5ρ－5ρcosθ＝0.
π
18

．(12 分)在极坐标系中，已知圆 C 的圆心 C3，

，半径为 1.Q 点在圆周上运动，
9

为极点．
(1)求圆 C 的极坐标方程；
OQ 2
(2)

若 P 在直线 OQ 上运动，且满足
QP
＝

，求动点
3
P 的轨迹方程．
解析： (1)设 M(ρ，θ)为圆 C 上任意一点，
π
如图，在△

OCM 中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM＝θ－ ，


6

根据余弦定理，
得 1＝ρ
2
＋9－2·ρ·3·
π

，化简整理，
θ－

cos
6
π
得

ρ
2
－6·ρcosθ－

＋8＝0 为圆 C 的轨迹方程．
6

(2)设 Q(ρ ，
1
θ )，
1

π
则有 ρ
2
－6·ρ θ 6

cos

－ ＋8＝0①
1 1 1
设 P(ρ，θ)，则 OQ∶QP＝ρ ∶(ρ－ρ )
1 1
＝2∶3 ρ
2

O

1
＝5ρ，
2

ρ
又 θ
＝5ρ，
＝θ，即
1

1

θ
4
1
＝θ，
2 π
5π
θ－ ＋50＝0 为 P 点的轨迹方程．

6
代入①得25ρ
2
－6· 5ρcos(θ－6)＋8＝0，
整理得 ρ
2
－15ρcos

x
2

y
2

19．(12 分)如图所示，已知点 M 是椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)上的第一象限的点，A(a,0)
a b
和
B(0，b)是椭圆的两个顶点，O 为原来，求四边形 MAOB 的面积的最大值．
x
2

y
2

解析： 方法一：M 是椭圆
2
＋
2
＝1(a＞b＞0)上在第一象限的点，
a b

x＝acosφ
x
2

y
2

由椭圆
(φ 为参数)，
2
＋
2
＝1 的参数方程为

a b y＝bsinφ
故可设 M(acosφ，bsinφ)，
π
其中 0＜φ＜2，因此，

S

四边形
MAOB
＝S
△
MAO
＋S
△
MOB
1 1
＝ OA·y ＋ OB·x
2 2
M M
1
＝2ab(sinφ＋cosφ)

2
＝
absin
.
2
4
π
φ＋


π 2
所以，当 φ＝4时，四边形 MAOB 面积的最大值为 2 ab.
方法二：设 M(x ，y )，x ＞0，y ＞0，则
M

M M M
y
M

＝b
x
2

1－
a

四边形
MAOB
＝S
△
MAO
＋S
△
MOB
2
，S
M
1 1
＝ OA·y ＋ OB·x
2 2
M

M
1
＝2ab

x
2

1
1－
2
＋ bx
a
M
2
M

1
＝ b( a
2
－x ＋x )
2

2
M M

a
2
－x
2

＋x
2

M M
1
＝ b a
2
－x
2

＋2x
2
1
＝ b a
2
＋2x
2
M

M

a
2
－x
2

M
M
1
≤ b a
2
＋x
2

＋a
2
－x
2

2
M M

2
＝
ab.
2
20．(12 分)如图，自双曲线 x
2
－y
2
＝1 上一动点 Q 引直线 l：x
＋y＝2 的垂线，垂足为 N，求线段 QN 中点 P 的轨迹方程．
解析： 设点 Q 的坐标为(secφ，tanφ)，(φ 为参数)．
∵QN⊥l，
∴可设直线 QN 的方程为 x－y＝λ①
将点 Q 的坐标代入①得：λ＝secφ－tanφ
所以线段 QN 的方程为 x－y＝secφ－tnaφ②
又直线 l 的方程为 x＋y＝2.③
由②③解得点 N 的横坐标 x
2＋secφ－tanφ
N
＝ 2
设线段 QN 中点 P 的坐标为(x，y)，
＋x 2＋3secφ－tanφ
则 x＝ 2 ＝ 4 ，④
N Q
x
4×④－②得
3x＋y－2＝2secφ.⑤
4×④－3×②得
x＋3y－2＝2tanφ.⑥
⑤
2
－⑥
2

化简即得所求的轨迹方程为
2x
2
－2y
2
－2x＋2y－1＝0.

21．(12 分)已知直线 l：x－y＋9＝0 和椭圆 C：
x＝2 3cosθ，

y＝ 3sinθ
(θ 为参数)．



(1)求椭圆 C 的两焦点 F ，F
(2)求以 F ，F
1
1 2
2

的坐标；

为焦点且与直线 l 有公共点 M 的椭圆中长轴最短的椭圆的方程．
x
2

y
2

解析： (1)由椭圆的参数方程消去参数 θ 得椭圆的普通方程为12＋3＝1，
所以 a
2
＝12，b
2
＝3，c
2
＝a
2
－b
2
＝9.
所以 c＝3.故 F (－3,0)，F (3,0)．
1 2
(2)因为 2a＝|MF |＋|MF |，
1 2
1 2
所以只需在直线 l：x－y＋9＝0 上找到点 M 使得|MF |＋|MF |最小即可．
点 F (－3,0)关于直线 l 的对称点是 F ′(－9,6)，
1 1
|MF |＋|MF |＝|MF ′|＋|MF |＝|F ′F |

1 2 1
2
＋
2 1 2
＝ －9－36－0
2
＝6 5，
故 a＝3 5.

又 c＝3，b
2
＝a
2
－c
2
＝36.
x
2

y
2

此时椭圆方程为45＋36＝1.
22．(14 分)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上且长轴长为 4，短轴长为 2，直线 l
x＝t
，

的参数方程为

(t 为参数)．当 m 为何值时，直线 l 被椭圆截得的弦长为 6？
y

＝m＋2t


x＝t，
y
解析： 椭圆方程为 4
2
＋x ＝1，化直线参数方程

为
2

y＝m＋2t
为参数)．
代入椭圆方程得
2 5
2
＋4

5

(m＋ 5 t′)

5 t′
2
＝

4 8t′
2
＋4 5mt′＋5m
2
－20＝0
当 Δ＝80m
2
－160m
2
＋640＝640－80m
2
>0，
即－2 2方程有两不等实根 t′ ，t′ ，
1 2
640－80m
2

则弦长为|t′ －t′ ＋t′
22
－4t′
1
t′
2
＝ 8
1 2
|＝ t′
1


依题意知＝

640－80m
2

4 5
8 ＝ 6，解得 m＝± 5 .



x＝

5
5
t′
2 5
y＝

m＋
5
t′

(t′