2019-2020年高中数学北师大版选修4-5教学案：第一章 §3 平均值不等式(含答案)

2019-2020年高中数学北师大版选修4-5教学案：第一章 §3 平均值不等式(含答案)

[对应学生用书P12]
[自主学习]

1．定理1
对任意实数a，b，有a
2
＋b
2
≥2ab， 当且仅当a＝b时取“＝”号．
2．定理2(两个正数的平均值不等式)
a＋b
对任意两个正数a，b，有≥ab，当且仅当a＝b时取“＝”号．
2
a＋b
我们称为正数a与b的算术平均值，ab为正数a与b的几何平均值；因此定理2
2< br>又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
3．定理3
对任意三 个正数a，b，c，有a
3
＋b
3
＋c
3
≥3abc，当且 仅当a＝b＝c时取“＝”号．
4．定理4(三个正数的平均值不等式)
对任意三个正数a ，b，c，有
a＋b＋c
3
≥abc，当且仅当a＝b＝c时取“＝”号．
3
这个定理可以叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．
5．定理2,4的推广
a
1
＋a
2
＋…＋a
n< br>n
一般地，对n个正数a
1
，a
2
，…，a
n
(n≥2)，数值，a
1
a
2
…a
n
，分别称
n
a
1
＋a
2
＋…＋a
n
n
为这n个正数的 算术平均值与几何平均值．且有：≥ a
1
a
2
…a
n
.
n
当且仅当a
1
＝a
2
＝…＝a
n
时，取 “＝”号，即n个正数的算术平均值不小于它们的几何
平均值．
[合作探究]

1．如何利用求差法证明定理2?
a＋b?a－b?
2
提示：因为－ab＝≥0，
22
a＋b
所以≥ab.
2
2．由定理1与定理2能得到以下结论吗？
ba
(1)＋≥2(a，b同号)；
ab

a＋b
(2)≤ab≤≤
112
＋
a b
2
22
a
2
＋b
2
(a，b∈R
＋)；
2
a＋b
?
2
a＋b
(3)ab≤
?< br>?
2
?
≤
2
(a>0，b>0)．
提示：可以．
3．利用定理2,4求最值需满足什么条件？
提示：“一正二定三相等”．
[对应学生用书P13]

用平均值不等式证明不等式
[例1] (1) 已知a，b，c∈R，求证：a
4
＋b
4
＋c
4
≥a
2
b
2
＋b
2
c
2
＋c
2
a< br>2
；
bcacab
(2)设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
abc
[思路点拨] 本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能
力．解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明．
[精解详析] (1)a
4
＋b
4
≥2a
2
b
2
， 同理a
4
＋c
4
≥2a
2
c
2
，b< br>4
＋c
4
≥2b
2
c
2
，
将以上三个不等式相加得：
a
4
＋b
4
＋a
4< br>＋c
4
＋b
4
＋c
4
≥2a
2
b< br>2
＋2a
2
c
2
＋2b
2
c
2，
即：a
4
＋b
4
＋c
4
≥a
2< br>b
2
＋a
2
c
2
＋b
2
c
2
.
(2)∵当a＞0，b＞0时，a＋b≥2ab，
bcac
∴＋≥2
ab
bcac
·＝2c.
ab
bcab
·＝2b， ac
bcab
同理：＋≥2
ac
acab
＋≥2
bc< br>acab
·＝2a.
bc
将以上三个不等式相加得：
bcacab
?
2
?
?
a
＋
b
＋
c
?
≥2(a＋b＋c)，
bcacab
∴＋＋≥a＋b＋c.
abc

平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明 不等式，
解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点．但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致．

若将本例(1)中a，b，c∈R，变为a，b，c∈R
＋
，
求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.
证明：∵a，b，c为正实数，
∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca.
由上面三式相加可得
(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2ab＋2bc＋2ca，
即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.

1．已知实数a，b，c，d满足a>b>c>d，求证：
1119
＋＋≥.
a－bb－cc－da－d
证明：因为a>b>c>d，
所以a－b>0，b－c>0，c－d>0.
111
所以
?
a－b
＋
b－c
＋
c－d
?
(a－d)
??
1 11
＝
?
a－b
＋
b－c
＋
c－d
?[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]
??
≥3
即
3
3< br>111
··×3?a－b??b－c??c－d?＝9.
a－bb－cc－d
1119
＋＋≥.
a－bb－cc－da－d

利用平均值不等式求最值
19
[例2] (1)已知x>0，y>0，且
＋＝1，求x＋y的最小值．
xy
1
0≤x≤
?
的最大值． (2)求函数y＝x
2
(1－5x)
?
5
??
[思路点拨] 本题考查利用平均值不等式求最值以及利用不等式知识分析、解决问题的
能力．解答此题(1)可灵活使 用“1”的代换或对条件进行必要的变形，再用平均值不等式求得
5
?
2
和的 最小值；而解答题(2)需要将两项积x
2
(1－5x)改变成三项积x·x
－2x< br>?
?
，再对它使用平
2
?
5
均值不等式，即可获得所 求．
19
[精解详析] (1)法一：∵x>0，y>0，
＋＝1，
xy
19
?
y9x
＋
(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16. ∴x＋ y＝
?
?
xy
?
xy

y9x19
当 且仅当＝，又＋＝1，
xyxy
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)
min
＝16.
19
法二：由＋＝1得(x－1)(y－9)＝9(定值)，
xy
可知x>1，y>9，
而x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2?x－1??y－9?＋10
＝16.
所以当且仅当x－1＝y－9＝3，
即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)
min
＝16.
5
2
5
?
2
－2x
?
＝x·
－2x
?
， ( 2)y＝x
2
?
x
?
2
?
5
?
2
?
5
12
∵0≤x≤，∴－2x≥0.
55
2
5
?
x＋x＋
?
－2x
?
?
3
4
?
5
?
?
＝. ∴y≤
?
2675
?
3?
224
当且仅当x＝x＝－2x，即x＝时，y
max
＝.
515675

利用平均值不等式求最值，一般按以下三步进行：
(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；
(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取“－1”
变为同正；
(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通
过函数 单调性或导数解决．
切记利用平均值不等式求最值时的三个条件：“一正二定三相等”必须同时满足， 函数
方可取得最值，否则不可以．


11
2．(新课标全国卷Ⅰ)若a>0，b>0，且＋＝ab.
ab
(1)求a
3
＋b
3
的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
112
解：(1)由ab＝＋≥，
ab
ab

得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立．
故a< br>3
＋b
3
≥2a
3
b
3
≥42，且当a＝b ＝2时等号成立．
所以a
3
＋b
3
的最小值为42.
(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43.
由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
3．已知x∈R
＋
，求函数y＝x
2
·(1－x)的最大值．
解：y＝x
2
(1－x)＝x·x(1－x)
1
＝x·x·(2－2x)×
2
1
x＋x＋2－2x
?< br>3
184
≤
?
2
?
3
?
＝
2
×
27
＝
27
.
2
当且仅当x＝2－2x，即x＝时取等号．
3
此时，y
max
＝
4
.
27

本课时平均值不等式是高考的一个非常重要的考点，在高考和模拟中考查其在求最值方
面的应用，有时 亦以解答题的形式考查其在证明不等式方面的应用，考查学生利用不等式的
性质等知识分析、解决问题的 能力．

[考题印证]
1．(浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( )
24
A.
5
C．5
[命题立意]
本题考查利用平均值不等式求最小值，考查了分析、解决问题的能力．
[自主尝试]
∵x＋3y＝5xy，
13
∴＋＝5，
yx
13
?3x12y
∵x>0，y>0，∴(3x＋4y)
?
?
y
＋x
?
＝
y
＋
x
＋9＋4≥2
∴5(3x＋4y)≥25，
∴3x＋4y≥5，当且仅当x＝2y时取等号．
∴3x＋4y的最小值是5.
[答案] C
3x12y
·＋13＝25，
yx
28
B.
5
D．6

2．(新课标卷Ⅱ)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.
1
证明：(1) ab＋bc＋ca≤；
3
a
2
b
2
c
2
(2) ＋＋≥1.
bca
[命题立意]
本题主要考查重要不等式、均值不等式的应用以及整体代换的思 想、考查考生转化与化
归思想和逻辑思维能力．
[自主尝试]
(1)由a
2
＋b
2
≥2ab，b
2
＋c
2
≥2bc，c2
＋a
2
≥2ca，
得a
2
＋b
2
＋c
2
≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)
2
＝1，
即a
2
＋b
2
＋c
2
＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
1
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤，
3
当且仅当“a＝b＝c”时等号成立．
a
2
b
2
c
2
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
bca
当且仅当 “a
2
＝b
2
＝c
2
”时等号成立．
a
2
b
2
c
2
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即
bca
a
2
b
2
c
2
＋＋≥a＋b＋c.
bca
a
2
b
2
c
2
所以＋＋≥1.
bca

[对应学生用书P15]
一、选择题
1．设0＜a＜b，a＋b＝1，则下列不等式正确的是( )
A．b＜2ab＜ a
2
＋b
2
＜a
2
＋b
2

a
2
＋b
2

a
2
＋b
2

B．2ab＜b＜a
2
＋b
2
＜
C．2ab＜a
2
＋b
2
＜b＜
D．2ab＜a
2
＋b
2
＜ a
2
＋b
2
＜b
解析：∵0＜a＜b，且a＋b＝1，
∴0＜a＜b＜1，
∴a
2
＋b
2
＞2ab，b＞a2
＋b
2
，且 a
2
＋b
2
＞b.

故2ab＜a
2
＋b
2
＜b＜
答案：C
a
2
＋b
2
.
2．设a，b，c∈R
＋
，则“abc＝1”是“
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要的条件
解析：当a＝b＝c＝2时，有< br>当abc＝1时，
111
＋＋≤a＋b＋c”的( )
abc
11 1
＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立；
abc
bc＋ac＋ab< br>111
＋＋＝＝bc＋ac＋ab，a＋b＋c＝
abcabc
?a＋b?＋? b＋c?＋?a＋c?
111
≥ab＋bc＋ac，所以充分性成立，故“abc＝1”是“＋ ＋
2
abc
≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
答案：A
3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3
9
C.
2
解析：∵2xy＝x·(2y)≤
?
x＋2 y
?
2
?
2
?
，
x＋2y
?
2
?
2
?
，
B．4
11
D.
2
∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋
?
即( x＋2y)
2
＋4(x＋2y)－32≥0.
又x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4.
当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.
答案：B
π
1p
0，
?
，不等式
2
＋
2
≥16恒成立，则正 数p的取值范围为( ) 4．对于x∈
?
?
2
?
sinxcos x
A．(－∞，－9]
C．(－∞，9]
解析：令t＝sin
2
x，则cos
2
x＝1－t.
π
0，
?
，∴t∈(0,1)． 又x∈
?
?
2< br>?
不等式
1
?
1p
?
2
＋
2
≥16可化为p≥
16－
(1－t)，
t
??
sinxcosx
B．(－9,9]
D．[9，＋∞)

1
16－
?
(1－t) 而y＝
?
t
??
1
?
＝17－
?
?
t
＋16t
?< br>≤17－2
1
·16t＝9，
t
11
当＝16t，即t＝时取等号，
t4
因此原不等式恒成立，只需p≥9.
答案：D
二、填空题
11
x＋
?
2
＋
?
y＋
?
2
的最 小值是________． 5．若x，y是正数，则
?
?
2y
??
2x
?
解析：原式＝x
2
＋
∵x＞0，y＞0，
11
∴原式≥2·＋2·＋2＝4，
22
当且仅当x＝y＝
答案：4
abc
??
bca
?
6．已知a，b∈R
＋
，则
?
?
b
＋
c
＋
a
??
a
＋
b
＋
c
?
≥________.
abc
??
bca
?
解析：
?< br>?
b
＋
c
＋
a
??
a
＋
b
＋
c
?

bcacaba
2
b
2
c
2
＝3＋
2
＋
2
＋
2
＋＋＋
abcbccaab
6
bcacaba
2
b
2
c
2
≥3＋6 ·····＝9.
a
2
b
2
c
2
bccaab
答案：9 < br>a＋1c＋1
7．已知二次函数f(x)＝ax
2
＋2x＋c(x∈R)的值域 为[0，＋∞)，则＋的最小值为
ca
________．
解析：∵f(x)＝ax
2
＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，
11
∴a>0.∴c－＝0.∴c＝.
aa
∴
a＋1c＋1
2
11
＋＝a＋a＋
2
＋≥2
caaa
1
a2
·
2
＋2
a
1
a·＝4，
a
2
时，等号成立．
2
11xy
2
2
＋y＋
2
＋＋.
4x4yyx
1
当且仅当a＝，即a＝1时取等号．
a
答案：4

11
x＋
??
y＋
?
的最小值为_____ ___． 8．x，y>0，x＋y＝1，则
?
?
x
??
y
?
11
1yx
x＋
??
y＋
?
＝xy＋＋＋， 解 析：
?
?
x
??
y
?
xyxy
11
因为x，y>0，且x＋y＝1?xy≤.(当且仅当x＝y＝时取等号)
42
11
以xy为整体，xy＋在(0，]上单调递减，
xy4
1
1171
xy＋
?
min
＝，当且仅当x＝y＝时取得， 故xy＝ ，
?
xy
?
4
?
42
yx
对＋≥2
xy
yx1
·＝2，当且仅当x＝y＝时取得，
xy2
11
25
x＋
??
y＋
?
的最小值为. 故
?
?
x
??
y
?
4
25
答案：
4
三、解答题
9．设a，b，x，y∈R，且有a
2
＋b
2
＝3，x
2
＋y
2
＝6，求ax＋by的最大值．
解： ∵a
2
y
2
＋b
2
x
2
≥2aybx，
∴(a
2
＋b
2
)(x
2
＋y
2
)≥(ax＋by)
2
，
当且仅当ay＝bx时取等号．
∴ax＋by≤3×6＝32，
当且仅当ax＝by且a
2
＋b
2
＝3且x
2
＋y
2
＝6时，等号成立．
10．(江苏高考)已知x>0，y>0，
证明：(1＋x＋y
2
)(1＋x
2
＋y)≥9xy.
解：因为x>0，y>0，
3
所以1＋x＋y
2
≥3xy
2
>0，
3
1＋x
2
＋y≥3x
2
y>0，
33
故(1＋x＋y
2
)(1＋x
2
＋y)≥3xy
2
·3x< br>2
y＝9xy.
ab
11．x，y，a，b均为正实数，x，y为变数，a， b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋
xy
y的最小值为18，求a，b.
ab
解：∵x＋y>0，a>0，b>0且＋＝1，
xy
ab
?
bxay
＋
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2 ∴x＋ y＝(x＋y)
?
?
xy
?
yx
bxay
·＝a＋ b＋2ab＝(a＋b)
2
.
yx

bxay
当且仅当＝时取等号，
yx
此时(x＋y)
min
＝(a＋b)
2
＝18.
即a＋b＋2ab＝18.
又a＋b＝10，
?
a＋b＋2ab＝18，
联立
?

?
a＋b＝10，

解得
?
?
?
a＝2，
?
?
b＝8
或
?
?
?
a＝8，
?
?
b＝2.