高中数学人教版选修4-4测试题带答案

高中数学人教版选修4-4经典测试题
班级： 姓名：

一、选择题（5*12=60）
1．直线
?
C、在直线y=x-1上 D、在直线y=x+1上
0
?
?
x?tsin50?1
8．直线的 参数方程为
?
(t为参数)，则直线的倾斜角为( )
0
?
?
y??tcos50
?
x?3?t
，（< br>t
为参数)上与点
P(3,4)
的距离等于
2
的点的坐标是（ ）
?
y?4?t
A．
40
0
B．
50
0
C．
140
0
D．
130
0

9．曲线的极坐标方程
?
?4sin
?
化为直角坐标为（ ）
2222
A.
x?(y?2)?4
B.
x?(y?2)?4

A．
(4,3)
B．
(?4,5)
或
(0,1)

C．
(2,5)
D．
(4,3)
或
(2,5)

2．圆
?
?
A．
?
1,
2222
C.
(x?2)?y?4
D.
(x?2)?y?4

2(cos
?
?sin
?
)
的圆心坐标是
??
?
?
??
1
?
?
?
?
?< br>?
?
B．
?
,
?
C．
?
2,
?
D．
?
2,
?

4
?
?
4
??< br>24
??
4
?
?
?
x?3t
2
?2
10．曲线的参数方程为
?
(t是参数)，则曲线是（ ）
2
?
y?t?1
A、线段 B、直线 C、圆 D、射线 11．在极坐标系中，定点
A
?
1,
动点
B
的极坐标是
A．
(
3．
?
?
?
4
(
?
?0)
表示的图形是（ ）
?
π
?
?
，动点B
在直线
?
cos
?
?
?
sin
?< br>?0
上运动，当线段
AB
最短时，
?
2
?
A ．一条射线 B．一条直线 C．一条线段 D．圆
?
x?2?t
4．已知直线
?
(t
为参数）与曲线
C
：
?
2< br>?4
?
cos
?
?3?0
交于
A,B
两点， 则
AB?
（ ）
?
y?1?t
2
1
A．
1
B． C． D．
2

2
2
5．若直线的参数方程为
?
A．
2π23π3π33π
,)
B．
(,)
C．
(,)
D．
(,)

24242424
12．在平面直角坐标系
xOy
中，圆
C
的参数方程为
?
?
x?a?cos
?
（
?
为参数）.以坐标原点为极点，
?
y?sin
?
?
x?1?2t
．
(t为参数)
，则直线的斜率为（ ）
?
y?2?3t
?
2
x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线
l
的极坐标方程为
?
sin(
?
?)?
.若直线
l
与圆
C
相< br>42
切，则实数
a
的取值个数为（ ）
A .0 B.1 C.2 D.3


二、填空题（5*4=20）
13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线
?
cos(
?
?
2233
B．
?
C． D．
?

33 22
6．已知过曲线
?
?
x?3cos
?
?
??
为参数
，
0?
?
?
?
?
上一点P， 原点为O，直线PO的倾斜角为，则P
4
?
y?4sin
?
?
32
?
1212
?
?
C、 （-3，-4） D、
?
，
?

，
22
?
?
2?
?
55
?
??
点坐标是（ ）
A、（3，4） B、
?
?
4
)?2
与圆
?
?2
的公共点个数是
________；
14．在极坐标系中，点
A(2,)
关于直线
l:
?
cos
?
?1
的对称点 的一个极坐标为_____.
22
7．曲线
?
?
x??1?cos
?
(
?
为参数）的对称中心（ ）
y?2?sin
?< br>?
?
2
15．已知圆M：x+y-2x-4y+1=0，则圆心M到直线
?
A、在直线y=2x上 B、在直线y=-2x上
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?
x?4t?3,
（t为参数）的距离为 ．
y?3t?1,< br>?

?
x?2?2cos
?
16．（选修4-4：坐标系 与参数方程）曲线
C:
?
(
?
?R)
，极坐标系（与直角坐 标系xOy取
y?2sin
?
?
相同的单位长度，以原点O为极点，x轴正半 轴为极轴）中，直线
?
?
长为 ．

三、解答题
?
6
(
?
?R)
被曲线C截得的线段
?
x?m?tcos
?
轴为极轴，曲线
C
1
的极坐 标方程为
?
?4cos
?
，曲线
C
2
的参数方程为
?
（
t
为参数，
y?tsin
?
?
，射线
?
?
?
,
?
?
?
?
0?
?
?
?
）
?
4
,
?
?
?
?
?
4
与曲线
C
1
交于（不包括极点O）三点
A, B,C

（1）求证：
OB?OC?2OA
；
（2）当
?
?
?
2
x?t
?
?
2
17．（本小题满分 10分）已知在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程是
?< br>（
t
是
?
y?
2
t?42
?
2?
参数），以原点
O
为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线
C
的极坐标方程
?
?2cos(
?
?
（Ⅰ）判 断直线
l
与曲线
C
的位置关系；
（Ⅱ）设
M
为曲 线
C
上任意一点，求
x?y
的取值范围．
18．（本小题满分12 分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
1
的极坐标方程为ρsin（θ＋
?
12
时，B，C两点在曲线
C
2< br>上，求
m
与
?
的值
?
4

)．
?
2
t
?
x?3?
?
2
（为参数） 22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系
x?y
中，直线
l
的参数方程 为
?
．在
t
?
y?5?
2
t
?
? 2
以原点
?
为极点，
x
轴正半轴为极轴的极坐标中，圆
C< br>的方程为
?
?25sin
?
．
（1）写出直线
l
的普通方程和圆
C
的直角坐标方程；
（ 2）若点
?
坐标为
3,5
，圆
C
与直线
l
交于
?
，
?
两点，求
?????
的值．
?
x??1?cos
?
2
?
）＝a，曲线C
2
的参数方程为
?
（φ为参数，
2
4
?
y??1?sin
???
0≤φ≤π）．
（1）求C
1
的直角坐标方程；
（2）当C
1
与C
2
有两个不同公共点时，求实数a的取值范围．
?
x?2?t
x
2
y
2
??1
，直线l:
?
19．（本小题满分12分）已知曲线
C:
（t为参数）． 49
?
y?2?2t
（1）写出曲线C的参数方程，直线
l
的普 通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与
l
夹角为30°的直线，交
l< br>于点A，求|PA|的最大值与最小值．
20．（本小题满分12分）在直角坐标系
x Oy
中，直线
C
1
的参数方程为
?
?
x?1?t< br>，以该直
(t
为参数）
?
y?2?t
角坐标系的原点
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆
C
2
的方 程为
?
??2cos
?
?23sin
?
．
（Ⅰ） 求直线
C
1
的普通方程和圆
C
2
的圆心的极坐标；
（Ⅱ）设直线
C
1
和圆
C
2
的交点为
A
、
B
，求弦
AB
的长．
21．（本小题满分12分）极坐标系与直 角坐标系
xoy
有相同的长度单位，以原点为极点，以
x
轴正半
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参考答案
1．D
【解析】
试题分析： 设直线
?
?
x?3?t
，（
t
为参数)上与点
P (3,4)
的距离等于
2
的点的坐标是
?
y?4?t
(3? t,4?t)
，则有
(3?t?3)
2
?(4?t?4)
2
?2
即
t
2
?1?t??1
，所以所求点的坐标为
(4, 3)
或
(2,5)
．
故选D．
考点：两点间的距离公式及直线的参数方程．
2．A
【解析】
试题分析 ：
?
?2(cos
?
?sin
?
)?
?
2
?2
?
(cos
?
?sin
?
)?x
2< br>?y
2
?2x?2y

?
22
?
?
?
?
?x
2
?y
2
?2x?2y?0
，圆心为?
，化为极坐标为
,
?
1,
?

?
2 2
?
?
?
4
?
??
考点：1．直角坐标与极坐标的 转化；2．圆的方程
3．A
【解析】
试题分析：
?
?
?
4
，表示一和三象限的角平分线
y?x
，
?
?0
表示第三象限的角平分
线．
y?x,x?0

考点：极坐标与直角坐标的互化
4．D
【解析】
试题分析：将直线化为普通方程为
x?y?1?0
,将曲线
C
化为直角坐标方程为
x
2
?y
2
?4 x?3?0
,即
?
x?2
?
?y
2
?1
, 所以曲线
C
为以
?
2,0
?
为圆心,半径
r?1< br>的圆．
圆心
?
2,0
?
到直线
x?y?1?0的距离
d?
2
2
2?0?1
1
2
?
?
?1
?
2
?
2
．
2
?AB?
2 2
根据
d?
??
?r
,解得
AB?2
．故D正确．
?
2
?
考点：1参数方程,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2直线与圆 的相交弦．
5．B
【解析】
试题分析：由直线的参数方程知直线过定点（1,2 ），取t=1得直线过（3，-1），由斜率公式
答案第1页，总8页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2
得直线的斜率为
3
，选B
?
考点：直线的参数方程与直线的斜率公式．
6．D
【解析】
试题分析：直线PO的倾斜角为
?
，则可设
P(x
0
,y
0
)
，
4
?
x?3cos
?
x
2
y
2
?1

?
?
为参数
，
0?
?< br>?
?
?
??
?
916
?
y?4sin
?

代入点P可求得结果，选B。
考点：椭圆的参数方程
7．B
【解析】
试题分析：由题可知：
?
?
x?1?cos
?< br>?(x?1)
2
?(y?2)
2
?1
，故参数方程是一个圆心 为
?
y?2?sin
?
（-1,2）半径为1的圆，所以对称中心为圆心（- 1,2），即（-1,2）只满足直线y=-2x的方
程。
考点：圆的参数方程
8．C
【解析】
0
?
?
x?tsin50?1
试题分析：由参数方程为
?
消去
t
可得
x?1?ytan50??0
，即
0
?
?
y??tcos50
所以直线的倾斜角
?
满足
tan
?
??cot50??tan140?
，所以
?
?140?
.
y??xcot50??1
，
故选C.
考点：参数方程的应用；直线倾斜角的求法.
9．B.
【解析】
试题分 析：∵
?
?4sin
?
，∴
?
?4
?
si n
?
，又∵
?
?x?y
，
y?
?
sin< br>?
，∴
2222
x
2
?y
2
?4y
，即
x
2
?(y?2)
2
?4
.
考点：圆的参数方程与普通方程的互化.
10．D
【解析】
试题分析： 消去参数t，得
x?3y?5
?
x?2
?
,故是一条射线，故选D.
考点：参数方程与普通方程的互化
11．B
【解析】
答案第2页，总8页

试题分析：
A
的直角坐标为
?
0,1
?
，线段
AB
最短即
AB
与直线
x?y?0
垂直，设
B
的直角
坐标为
?
a,?a< br>?
，则
AB
斜率为
?a?11
?
11
??1
，
a??
，所以
B
的直角坐标为
?
?,< br>?
，极
a2
?
22
?
坐标为
(
23 π
,)
.故选B.
24
考点：极坐标.
12．C
【解析】
试题分析：圆
C
的普通方程为
(x?a)?y?1
，直线
l
的直角坐标方程为
x?y?1?0
，因
22
为直 线
l
与圆
C
相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即
故选C
.
考点：1.极坐标与参数方程；2.直线与圆的位置关系.
13．
1

【解析】
试题分析：直线
?
cos(
?
?
|a?0?1|
?1,a??1?2
，
2
?< br>4
)?2
平面直角坐标方程为
x?y?2?0
，圆
?
?2
的平面
22
直角坐标方程为
x?y?2
，此时圆心
(0 ,0)
到直线
x?y?2
的距离
d?
0?0?2
1?1?2
，
等于圆的半径，所以直线与圆的公共点的个数为
1
个．
考点：曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的转换，圆与直角的位置关系．
14．
(22,)
（或其它等价写法）
【解析】
试题分析：转化 为直角坐标，则
A
?
0,2
?
关于直线
l:x?1
的对称点的对称点为
?
2,2
?
，再转
化为极坐标为
(22 ,)
.
考点：1. 极坐标；2.点关于直线对称.
15．2
【解析】
试题分析：由于圆M的标准方程为：
(x?1)?(y?2)?4
，所以圆心
M(1,2)
，
22
?
4
?
4
?
x?4 t?3,
又因为直线
?
（t为参数）消去参数
t
得普通方程为
3x?4y?5?0
，
y?3t?1,
?
由点到直线的距离公式得所求距 离
d?
3?1?4?2?5
3?4
22
?2
；
答案第3页，总8页

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故答案为：2．
考点：1．化圆的方程为标准方程；2．直线的参数方程化为普通方程；3．点到直线的距离
公 式．
16．
23

【解析】
?
x?2?2cos
?
22
试题分析：将曲线
C:
?
(
?
?R)化为普通方程得
(x?2)?y?4
知：曲线C是
?
y?2sin
?
以（2，0）为圆心，2为半径的圆；
再化直线的极坐标方程
?
??
6
(
?
?R)
为直角坐标方程得
3x?3y?0，
所以圆心到直线的距离为
d?
3?2?3?0
(3)?3
2 2
?1
；
故求弦长为
22?1?23
.
所以答案为：
23
.
考点：坐标系与参数方程.
17．（Ⅰ）直 线
l
与曲线
C
的位置关系为相离．（Ⅱ）
?
?2,2
?
．
22
??
【解析】
试题分析：（Ⅰ）转化成直线
l
的普通方程,曲线
C
的直角坐标系 下的方程,即研究直线与圆
的位置关系，由“几何法”得出结论．
（Ⅱ）根据圆的参数方程， 设
M(
22
?cos
?
,??sin
?
)
，转化成三角函数问题．
22
试题解析：（Ⅰ）直线
l
的普通方程为x?y?42?0
,曲线
C
的直角坐标系下的方程为
(x?
2< br>2
2
2
22
)?(y?)?1
,圆心
(,?)
到直线
x?y?42?0
的距离为
2222
d?
52
2< br>?5?1

所以直线
l
与曲线
C
的位置关系为相离．
（Ⅱ）设
M(
22
?cos
?
,??sin
?)
22
，则
?
x?y?cos
?
?sin
?< br>?2sin(
?
?)?
?
?2,2
?
??
．
4
考点：1．简单曲线的极坐标方程、参数方程；2．直线与圆的位置关系；3．三角函数的图
象和性质．
18．（1）
x?y?a?0
；（2）
-1?a??2?2
．
答案第4页，总8页

【解析】
试题分析：（1）首先根 据两角和的正弦公式展开，然后根据直角坐标与极坐标的互化公式
?
x?
?
c os
?
，进行化简，求直角坐标方程；（2）消参得到圆的普通方程，并注意参数的取
?
?
y?
?
sin
?
值方范围，取得得到的是半圆，当半圆 与直线有两个不同交点时，可以采用数形结合的思想
确定参数的范围．
x?y?a?0
表示斜率为
-1
的一组平行线，与半圆有两个不同交点的问
题．
试题解析：（1）将曲线C
1
的极坐标方程变形，
ρ（
222
sinθ＋cosθ）＝a，
222
即ρcosθ＋ρsinθ＝a，
∴曲线C
1
的直角坐标方程为x＋y－a＝0．
22
（2）曲线C
2
的直角坐标方程为（x＋1）＋（y＋1）＝1（－1≤y≤0），为半圆弧，
如图所示，曲线C
1
为一组平行于直线x＋y＝0的直线

当直线 C
1
与C
2
相切时，由
-1-1-a
2
?1
得
a??2?2
，
舍去a＝－2－
2
，得a＝－2＋
2
，
当直线C
1
过A（0，－1）、B（－1,0）两点时，a＝－1．
∴由图 可知，当－1≤a<－2＋
2
时，曲线C
1
与曲线C
2
有两 个公共点．
考点：1．极坐标与直角坐标的互化；2．参数方程与普通方程的互化；3．数形结合求参 数
的范围．
?
x?2cos
?
,
19．（1）
?
（θ为参数），
2x?y?6?0

y?3sin
?
?（2）最大值为
225
25
，最小值为．
5
5
答案第5页，总8页

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【解析】
试题分析：第一问根据椭圆的参数方程的形式，将参数方程写出，关于直线由参数方程向普
通方程转化 ，消参即可，第二问根据线段的长度关系，将问题转化为曲线上的点到直线的距
离来求解．
试 题解析：（1）曲线C的参数方程为
?
?
x?2cos
?
,
（θ为参数）．直线
l
的普通方程为
y?3sin
?
?
2x ?y?6?0
．
（2）曲线C上任意一点
P(2cos
?
,3si n
?
)
到
l
的距离为
d?
5
4cos?
?3sin
?
?6
，
5
则
PA?
d25
4
?|5sin(
?
?
?
)?6|
，其中< br>?
为锐角，且
tan
?
?
．
sin30?5
3
225
．
5
当
sin(
?
?
?
)??1
时，|PA|取得最大值，最大值为
当
s in(
?
?
?
)?1
时，|PA|取得最小值，最小值为
2 5
．
5
考点：椭圆的参数方程，直线的参数方程与普通方程的转换，距离的最值的求解．
20．（Ⅰ）
C
1
的普通方程为
x?y?1?0
，圆心
【解 析】
试题分析：（Ⅰ）消去参数即可将
C
1
的参数方程化为普通方程，在直 角坐标系下求出圆心的
坐标，化为极坐标即可；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.
试题解析：（Ⅰ）由
C
1
的参数方程消去参数
t
得普通方程 为
x?y?1?0
2分
22
(x?1)?(y?3)?4
, 4分
C
2
圆的直角坐标方程
?
；（Ⅱ）
10
.
2
所以圆心的直角坐标为
(?1,3)
，因此圆心的一个极坐标为
(答案不 唯一，只要符合要求就给分)
(2,
2
?
)
3
. 6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心
(?1,3)
到直线
x?y?1?0
的 距离
分
d?
?1?3?1
2
?
6
2
, 8
AB?24?
所以
6
?10
4
. 10分
考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化.
答案第6页，总8页

21．（1）见解析（2）
m?2,

?
?
【解析】
试题分析：（1）
2
?

3
利用极坐标方程
??4cos
?
可得
?
?
?
???
OA?4co s
?
,OB?4cos
?
?
?
?
,OC?4cos
?
?
?
?

4
?
4
???
计算可得
OB?OC?2OA
；（2）将 B，C两点极坐标化为直角坐标，又因为经过点< br>B,C的直线方程为
y??3
?
x?2
?
可求
m与
?
的值

试题解析：（1）依题意
OA?4cos
?
,OB?4cos
?
?
?
?
?
?
?< br>?
??
?
,OC?4cos
?
?
?
?
则
4
?
4
??
?
?
?
?
?< br>?
OB?OC?4cos
?
?
?
?
+4cos
?
?
?
?

4
?
4
?
?
?
=
22
?
cos
?
? sin
?
?
+
22
?
cos
?
?sin< br>?
?
=
42cos
?
=
2OA

（2）当
?
?
?
12
时，B,C两点的极坐标分别为
?
2,
?
?
?
??
?
?
,23,????

3
??
6
?
化为直角坐标为B
1,3
，C
3,?3

C
2
是经过点
?
m,0
?
且倾斜角为
?
的直线，又因为经
过点B,C的直线方程为
y??3
?
x?2
?

所以
m?2,

?
?
????
2
?

3
考点：极坐标的意义，极坐标与直角坐标的互化
22．（1）直线
l的普通方程为
x?y?3?5?0
；
【解析】
试题分析：（1）首先联 立直线
l
的参数方程并消去参数
t
即可得到其普通方程，然后运用极
坐标与直角坐标
转化公式将圆
C
转化为直角坐标方程即可；（2）首先将直线
l
的参数方程直接代入圆
C
的直
角坐标方程，
t
1?t
2
?32
并整理得到关于参数
t
的一元二次方程，由韦达定 理可得
t
1
t
2
?4
，最后根据直线的参数
x?y ?5
2
??
2
?5
（2）
32
．
；
?
方程的几何
意义即可求出所求的值．
答案第7页，总8页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2
??
x?3?
2
t
试题解析：（1）由
?
2
y? 5?t
?
?
2
得直线
l
的普通方程为
x?y?3? 5?0

又由
?
?25sin
?
得圆C的直角坐标方程为< br>x
2
?y
2
?25y?0
，
2
x?y?5< br>即
??
2
?5
．
?
2
??
2< br>?
（2）把直线
l
的参数方程代入圆
C
的直角坐标方程，得< br>?
3?t
?
??
?
?
?
2
t
?
?
?5
，即
2
????
22
t
2?32t?4?0

由于
??32
??
2
t
1
?t
2
?32
又
?4?4?2?0
，故可设
t1
,t
2
是上述方程的两实数根，所以
t
1
t
2
?4
?
直线
l
过点
P
?
3,5
?
，
A,B
两点对应的参数分别为
t
1
,t
2，所以
PA?PB?t
1
?t
2
?t
1
?t< br>2
?32
．
考点：1、参数方程；2、极坐标系；3、直角坐标与极坐标系 之间的转化；4、参数方程与普
通方程之间的转化；
答案第8页，总8页