福建高中数学必修一教材-高中数学课堂教学观后感
5.3.4 放缩法
自我小测
1111
1设
M
＝＋＋＋…＋，则
M
______1. <
br>210210＋1210＋2211－1
33
2用反证法证明“如果
A
＞
b
，那么a＞b”的假设内容应是________．
3设|
a
|＜1，则
P
＝|
a
＋
b
|－|
a
－b
|与2的大小关系是____________．
4lg9lg11与1的大小关系是________．
5某同学准备用反证法证明如下一个
问题：函数
f
(
x
)在[0,1]上有意义，且
f
(0)＝
f
(1)，
1
如果对于不同的
x
1
，
x<
br>2
∈[0,1]，都有|
f
(
x
1
)－
f<
br>(
x
2
)|＜|
x
1
－
x
2
|，求证：|
f
(
x
1
)－
f
(
x2
)|＜.那
2
么它的假设应该是________．
6设
a
、
b
∈R,0≤
x
，
y
≤1，求证：对于任意实数
a
、
b
必存在满足条件的
x
，
y
，使|<
br>xy
－
ax
1
－
by
|≥成立．
3
x＋yxy
7设
x
＞0，
y
＞0，
A
＝，
B
＝＋，则
A
与
B
的大小关系为________．
1
＋x＋y1＋x1＋y
8设
a
、
b
、
c
均为正数，
P
＝
a
＋
b
－
c
，
Q
＝
b
＋
c
－
a
，
R
＝
c
＋
a
－
b
，则“
PQR
＞0”是“
P
、Q
、
R
同时大于零”的________条件．
9
A
＝1＋
1
2
＋
11
＋…＋与n(
n
∈N
＋
)的大小关系是________．
3n
10若|
a
|＜1，|<
br>b
|＜1，求证：
?
?
a＋b
?
＜1.
?
?
1＋ab
?
1111
11求证：1＋＋＋＋…＋＜3.
11×21×2×31×2×3×…×n
参考答案
1
1010
1．＜ 解析：分母全换成2，共2个.
210
3333
2．假设a＝b或a＜b
3．
P
＜2 解
析：
P
＝|
a
＋
b
|－|
a
－
b
|≤|(
a
＋
b
)－(
b
－
a
)
|＝2|
a
|＜2.
4．lg9 lg11＜1
解析：lg9lg11＜
∴lg9 lg11＜1.
1
5．假设|
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)|≥
2
lg9＋lg11lg99lg100
＝＜＝1，
222
16．证明：假设对一切0≤
x
，
y
≤1，结论不成立，则有|
x
y
－
ax
－
by
|＜，令
x
＝0，
y＝1，
3
111
有|
b
|＜；令
x
＝1，y
＝0，有|
a
|＜；令
x
＝
y
＝1，得|1
－
a
－
b
|＜.又|1－
a
－
b
|≥1－
|
a
|－
333
1111
|
b
|＞1－－＝，与|
1－
a
－
b
|＜相矛盾，∴假设不成立，原不等式成立．
3333
xyxy
7．
A
＜
B
解析：
A
＝＋＜＋＝
B
.
1＋x＋y1＋x＋y1＋x1＋y
8．充要 解析：必要性是显然成
立的；当
PQR
＞0时，若
P
，
Q
，
R
不
同时大于0，则其中
两个为负，一个为正，不妨设
P
＞0，
Q
＜0，
R
＜0，则
Q
＋
R
＝2
c
＜0，这与c
＞0矛盾，即充分
性也成立．
9．
A
≥n解析：
A
＝
1
1
＋
1
2
＋
1
3
＋
…＋
111
???
nnn
n项
?
n
1
＝＝
n.
n
n
10．证明：假设
?
22
?
a＋b?
≥1，则|
a
＋
b
|≥|1＋
ab
|， <
br>?
?
1＋ab
?
22
∴
a
＋
b＋2
ab
≥1＋2
ab
＋
ab
，
即
a
＋
b
－
ab
－1≥0，
∴
a
－1－
b
(
a
－1)≥0，
即(
a
－1)(1－
b
)≥0，
?
?
a
2－1≥0，
∴
?
?
1－b2≥0，
?
?
?
a2≥1，
∴
?
?
b2≤1，
?
22
2222222
?
?
a2－1≤0，
或
?
?
1－b2≤0，
?
?
?
a2≤1，
或
?
?
b2≥1.
?
与已知矛盾．
∴
?
?
a＋b
?
＜1.
?
?
1
＋ab
?
111
11．证明：由＜＝(
k
是大于2的自然数)． <
br>1×2×3×…×k1×2×2×…×22k－1
11111111
得1
＋＋＋＋…＋＜1＋1＋＋＋＋…＋＝1＋
11×21×2×31×2×3×…×n222232n－1
1
1－
2n
1
＝3－＜3.
12n－1
1－
2
∴原不等式成立．