最新北师大版高中数学选修4-4测试题全套及答案

最新北师大版高中数学选修4-4测试题全套及答案
第一讲

一 、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，
只有一项是符合题 目要求的)．
1．原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( )
π
4，
?
A．
?
?
3
?
2π
－4，－
?
C．
?
3
??
解析： 由直角坐标与极坐标互化公式：
y
ρ
2
＝x
2
＋y
2
，tan θ＝(x≠0)．
x
把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝3，
4π
因为点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝.
3
答案： B 2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C
π
的极 坐标方程；②tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在
4
这三个结论中正确的是( )
A．①③
C．②③
B．①
D．③
4π
4，
?
B．
?
3
??
2π
4，
?
D．
?
3
??
解析： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方 程，但在极坐标系内，
曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，故①是错误的；
π5π
tan θ＝1不仅表示θ＝这条射线，还表示θ＝这条射线，故②亦不对；ρ＝3与ρ ＝－
44
3差别仅在于方向不同，但都表示一个半径为3的圆，故③正确．
答案： D
x
2
y
2
3．可以将椭圆＋＝1变为圆x
2
＋ y
2
＝4的伸缩变换( )
108
?
5x′＝2x
A．
?

?
2y′＝y
?
2x′＝x
C．
?

?
5y′＝2x

B．
?
?
2x′＝5x

?
y′＝2y

?
5x′＝2x
D．
?

?
2y′＝y

x
2
y
2
2x
2
y
2
解析： 方法一：将椭圆方程＋＝1化为＋＝4， < br>10852
?
2x
?
2
?
y
?
2< br>∴
?
＝4，
?
＋
?
5
?
?
2
?
2
x′＝x，
?
?
5
令
?
y
y′＝，
?
?
2
即x
2
＋y
2
＝4，

得x′
2
＋y′
2
＝4，
?
5x′＝2x，
∴伸缩变换
?
为所求．
?
2y ′＝y
方法二：将x
2
＋y
2
＝4改写为x′
2
＋ y′
2
＝4，
?
?
x′＝λx?λ>0?，
设满足题意的伸缩变换为
?

?
y′＝μy?μ>0?，
?


代入x′
2＋y′
2
＝4得λ
2
x
2
＋μ
2
y< br>2
＝4，
λ
2
x
2
μ
2
y
2
即＋＝1，
44
x
2
y
2
与椭圆＋＝1比较系数得
108< br>?
?
μ
1
?
4
＝
8
，
2< br>λ
2
1
＝，
410

2
λ＝
，?
?
5
解得
?
1
μ＝
?
?
2
，
2
x′＝x，
?
?
5
∴伸缩变换为
?< br>1
y′＝y，
?
?
2
答案： D



?
5x′＝2x，
即
?
.
?
2y′＝y

θ
4．极坐标方程4ρsin
2
＝5表示的曲线是( )
2
A．圆
C．双曲线的一支
B．椭圆
D．抛物线
解析： 若直接由所给方程很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直
角坐标方程，加以研究．
1－cosθ
θ
4ρ·sin
2
＝4ρ·＝2ρ－2ρcosθ＝5 ，化为直角坐标方程：2x
2
＋y
2
－2x＝5，化简，
22
25
得y
2
＝5x＋.
4

故该方程表示抛物线．
答案： D
π
4，
?
作曲线C的切线，则切线5．在极坐标方程中 ，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点
?
?
6
?
长为( )
A．4
C．22
B．7
D．23
π
4，
?
化为直角坐标为(23，解析： ρ＝4sin θ化为普通方程为 x
2
＋(y－2)
2
＝4，点
?
2)，
?
6
?
切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为
?23 ?
2
＋?2－2?
2
－2
2
＝22.
答案： C
6．已知点P的坐标为(1，π)，则过点P且垂直极轴的直线方程是( )
A．ρ＝1
1
C．ρ＝－
cos θ
B．ρ＝cos θ
1
D．ρ＝
cos θ
解析： 由点P的坐标可知，过点P且垂直极轴的直线方程在直角坐标系中为x＝－1，
即ρcos θ＝－1，故选C．
答案： C
7．圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为( )
A．
2

2
B．2
D．22 C．2
π
解析： 圆ρ＝4cosθ的圆 心C(2,0)，如图所示，|OC|＝2，在Rt△COD中，∠ODC＝，
2
π
∠ COD＝，
4

∴|CD|＝2.
答案： B
8．在极坐标中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( )
A．ρsin θ＝2
C．ρcos θ＝4
B．ρcos θ＝2
D．ρcos θ＝－4
π
2，
?
，半径为r＝2， 解析： 圆ρ＝4sin θ的圆心为
?
?
2
?

对于选项A，方程ρsin θ＝2对应的直线y＝2，与圆相交；
对于选项B，方程ρcos θ＝2对应的直线x＝2，与圆相切；
选项C，D对应的直线与圆相离．
答案： B
π
θ＋
?
(r＞0)的公共弦所在直线的方程为( ) 9．圆ρ＝r与圆 ρ＝－2rsin
?
?
4
?
A．2ρ(sinθ＋cosθ)＝r
C．2ρ(sinθ＋cosθ)＝r
B．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r
D．2ρ(sinθ＋cosθ)＝－r
解析： 圆ρ＝r的直角坐标方程为x
2
＋y
2
＝r
2
①
π
θ＋
?
圆ρ＝－2rsin
?
?
4
?
ππ
sinθcos＋cosθsin
?
＝－2r(sinθ＋cosθ)． ＝－2r
?
44
??
两边同乘以ρ得ρ
2
＝－2r(ρsi nθ＋ρcosθ)，
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ
2
＝x
2< br>＋y
2
，
∴x
2
＋y
2
＋2rx＋2ry＝0②
①－②整理得2(x＋y)＝－r，
即为两圆公共弦所在直线的普通方程．
再将直线2(x＋y)＝－r化为极坐标方程为2ρ(cosθ＋sinθ)＝－r.
答案： D
π
1，
?
的最近距离等于( ) 10．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q
?
?
2
?
A．2－1
C．1
B．5－1
D．2
解析： 将曲线ρ＝2cosθ化成直角坐标方程为(x－1)
2
＋y
2
＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，
则P到Q的最短距离 为点Q与圆心的距离减去半径，即2－1.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共20分．把正确答案填在题中的横线上)
π
11．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是
3
________.

解析： 三条直线在直角坐标系下的方程依次为y＝0，y＝3x，x＋y＝1.如图可知，

1
S
△
POQ
＝×|OQ|×|y
p
|
2
3－3
13
＝×1×＝.
24
3＋1
答案：
3－3

4
π
π
4，
?
绕极点逆时针旋转 得到点B，且|OA|12．已知极坐标系中，极点为O，将点A
?
?
6
?< br>4
＝|OB|，则点B的直角坐标 ________.
5π
4，
?
， 解析： 依题意，点B的极坐标为
?
?
12
?
∵cos
ππ
?
5π
＝cos
?
?
4
＋
6
?

12
ππππ
＝cos cos －sin sin
4646
＝
＝
sin
2321
×－×
2222
6－2
，
4
ππ
?
5π
＝si n
?
?
4
＋
6
?

12
ππππ
＝sin cos ＋cos sin
4646
＝
6＋2
2321
×＋×＝，
22224
6－2
＝6－2，
4
∴x＝ρcos θ＝4×
y＝ρsin θ＝4×
6＋2
＝6＋2.
4
∴点B的直角坐标为(6－2，6＋2)．
答案： (6－2，6＋2)
13．从极点作圆ρ＝2acos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为 ________.
a
?
a
，0
为圆心，为半径的圆．求得方程是ρ＝解析： 数形结合 ，易知所求轨迹是以
?
?
2
?
2
ππ
－≤θ≤?
. acos θ
?
2
??
2
ππ
－≤θ≤
?
答案： ρ＝acos θ
?
2
??
2
339
?
14．点A 的直角坐标为
?
－
，则它的球坐标为 ________.
?
2
，
2
，3
?

解析： r＝?
33
?
2
＋
?
9
?
2
＋3
2
＝6.
?
2
?
?
2
?
92
31
π
cosφ＝＝，∴φ＝.tanθ＝＝3，
623
33
2
π
∴θ＝，
3
ππ
6，，
?
. ∴它的球坐标为
?
?
33
?
ππ
6，，
?
答案：
?
?
33
?
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(12分)设极点O到直线l的距离为d，由点O向直 线l作垂线，由极轴到垂线OA
的角度为α(如图所示)．求直线l的极坐标方程．

解析： 在直线l上任取一点M(ρ，θ)．

在直角三角形OMA中，
由三角知识得ρcos(α－θ)＝d，
d
即ρ＝.这就是直线l的极坐标方程．
cos?α－θ?
16．(12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2
＋y
2
＝1上的一个动点，且
∠AOP的平分线交PA于Q点，求Q点 的轨迹的极坐标方程．
解析： 以圆心O为极点，x轴正半轴为轴建立坐标系，
设Q(ρ，θ)，P(1,2θ)．
因为S
△
OAQ
＋S
△
OQP
＝S
△
OAP
，
111
所以·3ρ·sinθ＋
ρ·sinθ＝
×3×1×sin2θ.
222
3
整理得ρ＝cosθ.
2
2
17．(12分)已知⊙C：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l：ρ＝2.求 ⊙C上点到直线l距离
π
??
cos
?
θ＋
4
?< br>的最小值．

解析： ⊙C的直角坐标方程是x
2
＋y
2
－x－y＝0，
11
1
x－
?
2
＋
?
y－
?
2
＝. 即
?
?
2
??
2
?
2
又直线l的极坐标方程 为ρ(cos θ－sin θ)＝4，
所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.
1212
设M
?
＋cos θ，＋sin θ
?
为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离
22
?
22
?
d＝
?
1
＋
2
cos θ－
?
12
?
－4
?
＋sin θ
?
22
?
22
??
2

π
θ＋
?
4－cos
?
?
4
?
＝，
2
7π
332
当θ＝时，d
min
＝＝.
42< br>2
18．(14分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线
π
θ－
?
＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点． C的极坐标方程为ρ cos
?
?
3
?
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标 ；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
π
θ－
?
＝1， 解析： (1)由ρcos
?
?
3
?
13
得ρ
?
cos θ＋sin θ
?
＝1.
2
?
2
?
13
从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，
22
即x＋3y＝2.
当θ＝0时，ρ＝2，得M(2,0)；
π
23
23
π
?
当θ＝时，ρ＝，得N
?
.
23
?
3
，
2
?
23
?
(2)M点的直角坐标 为(2,0)，N点的直角坐标为
?
0，
.
3
??
所以P 点的直角坐标为
?
1，
?
3
?
，
3
?
则P点的极坐标为
?
23
π
?
. < br>?
3
，
6
?
π
所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ ∈R.
6

第二讲

一、选择题(本大题共1 0小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
?
x＝－1－t
?
1．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程
?
(t为 参数)所表示的图形分别是( )
?
y＝2＋3t
?

A．圆、直线
C．圆、圆
解析： ∵ρ＝cosθ，∴x
2
＋y
2
＝x，
?
?
x＝－1－t
∴表示一个圆．由
?

?
y＝2＋3t
?
B．直线、圆
D．直线、直线

得到直线3x＋y＝－1.
答案： A
?
?
x＝－2＋t，2．直线
?
(t为参数)被圆(x－3)
2
＋(y＋1)
2＝25所截得的弦长为( )
?
y＝1－t
?

A．72
C．82
?
?
x＝－2＋t，
解析：
?

?
y＝1－t
?
1
B．40
4
D．93＋43

?
x＝－2＋
2
2
·2t，
?
?
2
y＝1－·2t，
?
2
令t′＝


?
x＝－2＋
2
2
t′，
2t，把
?
2
y＝1－t ′
?
2


代入(x－3)
2
＋(y＋1)
2
＝25.
整理，得t′
2
－72t′＋4＝0，
|t′
1
－t′< br>2
|＝?t′
1
＋t′
2
?
2
－4t′1
t′
2

＝82.
答案： C
?
??< br>?
x＝3cosθ
?
?θ是参数，0＜θ＜π?
?
，3．点集 M＝
?
?x，y?|
N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠
?
y＝3sinθ
?
??

?，则b满足( )
A．－32≤b≤32
C．0≤b≤32
解析： 用数形结合法解．
答案： D
?
?
x＝x
0
＋tcosα
→
4．已知直线
?
(t为参数)上的两点A、B所对应的参数分别为t
1
、t
2
，且AP
?
y＝y
0
＋tsinα
?
B ．－3＜b＜32
D．－3＜b≤32

→
＝λPB(λ≠－1)，则点P所对应的参数为( )
t
1
＋t
2
A．
2
t
1
＋λt
2
C．
1＋λ
答案： C
5．已知集合A＝{(x，y)|(x－1)
2
＋y
2
＝1}， < br>?
yy
?
＝－1
B＝
?
?x，y?
?
x
·
x－2
?
?
?
t
1
＋t
2
B．
1＋λ
t
2
＋λt
1
D．
1＋λ

?
?
?
，
?
?
??< br>kπ
ρ＝2cosθ，θ≠
，k∈Z
?
， C＝
?
?ρ，θ?
?
4
?
??

???
?
?
x＝1＋cosθ
，θ≠kπ，k∈Z
?
， D ＝
?
?x，y?
?
?
?
y＝sinθ
?
?
??


下列等式成立的是( )
A．A＝B
C．A＝C
B．B＝D
D．B＝C
解析： 集合B与D都是曲线(x－1)
2
＋y
2
＝1(x≠0，x≠2)．
答案： B
?
x＝r?cosφ＋φsinφ?
?
6．已知圆的渐 开线
?
(φ为参数)上有一点的坐标为(3,0)，则渐开线对
?
y＝r?s inφ－φcosφ?
?

应的基圆的面积为( )
A．π
C．4π
解析： 把已知点(3,0)代入参数方程得
?
?
3＝r?cosφ＋φsinφ?， ①
?

?
?
0＝r?sinφ－φcosφ?. ②
B．3π
D．9π

①×cosφ＋②×sinφ得r＝3，

所以基圆的面积为9π.
答案： D
?
x＝2t，
7．过抛物线
?
(t为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为( )
y＝3t
?
π
A．
3
π
C．
6
π2π
B．或
33
π5π
D．或
66
2

3
?
3
解析： 将抛物线的参数方程化成 普通方程为y
2
＝x，它的焦点为
?
?
8
，0
?< br>.设弦所在直
2
y＝x，
?
2
3
??
线的方 程为y＝k
?
x－
8
?
，由
?
?
x－3
?
，y＝k
?
?
8
?
2
3

消去y，得64k
2
x
2
－48(k
2
＋2)x＋ 9k
2
＝0，
设弦的两端点坐标为(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，
则|x
1
－x
2
|＝?x
1
＋x
2
?
2
－4x
1
x
2

＝
k＋2
?
2
9
?
3·
?
4k
2
?
－
16
＝2
2
π2π
解得k＝±3.故倾斜角为或
33
答案： B
?
x＝3secθ
8．下列双曲线中，与双曲线
?
(θ为参数)的离心率和渐 近线都相同的是( )
?
y＝tanθ
y
2
x
2
A．－＝1
39
y
2
2
C．－x＝1
3
x
2
y
2
解析： 双曲线的普通方程为－＝1
31
离心率为
2233
＝，渐近线为y＝±x
33
3
y
2
x
2
B．－＝－1
39
y
2
2
D．－x＝－1
3

y
2
x
2
B中－＝－1
39
x
2
y
2
233
即－＝1其离心率为，渐近线为y＝x，
9333
故与原双曲线的离心率及渐近线相同．
答案： B
9．已知点P 在椭圆x
2
＋8y
2
＝8上，且P到直线l：x－y＋4＝0的距离最小，则 P点坐
标是( )

81
－，
?
A．
?
?
33
?
C．(0，±1)
18
?B．
?
?
3
，
3
?

D．(±22，0)
?
x＝1＋5cosθ
解析： 设
?
(θ为参数)
?
y＝－2＋5sinθ
取x－2y＝1＋5cosθ＋4－25sinθ
＝5＋5cosθ－25sinθ
＝5＋5sin(θ－φ)．
故最大值为10.
答案： B

?
x＝3t，
10．已知直线l：
?
(t为参数)，抛物线C的方程y
2
＝2x，l与C交于P
1
，P
2
，
?
y＝2－t
则点A(0,2)到P
1
，P
2
两点距离之和是( )
A．4＋3
C．4(2＋3)
B．2(2＋3)
D．8＋3

?
x＝－
2
3
t′，
解析： 把直线参数方程化为
?
1
y＝2＋t′
?
2
代入y
2
＝2x，
求得t′
1
＋t′
2
＝－4(2＋3)，

(t′为参数)，
t′
1
t′
2
＝16>0，知在l上两 点P
1
，P
2
都在A(0,2)的下方，
则|AP
1|＋|AP
2
|＝|t′
1
|＋|t′
2
|
＝|t′
1
＋t′
2
|＝4(2＋3)．
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
11．如图所示，齿轮的廓线AB为圆的渐开线的一段弧．已知此渐开线的基圆的直径为
225 mm，则此渐开线的参数方程为________.

?
答案： < br>?
225
y＝
?
2
?sint－tcost?
225
x＝?cost＋tsint?
2

(t为参数)
?
?
y＝sin θ＋1，
12．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数 方程是
?
(θ是参数)，以O
?
x＝cos θ
?

为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________.
解析： 由题意知，曲线C：
x
2
＋(y－1)
2
＝1，
即x
2
＋y
2
－2y＝0，
所以(ρcos θ)
2
＋(ρsin θ)
2
－2ρsin θ＝0，
化简得ρ＝2sin θ.
答案： ρ＝2sin θ
x
2
y< br>2
13．点M(x，y)在椭圆＋＝1上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为
124
________，此时点M的坐标是________.
?
x＝23cos θ，
解析： 椭圆的参数方程为
?
(θ为参数)，
?
y＝2sin θ
则点M(23cos θ，2sin θ)到直线
x＋y－4＝0的距离
|23cos θ＋2sin θ－4|
d＝
2

＝
?< br>4sin
?
θ＋
π
?
－4
?
??
3
??
2
.
π
3
当θ＋＝
π时，d
max
＝42，
32
此时M(－3，－1)．
答案： 42 (－3，－1)
?
x＝2＋2tcosα
?
cosα
14．若曲线y
2
＝4x与直线< br>?
(t为参数)相切，则＝________.
cosβ
?
y＝－4 ＋tcosβ
?
?
?
x＝2＋2tcosα
解析： ∵
?
，
?
y＝－4＋tcosβ
?


∴
x－2
cosα
＝2＝2m，
y＋4
cosβ
cosα
其中m＝，
cosβ

∴x＝2＋2my＋8m，代入y
2
＝4x，
得y
2
＝4(2＋2my＋8m)，
y
2
－8my－8－32m＝0.
∵直线与曲线相切，
∴Δ＝(－8m)
2
－4×(－8－32m)
＝64m
2
＋4×8(1＋4m)＝0，
2m
2
＋4m＋1＝0，
12
∴(m＋1)
2
＝，m＝－1±，
22
∴
cosα2
＝－1±.
cosβ2
2
答案： －1±
2
三、解答题(本大题共4题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极
轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是
?
?
2
?
y＝
2
t
x＝
2
t＋m
2

(t是参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝14，试求实数m的值．
解析： (1)曲线C的直角坐标方程为x
2
＋y
2
－4x＝0，
直线l的直角坐标方程为y＝x－m
(2)m＝1或m＝3
16．(12分)求椭 圆4x
2
＋y
2
－8xcosθ－4ysin
2
θ－sin
2
2θ＝0中心的轨迹方程(θ为参数)，并
证明无论θ取何值，椭圆的大小、形状保 持不变．
解析： 椭圆方程可化为4(x－cosθ)
2
＋(y－2sin
2
θ)
2
＝4，
?y－2sin
2
θ?
2
即(x－cosθ)＋＝1，
4
2
?
?
x＝cosθ
故椭圆中心的轨迹方程为
?
，
2
?
y＝2sin
θ
?

消去θ得y＝2－2x
2
(|x|≤1)．
对于所给椭圆无论θ如何变化，
它的长轴长始终为4，短轴长为2，离心率
3
.
2

因此椭圆的大小形状保持不变．
36
17．(12分)已知曲线C的极坐标方程为ρ
2
＝；
24cos
θ＋9sin
2
θ
(1)若以极点为原点，极轴所在的直线为x 轴，求曲线C的直角坐标方程；
(2)若P(x，y)是曲线C上的一个动点，求x＋2y的最大值．
解析： (1)曲线的极坐标方程ρ
2
＝
即4ρ
2
cos< br>2
θ＋9ρ
2
sin
2
θ＝36，
∴4x
2
＋9y
2
＝36，
x
2
y
2
∴＋＝1.
94
(2)设P(3cosθ，2sinθ)，
则x＋2y＝3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ＋φ)，
∵θ∈R，
∴当sin(θ＋φ)＝1时，x＋2y的最大值为5.
18. (14分)如图所示，设矩 形ABCD的顶点C，坐标为(4,4)，点A在圆x
2
＋y
2
＝9(x≥0 ，
y≥0)上移动，且AB，AD两边分别平行于x轴，y轴，求矩形ABCD面积的最小值及对应点A的坐标．
36
，
4cos
θ＋9sin
2
θ
2

解析： 设A(3cosθ，3sinθ)(0＜θ＜90°)
则|AB|＝4－3cosθ，|AD|＝4－3sinθ
S＝|AB|·|AD|＝(4－3cosθ)(4－3sinθ)
＝16－12(cosθ＋sinθ)＋9cosθ·sinθ.
令t＝cosθ＋sinθ(1≤t≤2)，
则2cosθ·sinθ＝t
2
－1
9923
∴S＝16－12t ＋(t
2
－1)＝t
2
－12t＋
222
4
97
t－
?
2
＋ ＝
?
2
?
3
?
2
47
∴t＝时，矩形ABCD的面积S取得最小 值.
32

?
此时
?
7
cosθ·sinθ ＝，
?
18
∴对应A坐标为
?
2＋
4
cosθ＋s inθ＝，
3

4±2
cosθ＝
?
?
6
解得
?
4?2
sinθ＝
?
?
6


?
22
??
22
或
2－，2＋
?
.
，2＋
22
??
22
?

模块综合测试
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题 目要求的)
1．下列有关坐标系的说法，错误的是( )
A．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆
B．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小
C．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程
D．同一条曲线可以有不同的参数方程
解析： 直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系 中，伸缩变形可以改变图形的形
状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆 ；而平移变换不改
变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方 程的，
同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．
答案： C
11< br>2．把函数y＝sin2x的图象经过________变化，可以得到函数y＝sinx的图象．( )
24
1
A．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍
2
B．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍
11
C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍
22
1
D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的
2
解析： 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y
11
＝sin2x的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y＝sinx的图象，再把纵坐标缩短为原来 的
22
11
，得到y＝sinx的图象．
24
答案： D
3．极坐标方程ρ
2
－ρ(2＋sinθ)＋2sinθ＝0表示的图形是( )

A．一个圆与一条直线
C．两个圆
B．一个圆
D．两条直线
解析： 所给方程可以化为(ρ－2)(ρ－sinθ)＝0，即ρ＝2或ρ＝ sinθ.化成直角坐标方程
分别为x
2
＋y
2
＝4和x
2
＋y
2
－y＝0，可知分别表示两个圆．
答案： C
4．在极坐 标系中，如果一个圆方程是ρ＝4cosθ＋6sinθ，那么过圆心且与极轴平行的直
线方程是( )
A．ρsinθ＝3
C．ρcosθ＝2
答案： A
2
?
?
x＝2＋sin
θ
5．将参数方程
?
(θ为参数)化 为普通方程为( )
2
?
y＝sin
θ
?
B．ρsinθ＝－3
D．ρcosθ＝－2

A．y＝x－2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
B．y＝x＋2
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
2
?
?
x＝2＋sin
θ
解析： 由
?
知x＝2＋y(2≤x≤3)
2
?
y＝sin
θ
?

所以y＝x－2 (2≤x≤3)．
答案： C
π
6．经过点M(1,5)且倾斜角为的直线，以定 点M到动点P的位移t为参数的参数方程
3
是( )
?
x＝1＋
2
t
A．
?
3
y＝5－t
?
2
?
x＝1－
2
t
C．
?
3
y＝5－t
?
2< br>1
1


.

?
x＝1－
2t
B．
?
3
y＝5＋t
?
2
1
1
?
x＝1＋
2
t
D．
?
3
y＝5＋ t
?
2
π
x＝1＋t·cos
3
?
解析： 根据直 线参数方程的定义，易得
?
π
y＝5＋t·sin
?
3
?< br>x＝1＋
2
t
即
?
3
y＝5＋t
?
2
1



，

答案： D
?
?
x′＝2x
7．x＋y＝1经过伸 缩变换
?
，后所得图形的焦距( )
?
y′＝3x
?
22

A．4
C．25
x
2
y
2
解析： 变换后方程变为：＋＝1，
49
故c
2
＝a
2
－b
2
＝9－4＝5，c＝5，
所以焦距为25.
答案： C
B．213
D．6
?
?
x＝2－tsin30°
8．已知直线
?
(t为参数)与圆x
2< br>＋y
2
＝8相交于B、C两点，则|BC|的值
?
y＝－1＋tsin 30°
?

为( )
A．27
C．72
?
?
x＝2－tsin30°
解析：
?
?
?
y＝－1＋tsin30°
?
B．30
D．
30

2

2
t＝2－t′
?
x＝2－
1
22
?
12
y＝－1＋t＝－1＋t
?
22

(t′为参数)．
代入x
2
＋y
2
＝8 ，得t′
2
－32t′－3＝0，
∴|BC|＝|t′
1
－t′< br>2
|＝?t′
1
＋t′
2
?
2
－4t′1
t′
2

＝?32?
2
＋4×3＝30，故选B．
答案： B
πππ
2，，1
?
，点Q的球面坐标为
?1，，
?
，根据空间坐标系中9．已知P点的柱坐标是
?
?
4< br>??
24
?
两点A(x
1
，y
1
，z
1
)，B(x
2
，y
2
，z
2
)之间的距离公式 |AB|＝?x
1
－x
2
?
2
＋?y
1
－ y
2
?
2
＋?z
1
－z
2
?
2< br>，可
知P、Q之间的距离为( )
A．3
C．5
B．2
D．
2

2
解析： 首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把 P点的柱坐标转化为空间直
角坐标(2，2，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q点的 球坐标转化为空

间直角坐标
?
22
?
，，0
，代入两点之间的距离公式即可得到距离为2.
2
?
2
?
答案： B
1
10．如果直线ρ＝与直线l关于极轴对称，则直线l的极坐标方程是( )
cosθ－2sinθ
1
A．ρ＝
cosθ＋2sinθ
1
C．ρ＝
2cosθ＋sinθ
1
B．ρ＝
2sinθ－conθ
1
D．ρ＝
2cosθ－sinθ
1
解析： 由ρ＝知ρcosθ＋2ρsinθ＝1，
cosθ＋2sinθ
∴x＋2y＝1.
答案： C
11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )
?
?
x＝ 2?cosφ＋4sinφ?，
A．
?
(φ为参数)
?
y＝2?s inφ－4cosφ?.
?
?
?
x＝4?cosθ＋θsinθ?，
B．
?
(θ为参数)
?
y＝4?sinθ－θcosθ?.
??
?
x＝2?φ－sinφ?，
C．
?
(φ为参数)
?
y＝2?1－cosφ?.
?
?
x＝4?θ－sinθ?，
?D．
?
(θ为参数)
?
?
y＝4?1－cosθ?.




解析： 圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为
?
?
x＝2?cosφ＋φsinφ?，
?

?
?
y＝2?sinφ－φcosφ?.?φ为参数?.

答案： A
12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于
点 C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P(x，y)、点
P′ (x′，y′)满足x≤x′，且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω
中的其他 点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )

A．AB B．BC

C．CD
解析： ∵x≤x′且y≥y′，
D．DA
∴点P(x，y)在点P′(x′，y′)的左上方．
∵Ω中不存在优于Q的点，
∴点Q组成的集合是劣弧AD，故选D．
答案： D
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上)
π
2
θ＋
?
＝，则极点到该直线的距离是________ 13．已知直线的极坐标方程为ρsin
?
?
4
?
2
解析： 对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，
因此应首选把极坐标平面 内的问题化为直角坐标问题的解决方法，这需把极点、直线的方程
π
θ＋
?
＝ 化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程．极点的直角坐标为O(0,0)，ρsin
?
?< br>4
?
ρ
?
2
22
?
sinθ＋cosθ＝
2
，
2
?
2
?
∴ρsinθ＋ρcosθ ＝1，化为直角坐标方程为x＋y－1＝0.
∴点O(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离为d＝< br>π
22
θ＋
?
＝的距离为. 即极点到直线ρsin
?
?
4
?
22
答案：
2

2
12
＝，
2
2
?
x＝t cosα，
?
x＝4＋2cosφ，
??
14．直线
?
(t 为参数)与圆
?
(φ为参数)相切，则此直线的倾斜
??
?
y＝ts inα
?
y＝2sinφ

角α＝________.
21
解析： 直线：y＝x·tanα，圆：(x－4)
2
＋y
2< br>＝4，如图，sinα＝＝，
42

π
5
∴α＝或
π.
66
π
5
答案： 或
π.
66
?
?
x＝t，
15．已知直线l的参数方程< br>?
(t为参数)，若以原点O为极点，x轴的正半轴为
?
y＝1＋2t
?

π
θ＋
?
.则圆的直角坐标方程为极轴，建立极 坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝22sin
?
?
4
?
______ ____，直线l和圆C的位置关系为__________(填相交、相切、相离)．
π
θ＋
?
即ρ＝2(sinθ解析： (1)消去参数t，得直线l的普通方 程为y＝2x＋1.ρ＝22sin
?
?
4
?
＋cosθ)，两边同 乘以ρ得ρ
2
＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为(x－
1)
2
＋(y－1)
2
＝2.
|2－1＋1|
25
(2)圆心C到直线l的距离d＝
22
＝<2，
5
2＋1
所以直线l和⊙C相交．
答案： (x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2；相交
?
?
x ＝t＋3，
16．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
?
(参数t∈R) ，圆C的
?
y＝3－t
?
?
?
x＝2cosθ
参数 方程为
?
(参数θ∈[0,2π])，则圆C的圆心坐标为______，圆心到直线l的距< br>?
y＝2sinθ＋2
?


离为______.
解析： 直线和圆的方程分别是x＋y－6＝0，x
2
＋(y－2)
2
＝2
2
，所以圆心为(0,2)，其到
|0＋2－6|
直线的距离为d＝＝ 22.
1＋1
答案： (0,2) 22
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)(1)化ρ＝cosθ－2sinθ.为直角坐标形式并说明曲线的形状；
(2)化曲线F的直角坐标方程：x
2
＋y
2
－5x
2
＋y
2
－5x＝0为极坐标方程．
解析： (1)ρ＝cosθ－2sinθ两边同乘以ρ得
ρ
2
＝ρcosθ－2ρsinθ
∴x
2
＋y
2
＝x－2y
即x
2
＋y
2
－x＋2y＝0
1
5
x－
?
2
＋(y＋1)
2
＝
??
2
即
?
?
2
?
?
2
?
1
5
，－1< br>?
为圆心，半径为的圆． 表示的是以
?
?
2
?
2< br>(2)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得
x
2
＋y
2
－ 5x
2
＋y
2
－5x＝0的极坐标方程为：
ρ
2
－5ρ－5ρcosθ＝0.
π
3，
?
，半 径为1.Q点在圆周上运动，O18．(12分)在极坐标系中，已知圆C的圆心C
?
?
9
?

为极点．
(1)求圆C的极坐标方程；
OQ2
(2)若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．
QP3
解析： (1)设M(ρ，θ)为圆C上任意一点，
π
θ－
?
， 如图，在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM| ＝1，∠COM＝
?
?
6
?

根据余弦定理，
π
θ－
?
，化简整理，得ρ
2
－6·得1＝ρ
2
＋9 －2·ρ·3·cos
?

?
6
?
π
θ－
?
＋8＝0为圆C的轨迹方程． < br>ρcos
?
?
6
?
(2)设Q(ρ
1
，θ< br>1
)，
π
??
θ
－
则有ρ
2
－6 ·ρcos
1
11
6
?
＋8＝0①
?
设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ
1
∶(ρ－ρ
1
)
2
＝2∶3?ρ
1
＝
ρ，
5
2
?
?
ρ
1
＝
5
ρ，
又θ
1
＝θ，即
?

?
?
θ
1
＝θ，
42
π
代 入①得
ρ
2
－6·
ρcos(θ－
)＋8＝0，
2556
5π
θ－
?
＋50＝0为P点的轨迹方程． 整理得ρ2
－15ρcos
?
6
??
12
19．(12分)已知 椭圆C的极坐标方程为ρ
2
＝，点F
1
，F
2
为其左，右焦 点，
2
3cos
θ＋4sin
2
θ

?
直 线l的参数方程为
?
2
y＝
?
2
t
x＝2＋
2
t，
2

(t为参数，t∈R)．
(1)求直线l和曲线C的普通方程；
(2)求点F
1
，F
2
到直线l的距离之和．
解析： (1)直线l的普通方程为y＝x－2；
x
2
y
2
曲线C的普通方程为＋＝1.
43

(2)∵F
1
(－1,0)，F
2
(1,0)，
∴点F
1
到直线l的距离d
1
＝
|－1－0－2|
32
＝ .
2
2
|1－0－2|
2
点F
2
到直线l的距离 d
2
＝＝，
2
2
∴d
1
＋d
2
＝22.
4
20．(12分)已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l与抛物线y
2
＝2x相交于A ，B两点，
3
设线段AB的中点为M.
(1)求P、M两点间的距离；
(2)求M点的坐标；
(3)求线段AB的长|AB|.
4
解析： (1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，
3
434
设倾斜角为α，tanα＝，cosα＝，sinα＝，
355< br>?
∴直线l的参数方程为
?
4
y＝
?
5
t< br>3
x＝2＋t
5

(t为参数)，
∵直线l与抛物线相交， 把直线l的参数方程代入抛物线方程y
2
＝2x，整理得8t
2
－15t1525
－50＝0，设这个方程的两个根为t
1
、t
2
，则t
1
＋t
2
＝，t
1
·t
2
＝－.
84
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，
得|PM|＝
?
t
1
＋t
2
?
15
?
2
?
＝16
.
15
(2)由(1)知，中点M所对参数为t
M
＝，
16
?
代入直线的参数方程，M点的坐标为
?
4153
y＝
?
5
×
16
＝
4
413
?
即M< br>?
?
16
，
4
?
.
(3)由参数t的几何意义，
5
|AB|＝|t
2
－t
1
|＝?t
2
＋t
1
?
2
－4t
1
t
2
＝73.
8
31541
x＝2＋×＝
51616

，
21 ．(12分)如图，自双曲线x
2
－y
2
＝1上一动点Q引直线l：x＋y＝ 2的垂线，垂足为N，
求线段QN中点P的轨迹方程．

解析： 设点Q的坐标为(secφ，tanφ)，(φ为参数)．
∵QN⊥l，
∴可设直线QN的方程为x－y＝λ
将点Q的坐标代入①得：λ＝secφ－tanφ
所以线段QN的方程为x－y＝secφ－tnaφ
又直线l的方程为x＋y＝2.
②
③
①
2＋secφ－tanφ
由②③解得点N的横坐标x
N
＝
2
设线段QN中点P的坐标为(x，y)，
x
N
＋x
Q
2＋3secφ－tanφ
则x＝＝，
24
4×④－②得
3x＋y－2＝2secφ.
4×④－3×②得
x＋3y－2＝2tanφ.
⑤
2
－⑥
2
化简即得所求的轨迹方程为
2x
2
－2y
2
－2x＋2y－1＝0.
22．(14分 )已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l
?
?
x＝ t，
的参数方程为
?
(t为参数)．当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为6？
?
y＝m＋2t
?
?
x＝t，
?
y
22
解析： 椭圆方程为＋x＝1，化直线参数方程
?

4
?
y＝m＋2t
?
④
⑤
⑥


?
x＝
5
5
t′
为
?
25y＝m＋t′
?
5
代入椭圆方程得

(t′为参数)． 25
5
(m＋t′)
2
＋4
?
t′
?
2
＝4?8t′
2
＋45mt′＋5m
2
－20＝0
5< br>?
5
?
当Δ＝80m
2
－160m
2
＋64 0＝640－80m
2
>0，
即－22方程有两不等实根t′
1
，t′
2
，
640－80m2
则弦长为|t′
1
－t′
2
|＝?t′
1
＋ t′
2
?－4t′
1
t′
2
＝
8
2
640－80m
2
依题意知＝＝6，
8

45
解得m＝±.
5