2019高中数学 第二章 几个重要的不等式阶段质量评估 北师大版选修4-5

——
阶段质量评估(二) 几个重要的不等式
A卷 (时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的)
1．设
n
∈N
n
＋
， 则4与3
n
的大小关系是( )
A．4
n
>3
n
B．4
n
＝3
n

C．4
n
<3
n
D．不确定
解析：4
n＝(1＋3)
n
，由贝努利不等式，得(1＋3)
n
≥1＋
n< br>·3＝1＋3
n
>3
n
，即4
n
>3
n.
答案：A
2．用数学归纳法证明“1＋
1111
2
3＋
3
3
＋…＋
n
3
<2－
n
(
n
≥2，
n
∈N
＋
)”时，第一步应验证(
A．1＋
11
2
3
<2－
2
B．1＋
111
2
3
＋
3
3
<2－
3

C ．1＋
11
D．1＋
111
2
3
<2－
3

2
3
＋
3
3
<2－
4

解析：∵
n
≥2，
n
∈N
11
＋
，∴第一步应验证当
n
＝2时，1＋
2
3
<2－
2
.
答案：A < br>3．已知
a
，
b
，
c
∈(0，＋∞)，则
a
2
(
a
2
－
bc
)＋
b
2
(
b
2
－
ac
)＋
c
2
(
c< br>2
－
ab
)( )
A．大于零 B．大于或等于零
C．小于零 D．小于或等于零
解析：设
a
≥
b
≥c
>0，则
a
3
≥
b
3
≥
c
3
.
依据排序不等式，得
a
3
·
a
＋
b
3
·
b
＋
c
3
·
c
≥
a
3
b
＋
b
3
c
＋
c
3
a
.
又
ab
≥
ac
≥
bc
，
a
2
≥
b
2
≥
c
2
，
所以
a
3
b
＋
b
3
c
＋
c
3
a
≥
a
2
bc
＋
b
2
ca
＋< br>c
2
ab
.
所以
a
4
＋
b
4
＋
c
4
≥
a
2
bc
＋
b2
ca
＋
c
2
ab
，
即
a
2
(
a
2
－
bc
)＋
b
2
(b
2
－
ac
)＋
c
2
(
c
2
－
ab
)≥0.
答案：B
4．若5
x
2222
1
＋6
x
2
－7
x
3
＋4
x4
＝1，则3
x
1
＋2
x
2
＋5
x< br>3
＋
x
4
的最小值是( )
A．
782
15
B．
15
782

C．3 D．
25
3

解析：因为
?
?
25
2
?
3
＋18＋
49
5
＋16
??
?
(
3
x
222
1
＋2
x
2
＋5
x
3
＋
x
4
)


)
1

——
?
5
× 3
x
1
＋32×2
x
2
＋
－7
×5
x
3
＋4
x
4
?
2
≥
??
< br>5
?
3
?
＝(5
x
1
＋6
x
2
－7
x
3
＋4
x
4
)＝1，
15< br>2222
所以3
x
1
＋2
x
2
＋5
x
3
＋
x
4
≥.
782
答案：B
5． 学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现选择商店中单价为5元、3元、2
2
元的商品作为奖品，则至少要花( )
A．300元 B．360元
C．320元 D．340元
解析：由排序不等式，可知逆序和最小．
∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)．
答案：C
6．已知2
x
＋3
y
＋4
z
＝10，则
x
2
＋
y
2
＋
z
2
取到最小值时的
x
，
y
，
z
的值分别为( )
A．
5105
B．
203040
3
，
9
，
6

29
，
29
，
29

C．1，
11
2
，
3
D．1，
11
4
，
9

xyz
?
解析：当 且仅当
?
x
＝
y
＝
z
，
2
＝3
＝
4
时取到最小值，联立
?
234
?
?2
x
＋3
y
＋4
z
＝10，

可得< br>x
＝
20
29
，
y
＝
3040
29
，
z
＝
29
.
答案：B
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)
7．若x
＋
y
＋
z
＋
t
＝4，则
x
2
＋
y
2
＋
z
2
＋
t
2
的最小值为________.
解析：由柯西不等式，得(
x
2
＋
y
2
＋
z
2
＋
t
2
)(1
2＋1
2
＋
1
2
＋1
2
)≥(
x＋
y
＋
z
＋
t
)
2
，当且仅当
x
＝
y
＝
z
＝
t
＝1时取等号．故
x< br>2
＋
y
2
＋
z
2
＋
t
2< br>的最小值为4.
答案：4
8．已知
a
∈(0，＋∞)，
x
＋
1
x
≥2，
x
＋
4
a
x
2
≥3，…，
x
＋
x
n
≥
n
＋1(n
∈N
＋
)，则
a
的值为________.
解析：∵
x
＋
1
x
≥2，
4
xx
4
3
x
＋
xx
4
x
2
＝
2＋
2
＋
x
2
≥3
2
·
2
·< br>x
2
＝3，
n
＋1
∴
x
＋
ax< br>xn
＋
x
n
＋
x
n
＋…＋
x
n
＋
axxxxa
n
＋1
a
n
＝
xn
≥(
n
＋1)
n
·
n
·
n
·…·
n
·
x
n
＝(
n
＋1)
n
n
＝
n
＋1.
∴
a
＝
n
n
(< br>n
∈N
＋
)．
答案：
n
n
(
n
∈N
＋
)

2

——
9．设
x
1
，
x
2
，…，
x
n
为不同的正整数，则
m
＝
2
＋
2
＋…＋
2
的最小值是_________.
12< br>n
解析：设
a
1
，
a
2
，…，
a< br>n
是
x
1
，
x
2
，…，
x
n
的一个排列，且满足
a
1
<
a
2
<…<
a
n
，故
a
1
≥1，
a
2
≥2，…，a
n
≥
n
.
x
1
x
2
x< br>n
又1>
111
2
2
>
3
2
>…>
n
2
，
所以
x
1
x
2
x
3
x
n
a
2
a
3
a
n
1
2
＋
2
2
＋
3
2
＋…＋
n
2< br>≥
a
1
＋
2
2
＋
3
2
＋… ＋
n
2
≥
1×1＋2×
11111
2
2
＋3×
3
2
＋…＋
n
·
n
2
＝1＋
2
＋
3
＋
…＋
1
n
.
答案：1＋
111
2
＋
3
＋…＋
n

三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
10 ．(本小题满分10分)已知
x
，
y
，
z
∈(0，＋∞)， 且
x
＋
y
＋
z
＝1，求证：
1925
x
＋
y
＋
z
≥81.
证明：由柯西不等式，得
(
x
＋
y
＋
z
)
?
?
192519
?
?
x
＋
y
＋
z
?
?< br>?
≥
?
?
?
x
·
x
＋
y< br>·
y
＋
z
·
25
?
2
z
?
＝81，
当且仅当
x
＝
y
＝
z
1925
，
xyz
即
x
＝
1
9
，
y
＝
1< br>3
，
z
＝
5
9
时取等号．
所以
1925
x
＋
y
＋
z
≥81. 11．(本小题满分12分)设
x
>0，求证：1＋
x
＋
x2
＋…＋
x
2
n
≥(2
n
＋1)
x< br>n
.
证明：当
x
≥1时，1≤
x
≤
x2
≤…≤
x
n
，
由顺序和≥逆序和，得
1×1＋< br>x
·
x
＋
x
2
·
x
2
＋… ＋
x
n
·
x
n
≥1·
x
n
＋x
·
x
n
－1
＋…＋
x
n
－1·
x
＋
x
n
·1，
即1＋
x
2＋
x
4
＋…＋
x
2
n
≥(
n
＋1)
x
n
. ①
因为
x
，
x
2，
x
3
，…，
x
n,
1为序列1，
x
，
x
2
，…，
x
n
的一个排列，
由乱序和≥逆序 和，得1·
x
＋
x
·
x
2
＋…＋
x
n
－1
·
x
n
＋
x
n
·1≥1·
x
n
＋
x
·
x
n
－1
＋…＋
x
n
－1
·
x
＋
x
n
·1，
即< br>x
＋
x
3
＋…＋
x
2
n
－1
＋
x
n
≥(
n
＋1)
x
n
. ②
将①和②相加，得
1＋
x
＋
x
2
＋…＋
x
2
n
≥(2
n
＋1)
x
n
. ③ < br>当0<
x
<1时，1>
x
>
x
2
>…>x
n
.
3

——
①②仍然成立，于是③也成立．
综上，原不等式成立．
12．(本小题满分13分 )已知正数
x
，
y
，
z
满足5
x
＋4y
＋3
z
＝10.
25
x
16
y
9
z
(1)求证：＋＋≥5； 4
y
＋3
z
3
z
＋5
x
5
x
＋4
y
(2)求9
x
＋9
y
＋
z
的最小值．
(1)证明：根据柯西不等式，得
[(4
y
＋3
z< br>)＋(3
z
＋5
x
)＋(5
x
＋4
y
)]
222
222
?
25
x
＋
16
y
＋
9
z
?
≥(5
x
＋4
y
＋3< br>z
)
2
.
?
4
y
＋3
z
3
z
＋5
x
5
x
＋4
y
?
??< br>因为5
x
＋4
y
＋3
z
＝10，
25
x
16
y
9
z
10
所以＋＋≥＝5.
4
y
＋3
z
3
z
＋5
x
5
x
＋4
y
20
(2)解：根据平均值不等式，得
9
x< br>＋9
y
＋
z
≥29
x
·9
y
＋z
＝2×3
x
＋
y
＋
z
，
当且仅当
x
＝
y
＋
z
时等号成立．
根据柯西不等式，得
(
x
＋
y
＋
z
)(5＋4＋3)
≥(5
x
＋4
y
＋3
z
)＝100，
当且仅当＝＝时等号成立．
543
所以
x
＋
y
＋
z
≥2.
综上，9
x
＋9
y
＋
z
≥2×3＝18，
43
当且仅当
x
＝1，
y
＝，
z
＝时等号成立．
55
所以9
x
＋9
y
＋
z
的最小值为18 .
B卷 (时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分， 共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的)
123
yz< br>1．已知
x
，
y
，
z
∈(0，＋∞)，且＋＋＝1， 则
x
＋＋的最小值是( )
xyz
23
A．5
C．8
B．6
D．9
222
2222
222
2
222222
222
222222222
2222
222
xyz
yz
?
123
??
yz
?
?
1< br>解析：
x
＋＋＝
?
＋＋
??
x
＋＋
?
≥
?
·
x
＋
23
?
?
x
23
?
xyz
??
答案：D
y
·
2
2
y
＋
3
z
·
3
?
?
z
?
2
＝9.

4