高中数学选修4-1练习题(一)

高中数学选修4-1练习题（一）
1．如图，已知在△
ABC中，
CD
⊥
AB
于
D
点，
BC
＝BD
·
AB
，则∠
ACB
＝______.
2．如图 ，已知在△
ABC
中，∠
ACB
＝90°，
CD
⊥
AB
于
D
，
AC
＝6，
DB
＝5，则
AD
的长为________．

3．如图所示，已知在△
ABC
中， ∠
C
＝90°，正方形
DEFC
内接于△
ABC
，
DE
∥
AC
，
EF
∥
BC
，
AC
＝1，
BC
＝2，则
AF
∶
FC
等于________．
4．如图，平行四边形
ABCD
中，
AE
∶
EB
＝ 1∶2，△
AEF
的面积为6，则△
ADF
的面积为________．






5．如图，△
ABC
中，∠
BAC
＝90°，
AB
＝4 cm，
AC
＝3 c m，
DE
∥
BC
且
DE
把△
ABC
的周长 分为相等的两
部分，则
DE
＝________.
6．在△
ABC
中，点
D
在线段
BC
上，∠
BAC
＝∠
A DC
，
AC
＝8，
BC
＝16，则
CD
为____ ____．

7．如图，已知在梯形
ABCD
中，上底长为2，下底长为6 ，高为4，对角线
AC
和
BD
相交于点
P
，
(1)若
AP
长为4，则
PC
＝________；
(2)△
ABP
和△
CDP
的高的比为______．
8 ．(2010·广东卷)如图，在直角梯形
ABCD
中，
DC
∥
AB
，
CB
⊥
AB
，
AB
＝
AD
＝< br>a
，
CD
＝，点
E
，
F
分别
2为线段
AB
，
AD
的中点，则
EF
＝________ .






AE
2
9．如 图，已知
AD
∥
EG
∥
BC
，
AD
＝6，
BC
＝9，＝，则
GF
的长为________．
AB
3
解析： ∵
AD
∥
EG
∥
BC
，
2
a
EGAEEFBE
＝，＝.
BCABADBA
AE
2
BE
1
∵＝，∴＝，
A B
3
AB
3
EF
1
EG
2
∴＝，＝. < br>AD
3
BC
3
又∵
AD
＝6，
BC
＝9，
∴
EF
＝2，
EG
＝6，
∴
GF
＝
EG
－
EF
＝4.
∴
答案： 4
10．如图，在直角梯形
ABCD
中，上底
AD
＝3，下底
BC
＝33，与两底垂直的腰
AB
＝6，在
AB
上选取
一点
P
，使△
PAD
和△
PBC
相似，这样的点
P
有________个．
解析： 设
AP
＝
x
，
(1)若△
ADP
∽△
BPC
，则＝，
即
3x
2
＝，所以
x
－6
x
＋9＝0，解得
x＝3.
6－
x
33
ADAP
BPBC
(2)若△ADP
∽△
BCP
，则＝，
ADAP
BCBP

x
3
＝，解得
x
＝，
2
33
6－
x
所以符合条件的点
P
有两个．
答案： 两
即
3

11．如图，在△
ABC
中，
AD
⊥
BC
于
D
，
DE
⊥
AB< br>于
E
，
DF
⊥
AC
于
F
.
求证：
AE
·
AB
＝
AF
·
AC
.
证明： ∵
AD
⊥
BC
，
∴△
ADB
为直角三角形，
又∵
DE
⊥
AB
，由射影定理知，
AD
2
＝
AE
·
AB
.
2
同理 可得
AD
＝
AF
·
AC
，∴
AE
·
AB
＝
AF
·
AC
.
12．如图所示，在△
A BC
中，
AD
为
BC
边上的中线，
F
为
A B
上任意一点，
CF
交
AD
于点
E
.
求 证：
AE
·
BF
＝2
DE
·
AF
.
证明： 过点
D
作
AB
的平行线
DM
交
A C
于点
M
，交
FC
于点
N
.
在△
BCF
中，
D
是
BC
的中点，
DN
∥
B F
，
1
∴
DN
＝
BF
.
2

∵
DN
∥
AF
，∴△
AFE
∽△
DNE< br>，
∴

AEDE
＝.
AFDN
1
AE< br>2
DE
又
DN
＝
BF
，∴＝，
2
AFBF
即
AE
·
BF
＝2
DE
·
AF< br>.
13．如图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
AD
是中线，
P
为
AD
上一点，
CF
∥
AB
，
BP
延长线
交
AC
，
CF
于
E
，
F
，
2
求证：
PB
＝
PE
·
PF
.
证明： 如图，连结
PC
，
易证
PC
＝
PB，∠
ABP
＝∠
ACP
.
∵
CF
∥
AB
，∴∠
F
＝∠
ABP
，
从而∠
F
＝∠
ACP
，
又∠
EPC
为△
CPE
与△
FPC
的公共角，
从而△
CPE
∽△
FPC
，∴＝
2

CPPE
，
FPPC
∴
PC
＝
PE
·
PF
，
2
又
PC
＝
PB
，∴
PB
＝
PE
·
PF
.
14．已知：在Rt△
ABC
中，∠
ACB< br>＝90°，
M
是
BC
的中点，
CN
⊥
AM< br>，垂足是
N
，
求证：
AB
·
BM
＝
AM
·
BN
.
2
证明： ∵
CM
＝
MN
·
AM
，
又∵
M
是
BC
的中点，
2
∴
BM
＝
MN
·
AM
，

BMMN
＝，
AMBM
又∵∠
BMN< br>＝∠
AMB
，∴△
AMB
∽△
BMN
，
ABAM
∴＝，
BNBM
∴
AB
·
BM
＝
AM
·
BN
.
∴

15．如图，在等腰三角形
ABC
中，
AB
＝
AC
，底边
BC
上的高
AD
＝10 cm，腰
AC
上的高
BE
＝12 cm.
AB
5
(1)求证：＝；
BD
3
(2)求△
AB C
的周长.【解析方法代码108001159】
解析： (1)证明：在△
ADC
和△
BEC
中，
∵∠
ADC＝∠
BEC
＝90°，∠
C
＝∠
C
，∴△
AD C
∽△
BEC
，
ACAD
105
∴＝＝＝.
B CBE
126
∵
AD
是等腰三角形
ABC
底边
BC
的高线，
∴
BC
＝2
BD
，又
AB
＝< br>AC
，
ACAB
5
AB
5
∴＝＝，∴＝.
BC
2
BD
6
BD
3
5
(2)设
BD< br>＝
x
，则
AB
＝
x
，
3
在Rt△
ABD
中，∠
ADB
＝90°，
22 2
根据勾股定理，得
AB
＝
BD
＋
AD
，
?
5
?
222
∴
?
x
?
＝
x< br>＋10，解得
x
＝7.5.
?
3
?
5
∴< br>BC
＝2
x
＝15，
AB
＝
AC
＝
x
＝12.5，
3
∴△
ABC
的周长为40 cm.
1 6．如右图，在平行四边形
ABCD
中，过点
B
作
BE
⊥< br>CD
，垂足为
E
，连结
AE
，
F
为
AE
上一点，且∠
BFE
＝∠
C
.
(1)求证：△
ABF
∽△
EAD
.
(2)若
A B
＝4，∠
BAE
＝30°，
AD
＝3，求
BF
的 长．
解析： (1)证明：∵
AB
∥
CD
，∴∠
BAF< br>＝∠
AED
.
又∵∠
BFE
＝∠
C
，∠< br>BFE
＋∠
BFA
＝∠
C
＋∠
EDA
，
∴∠
BFA
＝∠
ADE
.
∴△
ABF
∽△
EAD
.
483
(2)∵
AE
＝＝，
sin 60°3
又
BFABAB
33
＝，∴
BF
＝·
AD
＝.
ADAEAE
2

17．如图，梯形
ABCD
中，
AD
∥
BC
，
EF
经过梯形对角线的交点
O
，且< br>EF
∥
AD
.
(1)求证：
OE
＝
OF
；
(2)求＋的值；
112
(3)求证：＋＝.
OEOE
ADBC
ADBCEF
解析： (1)证明：∵
EF
∥
AD
，
AD
∥
BC
，
∴
EF
∥
AD
∥
BC
.
OEAEOFDF
∵
EF
∥
BC
，∴＝，＝.
BCABBCDC
【解析方法代码108001160】

∵
EF
∥
AD
∥
BC
，∴
AE
＝
DF
ABDC
.
∴
OE
BC
＝
OFBC
，∴
OE
＝
OF
.
(2)∵
OE
∥
AD
，∴
OEBE
AD
＝
AB
.
由(1)知，
OE
BC
＝
AE
AB
，
∴
OEOEBEAEBE
＋
AE
AD
＋
BC
＝
AB
＋
AB
＝
AB
＝1.
(3)证明：由(2)知OEOE
2
OE
2
OE
AD
＋
BC
＝ 1，∴
AD
＋
BC
＝2.
又
EF
＝2
O E
，∴
EFEF
AD
＋
BC
＝2，
∴
1
AD
＋
1
BC
＝
2
EF
.

18．一块直角三角形木板，如图所示，∠
C
＝90°，
AB
＝5 cm，
BC
＝3 cm，
AC
＝4 cm.
根据需要，要把它加工成 一个面积最大的正方形木板，设计一个方案，应怎样裁才能使
正方形木板面积最大，并求出这个正方形木 板的边长．
解析： 如图(1)所示，设正方形
DEFG
的边长为
x
cm，过点
C作
CM
⊥
AB
于
M
，交
DE
于
N
，
因为
S
11
△
ABC
＝
2
AC
·
BC
＝
2
AB
·
CM
，
所以
AC
·
BC
＝
AB
·
CM
，
即4×3＝5·
CM
，所以
CM
＝
12
5
.
因为
DE
∥
AB
，所以△
CDE
∽△
CAB
.
12
－
x
所以
CNDE
5
x< br>CM
＝
AB
，即
12
＝
5
.
5
所以
x
＝
60
37
.
如图(2)所示，设正方形
CDEF
的边长为
y
cm，

因为
EF
∥
AC
，
所以△
BEF
∽△
BAC
.
所以
BF
B C
＝
EF
AC
，即
3－
y
3
＝
y
12
4
，所以
y
＝
7
.
因为
x
＝
60
37
，
y
＝
12
7
＝60
35
，所以
x
<
y
.
所以当按图(2)的方法裁剪时，正方形面积最大，其边长为
12
7
cm.