高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式学案含解析新人教A版选修4_5

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不 等式三排序不等式学
案含解析新人教A版选修4_5



1．顺序和、乱序和、反序和

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两 组实数，c1，c2，…，
cn是b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋an bn为这
两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋
anb1 为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)，称a1c1＋a2c2
＋…＋ancn为这两个实数组的 乱序积之和(简称乱序和)．

2．排序不等式(排序原理)

定理：(排序不等式，又称为排序原理) 设a1≤a2≤…≤an，
b1≤b2≤…≤bn为 两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的
任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋… ＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋
ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反 序和等于顺序和)?a1
＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.

排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．


用排序不等式证明不等式(所证不等式中字母大小顺序已确定)
已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：＋＋≥＋＋.

分析题目中已明确a≥b≥c ，所以解答本题时可直接构造两个
数组，再用排序不等式证明即可．

∵a≥b>0，∴≤.

又c>0，从而≥.

同理≥，从而≥≥.

又由于顺序和不小于乱序和，故可得

邴原少 孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其 不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资 也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一 字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读 书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

a5a5
＋＋≥＋＋

b3c3a3b3
?
＝＋＋
b3
?
?
∵a2≥b2≥c2，
c3
≥
b3
≥a3
?

??
a2
111
≥＋＋＝＋＋
b

＝＋＋.

∴原不等式成立．

利用排序不等式证明不等式的技巧在 于仔细观察、分析所要证明
的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的
两个数组．

1．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋
sin γcos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在为增函数，y＝cos x在
为减函数，

∴0cos β>cos γ>0.

∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α
＋sin β·cos β＋sin γcos γ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.

证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤xn.

由排序原理，得12＋x2＋x4＋ …＋x2n≥1·xn＋x·xn－1＋…
＋xn－1·x＋xn·1，

即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn.①

又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列，

由排序原理，得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1

≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，

得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn.②

邴原少孤，数岁时，过书 舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得 学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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