2017-2018学年高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.2 排序不等式训练 北师大版选修4-5

大道之行也，天下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有 所用，幼有所长，矜、寡、孤、独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不 出于身也，不必为己。
2.2 排序不等式
一、选择题
1.有三个房间需要粉刷， 粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.
已知三个房间的粉刷面积(单位：m )分别为
x
，
y
，
z
，且
x
＜
y
＜
z
，三种颜色涂料的粉刷费
用(单位：元m)分别为
a
，
b
，
c
，且
a
＜
b
＜
c
.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)
是( )
A.
ax
＋
by
＋
cz

C.
ay
＋
bz
＋
cx

B.
az
＋
by
＋
cx

D.
ay
＋
bx
＋
cz

2
2
解析 法一 用特值法进行验证.令
x
＝1，
y
＝2，
z
＝3，
a
＝1，
b
＝2，
c
＝ 3.A项：
ax
＋
by
＋
cz
＝1＋4＋9＝14；B项：
az
＋
by
＋
cx
＝3＋4＋3＝10；C项：
a y
＋
bz
＋
cx
＝2＋6＋3＝11；
D项：
ay
＋
bx
＋
cz
＝2＋2＋9＝13.故选B.
法二 由顺序和≥乱序和≥反序和.可得
az
＋
by
＋
cx
最小.
答案 B
二、填空题
a
2
a
2
a
2< br>a
2
12
n
－1
n
2.设
a
1，
a
2
，
a
3
，…，
a
n
为 正数，那么
P
＝
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
与
Q
＝＋＋…＋＋的大小
a
2
a
3
a
n
a
1
关系是________.
1111
解析 假设
a
1
≥
a
2
≥
a
3
≥…≥
a
n
，则≥≥…≥≥，
a
n
a
n
－1
aa
1
并且
a
1
≥
a
2
≥
a
3
≥…≥
a
n
，
222 2
a
2
a
2
a
2
a
2
123n
P
＝
a
1
＋
a
2
＋
a3
＋…＋
a
n
＝＋＋＋…＋，
a
1
a
2
a
3
a
n
是反顺和，
Q
是乱顺和，由排序不等 式定理
P
≤
Q
.
答案
P
≤
Q

三、解答题
a
2
a
2
a
2
a
2
12
n
－1
n
3.设
a
1
，
a< br>2
，…，
a
n
为正数，求证：＋＋…＋＋≥
a
1＋
a
2
＋…＋
a
n
.
a
2
a
3
a
n
a
1
证明 不妨设
a
1
>
a
2
>…>
a
n
>0，则 有
a
1
>
a
2
>…>
a
n

111
也有<<…<，由排序原理：乱序和≥逆序和，得：
222
a
1
a
2
a
n
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
12
n
12< br>n
＋＋…＋≥＋＋…＋＝
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
.
a
2
a
3
a
1
a
1
a
2
a
n
4.设
A
、
B、
C
表示△
ABC
的三个内角的弧度数，
a
，
b
，
c
表示其对边，求证：
aA
＋
bB
＋
cC
π
≥.
a
＋
b
＋
c
3
证明 法一 不妨设
A
>
B
>
C
，则有
a
>b
>
c
，由排序原理：顺序和≥乱序和.
∴
aA
＋< br>bB
＋
cC
≥
aB
＋
bC
＋
cA< br>；
aA
＋
bB
＋
cC
≥
aC
＋bA
＋
cB
；

1

大道之行也，天 下为公，选贤与能，讲信修睦。故人不独亲其亲，不独子其子，使老有所终，壮有所用，幼有所长，矜、寡、孤、 独、废疾者皆有所养，男有分，女有归。货恶其弃于地也，不必藏于己；力恶其不出于身也，不必为己。
aA
＋
bB
＋
cC
＝
aA
＋
bB
＋
cC
.上述三式相加得
3(
aA
＋
bB
＋cC
)≥(
A
＋
B
＋
C
)(
a
＋
b
＋
c
)＝π(
a
＋
b
＋
c
).
∴
aA
＋
bB
＋
cC
π
≥.
a
＋
b
＋
c
3
法二 不妨设
A
>
B
>
C
，则有
a
>
b
>
c
，
由排序不等式
aA
＋
bB
＋
cCA
＋
B
＋
Ca
＋
b
＋
c
3
≥
3·
3
，
π
aA
＋
bB
＋
cC
π
即
aA
＋
bB
＋
cC
≥(
a
＋
b
＋
c
)，∴≥.
3
a
＋
b
＋
c
3
5.设
a
，
b
，
c
为正数 ，利用排序不等式证明
a
＋
b
＋
c
≥3
abc.
证明 不妨设
a
≥
b
≥
c
>0，∴
a
≥
b
≥
c
，
由排序原理：顺序和≥逆序和，得： < br>222
333
a
3
＋
b
3
≥
a2
b
＋
b
2
a
，
b
3
＋c
3
≥
b
2
c
＋
c
2
b，
c
3
＋
a
3
≥
a
2
c＋
c
2
a
，
三式相加得2(
a
＋
b
＋
c
)≥
a
(
b
＋
c
)＋
b
(
c
＋
a
)＋
c
(
a
＋b
).
又
a
＋
b
≥2
ab
，
b
＋
c
≥2
bc
，
c
＋
a
≥2
ca
.
所以2(
a
＋
b
＋
c
) ≥6
abc
，
∴
a
＋
b
＋
c
≥3
abc
.
当且仅当
a
＝
b
＝
c
时，等号成立.
3 33
333
222222
333222222
a
＋
b
＋
c
6.设
a
，
b
，
c
是正实数，求证 ：
abc
≥(
abc
)
abc
3
.
证明 不妨设
a
≥
b
≥
c
>0，则lg
a
≥lg
b
≥lg
c
.
据排序不等式有：
a
lg
a
＋
b
lg
b
＋
c
lg
c
≥
b
lg
a
＋
c
lg
b
＋
a
lg
c

a
lg
a
＋
b
lg
b
＋
c
lg
c
≥
c
lg
a
＋
a
lg
b
＋
b
lg
c

a
lg
a
＋
b
lg
b
＋
c
lg
c
＝
a
lg
a
＋
b
lg
b
＋
c
lg
c

上述三式相加得：
3(
a
lg
a
＋
b
lg
b
＋
c
lg
c
)≥(
a
＋
b
＋
c
)(lg
a
＋lg
b
＋lg
c
)，
即lg(
abc
)≥
abc
abc
a
＋
b
＋
c3
3
lg(
abc
).
. 故
abc
≥(< br>abc
)
a
＋
b
＋
c
7.设
xi
，
y
i
(
i
＝1，2，…，
n
) 是实数，且
x
1
≥
x
2
≥…≥
x
n
，
y
1
≥
y
2
≥…≥
y
n
，而
z
1
，
z
2
，…，
z
n
是
y
1
，
y
2
，…，
y
n
的一个排列.
n
2
n
2
求证：∑ (
x
i
－
y
i
)≥∑ (
x
i
－
z
i
).
i
＝1
i
＝1
n
2
n
2
证明 要证∑ (
x
i
－
y
i
)≥∑ (
x
i
－
z
i
)
i
＝1
i
＝1

2