高中数学公式选修3-1-高中数学方式大全
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.3
三个正数的算术—几何平均不等式
[A级 基础巩固]
一、选择题
1
.正实数
x
,
y
,
z
满足
xyz
=2,则
( )
A.
x
+
y
+
z
的最大值是32
3
B.
x
+
y
+
z
的最大值是32
C.
x
+
y
+
z
的最小值是32
3
D.
x
+
y
+
z
的最小值是32 33
解析:由三个正数的算术—几何平均不等式,得
x
+
y
+<
br>z
≥3
xyz
=32,当且仅当
x
33
=
y
=
z
=2时,
x
+
y
+
z
取得最
小值32.
答案:D
2.设
x
,
y
,
z
为正数,且
x
+
y
+
z
=6,则lg
x
+lg
y
+lg
z
的取值范围是( )
A.(-∞,lg 6)
C.[lg 6,+∞)
解析:因为
x
,
y
,
z
为正数,
B.(-∞,3lg 2]
D.[3lg 2,+∞)
?
x
+<
br>y
+
z
?
=2
3
.
所以
xyz
≤
??
?
3
?
所以lg
x
+lg
y
+lg
z
=lg
xyz
≤lg 2=3lg
2,当且仅当
x
=
y
=
z
=2时,等号成立.
答案:B
3.若
a
>
b
>0,则
a
+
A.0
C.2
1
的最小值为( )
b
(
a
-
b
)
B.1
D.3
3
3
解析:因为
a
+
3
3
11
=(
a
-
b
)+
b
+≥
b
(
a
-
b
)
b
(
a
-
b
)
11
=3,当且仅当
a
=2,
b
=1
时取等号,所以
a
+
b
(
a
-
b
)
b
(
a
-
b
)
(
a
-
b
)·
b
·
的最小值为3.
答案:D
1
??
2
4.函数
y
=
x
(1-5
x
)
?
0<
x
<
?
的最大值是( )
5
??
A.4
C.
4
675
B.
2
15
5
D.
2
1
解析:由0<
x
<得1-5
x
>0,
5
?
x
+
x
+
2
-2
x
?3
4
2
55
??
?
=.
5
y
=
x
2
(1-5
x
)=·
x
·
x
·
?
-2
x
?
≤·
?
?
6752
?
5
?
2
?
3
??
答案:C
5.已知
x
+2
y
+3
z
=6,则2+4+8的最小值为( )
3
A.36
C.12
B.22
3
D.125
xyz
3
6
xyzx
2
y
3
z
解
析:2+4+8=2+2+2≥32=12.
当且仅当
x
=2
y
=3
z
=2时等号成立.
答案:C
二、填空题
6.正项等比数列{
a
n
}中,<
br>a
2
=9,则
a
1
+
a
2
+
a
3
的最小值为________.
33
3
解析:
a<
br>1
+
a
2
+
a
3
≥3
a
1
a
2
a
3
=3
a
2
=3
a
2
=27,当且仅当
a
1
=
a
2
=
a<
br>3
时取等号.
答案:27
7.若
a
,
b
,
c
,
d
为正数,则+++的最小值为________.
4
bcdabcda
解析:由基本不等式的推广可得,+++≥4 ···=4,当且
仅当
a
=
b
abcdabcd
=
c
=
d<
br>时,等号成立.
答案:4
bcda
abcd
8.函数
y
=4sin
x
·cos
x
的最大值为_______,最小值为______.
解析:因为
y
=16sin
x
·sin
x
·cos
x
=8(sin
x
·sin
x
·2cos
x
)≤
2222222
2
?
sin
x
+sin
x
+2cos
x
?
=8×
8
=
64
,所以
y
2
≤
64
,
8
??
3
272727
??
当且仅当sin
x
=2cos
x
,即tan
x
=±2时取等号. 88
所以
y
max
=3,
y
min
=-3.
99
88
答案:3 -3
99
三、解答题
9.
θ
为锐角,求
y
=sin
θ
·cos
θ
的最大值.
11
?
2
?<
br>4
2222222
解:
y
=sin
θ
cos
θ
cos
θ
=·2sin
θ
(1-sin
θ
)(1
-sin
θ
)≤
??
=.
22
?
3
?<
br>27
当且仅当2sin
θ
=1-sin
θ
,即sin
θ
=
23
所以
y
max
=.
9
22
3
2
22
222
3
3
时取等号.
3
?
111
?
10.已知
a
,
b
,
c
均为正数,证明:
a
+
b
+
c
+
?++
?
≥63,并确定
a
,
b
,
c
为
?
abc
?
222
2
何值时,等号成立.
2证明:因为
a
,
b
,
c
均为正数,由算术—几何平均不
等式,得
a
+
b
+
c
≥3(
abc
)3
,①
222
1111
++≥3(
abc
)-. <
br>abc
3
2
?
111
?
所以
?
++
?
≥9(
abc
)-.②
3
?
abc
?
2
?
111
?
故
a
+
b
+
c
+
?
++
?
≥3(
abc
)
3
+9(
abc
)-.
3
?
abc
?
2222
2
2
2
2
又3(
abc
)
3
+9(
abc
)-≥227=63,③
3
所以原不等式成立.
当且仅当
a
=
b
=
c
时,①式和②式等号成立.
2
2
当且仅当3(
abc
)
3
=9(
ab
c
)-时,③式等号成立.
3
4
即当且仅当
a
=
b
=
c
=3时,原式等号成立.
B级
能力提升
1.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为
V
,则下列总成立的是( )
A.
V
≥π
1
C.
V
≥π
8
B.
V
≤π
1
D.
V
≤π
8
6-4
r
6-4
r
2
解析:设圆柱半径为
r,则圆柱的高
h
=,所以圆柱的体积为
V
=π
r
·h
=π
r
2
·
22
=π
r
(3-2<
br>r
)≤
2
?
r
+
r
+3-2
r
?
=π.
π
??
3
??
当且仅当
r
=3-2
r
,即
r
=1时取等号.
答案:B
2.若
a
>2,
b
>3,则
a
+
b
+
1
的最小值为______.
(
a
-2)(
b
-3)
3
解析:因为
a<
br>>2,
b
>3,所以
a
-2>0,
b
-3>0, <
br>则
a
+
b
+
3
5≥3
11
=(a
-2)+(
b
-3)++
(
a
-2)(
b<
br>-3)(
a
-2)(
b
-3)
1
(
a
-2)×(
b
-3)×+5=8.
(
a
-2)(
b-3)
1
当且仅当
a
-2=
b
-3=,即
a<
br>=3,
b
=4时等号成立.
(
a
-2)(
b
-3)
答案:8
3.如图,在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,灯挂得太高了,
桌
子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知,桌子边缘
一点处的亮度<
br>E
和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角
θ
的正弦成正比,而和这一点到光<
br>源的距离
r
的平方成反比,即
E
=
k
sin
θ
,这里
k
是一个和灯光强度有关的常数.那么应该
r
2
怎样选择灯的高度
h
,才能使桌子边缘处最亮?
2
解:因为
r
=,
cos
θ
2
π
sin
θ
cos
θ
?
0
<
θ
<
?
所以
E
=
k
·,
?
2
?
4
??
所以<
br>E
=
2
k
2
16
·sin
θ
·co
s
θ
=
2
24
k
2
32
·(2sinθ
)·cos
θ
·cos
θ
≤
222
?
2sin
θ
+cos
θ
+cos
θ
?
=
k
, ·
??
108
3
32
??
当且仅当2sin
θ
=cos
θ
时取等号,
12
2
即tan
θ
=,tan
θ
=,
22
所以
h
=2tan
θ
=2,即
h
=2时,
E
最大.
所以当灯的高度
h
为2 m时,才能使桌子边缘处最亮.
22
k
2
22
3
2