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2020秋高中数学1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式课堂演练含解析人教A版选修4_5

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 07:45
tags:高中数学选修4-5

高中数学公式选修3-1-高中数学方式大全

2020年10月7日发(作者:车婉婉)



第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式

[A级 基础巩固]
一、选择题
1 .正实数
x

y

z
满足
xyz
=2,则 ( )
A.
x

y

z
的最大值是32
3
B.
x

y

z
的最大值是32
C.
x

y

z
的最小值是32
3
D.
x

y

z
的最小值是32 33
解析:由三个正数的算术—几何平均不等式,得
x

y
+< br>z
≥3
xyz
=32,当且仅当
x
33

y

z
=2时,
x

y

z
取得最 小值32.
答案:D
2.设
x

y

z
为正数,且
x

y

z
=6,则lg
x
+lg
y
+lg
z
的取值范围是( )
A.(-∞,lg 6)
C.[lg 6,+∞)
解析:因为
x

y

z
为正数,
B.(-∞,3lg 2]
D.[3lg 2,+∞)
?
x
+< br>y

z
?
=2
3
. 所以
xyz

??
?
3
?
所以lg
x
+lg
y
+lg
z
=lg
xyz
≤lg 2=3lg 2,当且仅当
x

y

z
=2时,等号成立.
答案:B
3.若
a

b
>0,则
a

A.0
C.2
1
的最小值为( )
b

a

b

B.1
D.3
3
3



解析:因为
a

3
3
11
=(
a

b
)+
b
+≥
b

a

b

b

a

b

11
=3,当且仅当
a
=2,
b
=1 时取等号,所以
a

b

a

b

b

a

b


a

b
)·
b
·
的最小值为3.
答案:D
1
??
2
4.函数
y

x
(1-5
x
)
?
0<
x
<
?
的最大值是( )
5
??
A.4
C.
4

675
B.
2

15
5
D.
2
1
解析:由0<
x
<得1-5
x
>0,
5
?
x

x

2
-2
x
?3
4
2
55
??
?
=.
5
y

x
2
(1-5
x
)=·
x
·
x
·
?
-2
x
?
≤·
?
?
6752
?
5
?
2
?
3
??
答案:C
5.已知
x
+2
y
+3
z
=6,则2+4+8的最小值为( )
3
A.36
C.12
B.22
3
D.125
xyz
3
6
xyzx
2
y
3
z
解 析:2+4+8=2+2+2≥32=12.
当且仅当
x
=2
y
=3
z
=2时等号成立.
答案:C
二、填空题
6.正项等比数列{
a
n
}中,< br>a
2
=9,则
a
1

a
2

a
3
的最小值为________.
33
3
解析:
a< br>1

a
2

a
3
≥3
a
1
a
2
a
3
=3
a
2
=3
a
2
=27,当且仅当
a
1

a
2

a< br>3
时取等号.
答案:27
7.若
a

b

c

d
为正数,则+++的最小值为________.
4
bcdabcda
解析:由基本不等式的推广可得,+++≥4 ···=4,当且 仅当
a

b
abcdabcd

c

d< br>时,等号成立.
答案:4

bcda
abcd



8.函数
y
=4sin
x
·cos
x
的最大值为_______,最小值为______.
解析:因为
y
=16sin
x
·sin
x
·cos
x
=8(sin
x
·sin
x
·2cos
x
)≤
2222222
2
?
sin
x
+sin
x
+2cos
x
?
=8×
8

64
,所以
y
2

64
, 8
??
3
272727
??
当且仅当sin
x
=2cos
x
,即tan
x
=±2时取等号. 88
所以
y
max
=3,
y
min
=-3.
99
88
答案:3 -3
99
三、解答题
9.
θ
为锐角,求
y
=sin
θ
·cos
θ
的最大值.
11
?
2
?< br>4
2222222
解:
y
=sin
θ
cos
θ
cos
θ
=·2sin
θ
(1-sin
θ
)(1 -sin
θ
)≤
??
=.
22
?
3
?< br>27
当且仅当2sin
θ
=1-sin
θ
,即sin
θ

23
所以
y
max
=.
9
22
3
2
22
222
3
3
时取等号.
3
?
111
?
10.已知
a

b

c
均为正数,证明:
a

b

c

?++
?
≥63,并确定
a

b

c

?
abc
?
222
2
何值时,等号成立.
2证明:因为
a

b

c
均为正数,由算术—几何平均不 等式,得
a

b

c
≥3(
abc
)3
,①
222
1111
++≥3(
abc
)-. < br>abc
3
2
?
111
?
所以
?
++
?
≥9(
abc
)-.②
3
?
abc
?
2
?
111
?

a

b

c

?
++
?
≥3(
abc
)
3
+9(
abc
)-.
3
?
abc
?
2222
2
2
2
2
又3(
abc
)
3
+9(
abc
)-≥227=63,③
3
所以原不等式成立.
当且仅当
a

b

c
时,①式和②式等号成立.
2
2
当且仅当3(
abc
)
3
=9(
ab c
)-时,③式等号成立.
3
4
即当且仅当
a

b

c
=3时,原式等号成立.



B级 能力提升
1.已知圆柱的轴截面周长为6,体积为
V
,则下列总成立的是( )
A.
V
≥π
1
C.
V
≥π
8
B.
V
≤π
1
D.
V
≤π
8
6-4
r
6-4
r
2
解析:设圆柱半径为
r,则圆柱的高
h
=,所以圆柱的体积为
V
=π
r
·h
=π
r
2
·
22
=π
r
(3-2< br>r
)≤
2
?
r

r
+3-2
r
?
=π. π
??
3
??
当且仅当
r
=3-2
r
,即
r
=1时取等号.
答案:B
2.若
a
>2,
b
>3,则
a

b

1
的最小值为______.

a
-2)(
b
-3)
3
解析:因为
a< br>>2,
b
>3,所以
a
-2>0,
b
-3>0, < br>则
a

b

3
5≥3
11
=(a
-2)+(
b
-3)++

a
-2)(
b< br>-3)(
a
-2)(
b
-3)
1

a
-2)×(
b
-3)×+5=8.

a
-2)(
b-3)
1
当且仅当
a
-2=
b
-3=,即
a< br>=3,
b
=4时等号成立.

a
-2)(
b
-3)
答案:8
3.如图,在一张半径是2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道,灯挂得太高了,
桌 子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知,桌子边缘
一点处的亮度< br>E
和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角
θ
的正弦成正比,而和这一点到光< br>源的距离
r
的平方成反比,即
E

k
sin
θ
,这里
k
是一个和灯光强度有关的常数.那么应该
r
2
怎样选择灯的高度
h
,才能使桌子边缘处最亮?

2
解:因为
r
=,
cos
θ
2
π
sin
θ
cos
θ
?
0 <
θ

?
所以
E

k
·,
?
2
?
4
??



所以< br>E

2
k
2
16
·sin
θ
·co s
θ

2
24
k
2
32
·(2sinθ
)·cos
θ
·cos
θ

222
?
2sin
θ
+cos
θ
+cos
θ
?

k
, ·
??
108
3
32
??
当且仅当2sin
θ
=cos
θ
时取等号,
12
2
即tan
θ
=,tan
θ
=,
22
所以
h
=2tan
θ
=2,即
h
=2时,
E
最大.
所以当灯的高度
h
为2 m时,才能使桌子边缘处最亮.

22
k
2
22
3
2

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