高中数学第二章几个重要的不等式2-1柯西不等式练习北师大版选修4_5

高中数学第二章几个重要的不等式2-1柯西不等式练习北师大版
选修4_5



课后篇巩固探究

A组

1.若a2+b2=2,则a+b的最大值为()

A.1 B. C.2 D.4

解析:由柯西不等式可得(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,即(a+b )2≤4,当且仅当
a=b=1时等号成立,所以-2≤a+b≤2,即a+b的最大值为2.

答案:C

2.若x2+y2+z2=1,则x+y+z的最大值等于()
A.2 B.4 C. D.8


解析:由柯西不等式可得[12+12+()2](x2+y2+z2)≥ (x+y+z)2,即
(x+y+z)2≤4,当且仅当x=,y=,z=时等号成立,因此x+y+z ≤2,即x+y+z的
最大值等于2.
答案:A


3.设a,b,c均为正数,且a+b+c=9,则的最小值为()
A.81 B.49 C.9 D.7

解析:由柯西不等式可得(a+b+c)·81= 9,当且仅当,即a=2,b=3,c=4时等号
成立,故所求最小值为
9.
答案:C

4.函数y=+2的最大值是()
A. B. C.3 D.5




解析:根据柯西不等式,知y=1×+2×
≤,
当且仅当=2, 即x=时,等号成立.
答案:B



5.设a,b∈R,且a2+b2=5,则3a+b的最小值为()

A.5
C.-50
B.-5
D.-5


解析:令α=(a,b),β=(3,1),则α·β=3a+b,|α|=,|β|=.
< br>由柯西不等式的向量形式可得|α·β|≤|α||β|,所以|3a+b|≤=5,
当且仅当a =,b=时等号成立,因此-5≤3a+b≤5,即3a+b的最小值为-
5.
答案:D