2013年高考数学试题(22)选修4-4参数方程与极坐标

2013年全国高考数学试题分类解析——参数方程与极坐标
1.（安徽理科第5题）在极坐标系中，点
(?,
?
?
)
到圆
?
?2cos
?
的圆心的距离为
（A）2 (B)
4?
答案：D
?
2
9
(C)
1?
?
2
9
（D)
3

解：分别化为直角坐标进行计算，
(2,
?
3
)
化为直角坐标是< br>(1,3)
，圆
?
?2cos
?
的直
角坐标方程是< br>x
2
?y
2
?2x?0
，圆心的坐标是
(1,0)< br>，故距离为
3
。
2.（北京理科第3题）
在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
(A)
(1,
?
2
)
(B)
(1,?
?
2
)
(C) (1,0) (D)(1，
?
)
解：将极坐标方程化为普通方程得：
x
2
?y
2
?2y?0
，圆心的坐标为
(0,?1)

其极坐标为
(1,
3
?
2
)
，选B
3.（福建理科）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
xOy
中， 直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
?
?
x?
?
3 cosa
?
?
y?sina
.
（I）已知在极坐标（与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正
半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，
π
2
），判断点P与直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
解：（１）把极坐标下的点
(4,
以点Ｐ在直线
l
上。
（ ２）因为点Ｑ在曲线Ｃ上，故可设点Ｑ的坐标为
(3sin
?
,cos
?)
，从而点Ｑ到直线
l
的
距离为
3cos
?
?sin
?
?4|
2
2cos(
?
?
?
2
?
2
)
化为直角坐标得：
P(0,4)
又点Ｐ的坐标满足直 线方程，所
?
6

d?
|
)?4
?2cos(?
?
?
6
)?22
，因此当
)??1
时，d
去到最小值，且最小值为
2
。
6
4.（广东理科、文科）（ 坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为
co
?
s(?
5
2
?
?
x?t
?
x?5cos
?
?
和
(t?R)
，它们的交点坐标为___________．
(0≤
?
?
?
)
4
?
?
?
?
y?t
?< br>y?sin
?
?

?

2013年全国高考数学试题分类解析——参数方程与极坐标

14．
(1,
25
5
)
．
2
?
x?5cos
?
x
?
2
表示椭圆
?y?1
(?5? x?
?
5
?
?
y?sin
?
5
2
?
?
x?t
5且0?y?1)
，
?
4
表示抛物?
y?t
?
线
y
2
?
4
5
x

?
x
2
2
?y?1(?5?x?
?
?< br>5
?
?
y
2
?
4
x
?
5< br>?
5且0?y?1)
，
?x?4x?5?0?x?1
或
x? ?5
（舍去）
2
又因为
0?y?1
，所以它们的交点坐标为
(1,
25
5
)

?
x?cos
?
,5.（湖南理科）在直角坐标系
xoy
中，曲线C
1
的参数方程为
?
（
?
为参数），
y?1?sin
?
?
在极坐标 系（与直角坐标系
xoy
取相同的长度单位，且以原点O为极点，以
x
轴正半 轴为极
轴）中，曲线
C
2
的方程为
?
?
cos?
?sin
?
?
?1?0
，则
C
1
与
C
2
的交点个数为 。
答案：2
22
解析： 曲线
C
1
:x?(y?1)?1
，
C
2
:x?y? 1?0
，由圆心到直线的距离
d?
|0?1?1|
2
?0?1
，故
C
1
与
C
2
的交点个数为2.
?
?
x?2cos
?
6．（湖南文科）在直角坐标系
xOy
中，曲线< br>C
1
的参数方程为
?
(
?
为参数)
．在?
?
y?3sin
?
极坐标系（与直角坐标系
xOy
取 相同的长度单位，且以原点
O
为极点，以
x
轴正半轴为极
轴）中，曲 线
C
2
的方程为
?
(cos
?
?sin
?
)?1?0,
则
C
1
与
C
2
的交点个数为 ．
答案：2
解析：曲线
C
1
:
x
2
4
?
y
2
3
?1
，曲线
C
2
:x? y?1?0
，联立方程消
y
得
7x?8y?8?0
，
2易得
??0
，故有2个交点。
7.（江西理科）（坐标系与参数方程选做题）若 曲线的极坐标方程为
?
?2sin
?
?4cos
?
，

2013年全国高考数学试题分类解析——参数方程与极坐标
以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为 .
答案：
x
2
?y
2
?4x?2y?0
。解析：做坐 标系与参数方程的题，大家只需记住两点：1、
x?
?
?cos
?
, y?
?
?sin
?
，2、
?
2
?x?y
即 可。根据已知
22
?
?2sin
?
?4cos
?
=
2?
y
?
2
?4
x
?
,化简可得：
?
?2y?4x?x?y,

222
所以解析式为：
x?y?4x?2y?0

2
?
x??1?tcos
?
8.（浙江理科）已知直线
l :
?
，
(t
为参数，
?
为
l
的倾斜角，且
0?
?
?
?
)
?
y?tsin
?
与曲线
C:
?
?
x?2cos
?
?
y?sin< br>?
(
?
为参数
)
相交于A、B两点，点
F
的 坐标为
(1,0)

（1）求
?ABF
的周长；
（2）若点
E(?1,0)
恰为线段
AB
的三等分点， 求
?ABF
的面积。
x
2
解：（1）将曲线C消去
?
可得：
2
?y?1
，直线
l
过曲线C的左焦点
F
?
(?1,0)
，
2
由椭圆的定义可知
?ABF
为
|AB|?|AF|?|BF|?|AF
?
|?|BF
?
|?|AF|?|BF|


?(|AF
?
|?|AF|)?(|B F
?
|?|BF|)?2a?2a?4a?42

（2）可设直线
l
的方程为
x?ky?1
，若点
E(?1,0)
为线段AB
的三等分点，不妨设

AE?2EB
，
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
?y
1
?2y
2

?
x
2
?2y
2
?2?0
22
联立
?
，消去
x
得：
(k?2)y?2ky?1?0
?
x?ky?1
2k
?
y?y??y?
122
2
?
2
?
k?2
2
则
?
，消去
y
2
得：
k?

7
?
yy??2y
2
??
1
122
2
?
k?2
?
8(k?1)
k?2
2
2
此时
|y
1
?y
2
|??
22?1?k
k?2
2
2
?
314
8

所以
S
?ABF
?
1< br>2
?|EF|?|y
1
?y
2
|?
314
8

2013年全国高考数学试题分类解析——参数方程与极坐标 < br>?
x?cos
?
9（辽宁理、文）在平面直角坐标系
xOy
中 ，曲线
C
1
的参数方程为
?
，
(
?
为参数 ）
?
y?sin
?
?
x?acos
?
曲线
C
2
的参数方程为
?
。在以
O
为极点，
x
轴的正半轴为
(a?b?0,
?
为参数）
y?bsin
?
?
极轴的极坐标系中，射线
l
：
?
?
?
与
C
1
，
C
2
各有一个交点。当
?
?0
时，这 两个交点间
的距离为2，当
?
?
?
2
时，这两个交点重合。
（1）分别说明
C
1
，
C
2
是什么曲线，并求出< br>a
与
b
的值；
(2)设当
?
?
?
4
时，
l
与
C
1
，
C
2
的交点 分别为
A
1
,B
1
，当
?
??
?
4
时，
l
与
C
1
，
C
2
的交点 为
A
2
,B
2
，求四边形
A
1
A
2
B
2
B
1
的面积。
解：（1）
C
1< br>是圆，
C
2
是椭圆。当
?
?0
，射线
l与
C
1
，
C
2
的交点的直角坐标分别是
(1 ,0),(a,0)
，这两个交点间的距离为2，
?a?3
，当
?
?
?
2
时，射线
l
与
C
1
，
C2
的交点的
直角坐标分别是
(0,1),(0,b)
，
?b?1

x
2
（2）
C
1
，
C
2
的普通方程分别是
x?y?1,
22
9
?y?1
，当
?< br>?
2
?
4
时，射线
l
与
C
1
，
C
2
的
交点
A
1
,B
1
的横 坐标分别是
x?
2
2
，x
?
?
310
10
，当
?
??
?
4
时，射线
l
与
C
1
，
C
2
的两个
交点
A
2
,B
2
分别与
A
1
,B
1
关于
x
轴对 称，所以四边形
A
1
A
2
B
2
B
1
是梯形，
故
S
AA
12
B
2
B
1?
(2x
?
?2x)(x
?
?x)
2
?
2
5

?
x?8t
2
,
10（天津理1 1）已知抛物线
C
的参数方程为
?
（
t
为参数）若斜率为1 的
?
y?8t.
直线经过抛物线
C
的焦点，且与圆
?x?4
?
?y?r(r?0)
相切，
22
2
则
r
=________.
答案：
2

解：抛物线的标准方程为
y?8x
，它的焦点坐 标是
F(2,0)
，所以直线的方程是
y?x?2
，
圆心到直线的距 离为
2

2

2013年全国高考数学试题分类解析——参数方程与极坐标
11（全国课标 理、文）在直角坐标系
xoy
中，曲线
C
1
的参数方程为
?
x?2cos
?
（
?
为参数）
?
?< br>y?2?2sin
?
?????????
M
是
C
1< br>上的动点，
P
点满足
OP?2OM
,
P
点的轨迹为曲 线
C
2

(Ⅰ)求
C
2
的方程
(Ⅱ) 在以
O
为极点，
x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
?
?
点为
A
，与
C
2
的异于极点的交点为
B
，求
AB
.
xy
【解析】（I）设
P(x,y)
,则由条 件知
M(,)
.由于
M
点在
C
1
上，所以
22
?
x
?2cos
?
,
?
?
x?4c os
?
,
?
2
即
?
?
y?4?4 sin
?
.
?
?
y
?2?2sin
?
.< br>?
?2
?
3
与
C
1
的异于极点的交
从而
C
2
的参数方程为
?
?
x?4cos
?
?
y?4?4sin
?
（
?
为参数）
（Ⅱ）曲线
C
1
的极坐标方程为
?
?4sin
?
，曲线
C< br>2
的极坐标方程为
?
?8sin
?
.
射线
?
?
射线
?
?
?
3
与
C
1
的交点
A
的极径为
?
1
?4sin
与
C
2
的交点
B
的极径为
?
2
?8sin
?
3
，
.
?
3
?
3
所以
|AB|?|?
2
?
?
1
|?23
.
12（陕西理）（坐 标系与参数方程选做题）直角坐标系
xOy
中，以原点O为极点，
x
轴的正< br>?
x?3?cos
?
?
y?4?sin
?
半轴为极轴 建立极坐标系，设点A，B分别在曲线
C
1
：
?
（
?
为参数）和曲线
C
2
：
?
?1
上，则
|AB|< br>的最小值为 ．
【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．
【解】曲线< br>C
1
的方程是
(x?3)?(y?4)?1
，曲线
C
2
的方程是
x?y?1
，两圆外离，
所以
|AB|
的最小值 为
3?4?1?1?3
．
【答案】3
22
2222

2013年全国高考数学试题分类解析——参数方程与极坐标
13（陕西文1 7）直角坐标系
xOy
中，以原点O为极点，
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，
?
x?3?cos
?
?
y?sin
?
设点A， B分别在曲线
C
1
：
?
（
?
为参数）和曲线
C
2
：
?
?1
上，则
|AB|
的
最小值 为 ．
【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．
【解】曲线
C
1
的方程是
(x?3)
2
?y
2
?1
，曲线
C
2
的方程是
x
2
?y< br>2
?1
，两圆外离，所以
|AB|
的最小值为
3?0?1?1 ?1
．
22
【答案】1
14（上海理5）在极坐标系中，直线
?
(2cos
?
?sin
?
)?2
与直线
?
cos
?
?1
的夹角大
为 ．
（结果用反三角函数值表示）
【答案】
arctan
1
2

【解析】因为
x?
?
cos
?
,y?
?
s in
?
,
故直线的一般方程为：
2x?y?2,x?1,
夹角为arctan
1
2
．
?
x?5cos
?
?< br>y?3sin
?
15（江苏）在平面直角坐标系
xOy
中，求过椭圆< br>?
（
?
为参数）的右焦点，
?
x?4?2t
且与直线
?
（
t
为参数）平行的直线的普通方程．
y?3?t
?< br>解：椭圆的普通方程是
1
2
x
2
25
?
y< br>2
9
?1
，其右焦点是
F(4,0)
，直线的普通方程是y?3?(x?4)

1
2
(x?4)
，即
x?2y?4?0
。 则所求直线方程是
y?