2017-2018学年高中数学 第二章 几个重要的不等式 2.3.1 数学归纳法训练 北师大版选修4-5

最新中小学教案、试题、试卷
2.3.1 数学归纳法
一、选择题
1.设
f
(
n
)＝
A.
C.
1111
＋ ＋＋…＋(
n
∈N
＋
)，那么
f
(
n
＋1 )－
f
(
n
)等于( )
n
＋1
n
＋ 2
n
＋32
n
B.
D.
1

2
n
＋2
11
－
2
n
＋12
n
＋2
1

2
n
＋1
11
＋
2
n
＋12
n
＋2
1111
＋＋＋…＋
n
＋1
n
＋2
n
＋32
n
1111
解析
f
(
n
)＝
1
f
(
n
＋1)＝＋ ＋…＋＋＋
n
＋2
n
＋32
n
2
n
＋1 2
n
＋2
11111
∴
f
(
n
＋1)－< br>f
(
n
)＝＋－＝－，选D.
2
n
＋12
n
＋2
n
＋12
n
＋12
n
＋2
答案 D
2.用数学归纳法证明：“1＋
a
＋
a
＋…＋
a
A .1
C.1＋
a
＋
a

解析 当
n
＝1时，
a
n
＋1
2
2
n
＋1
1－
a
＝(
a
≠1)”在验证
n
＝1时，左端计算所得的项为( )
1－
a
B.1＋
a

D.1＋
a
＋
a
＋
a

23
n
＋2
＝
a
，
2
∴左边应为1＋
a
＋
a
，故选C.
答案 C
3.用数学归纳法证明：(
n
＋1)(
n
＋2)…·(
n< br>＋
n
)＝2×1×3…(2
n
－1)时，从“
k
到< br>k
＋1”左边需增乘的代
数式是( )
A.2
k
＋1
C.2(2
k
＋1)
k
n
2
B.
D.
2
k
＋1

k
＋1
2
k
＋2

k
＋1
解析
n
＝
k
时，(
k
＋1)(
k
＋2)…(< br>k
＋
k
)＝2×1×3×…×(2
n
－1).
n< br>＝
k
＋1时，(
k
＋2)…(
k
＋
k
)·(
k
＋1＋
k
)(
k
＋1＋
k
＋1 ).
（2
k
＋1）（2
k
＋2）
∴增乘的代数式是＝2( 2
k
＋1)，选C.
k
＋1
答案 C
二、填空题 < br>4.数列{
a
n
}中，已知
a
1
＝1，当
n
≥2时，
a
n
＝
a
n
－1
＋2
n
－1，依次计算
a
2
，
a
3
，
a
4
后，猜想
a
n
的表达式是________.
解析
a
1
＝1，
a
2
＝
a
1
＋3＝4，
a
3
＝4＋5＝9，
a
4
＝9＋7＝16，猜想
a
n
＝
n
.
答案
a
n
＝
n
< br>5.记凸
k
边形对角线的条数为
f
(
k
)(
k
≥4)，那么由
k
到
k
＋1时，对角线条数增加了_______ _条.
教案、试题、试卷中小学
1
2
2

最新中小学教案、试题、试卷
11
解析 ∵< br>f
(
k
)＝
k
(
k
－3)，
f(
k
＋1)＝(
k
＋1)(
k
－2)，
f(
k
＋1)－
f
(
k
)＝
k
－1.
22
答案
k
－1
1
6.在数列{
a
n
}中，
a
1
＝，且
S
n
＝
n
(2
n
－1)
a
n
.通过求
a
2
，
a
3
，
a
4
猜想
a
n
的表达式是_____ ___.
3
11
解析 ＋
a
2
＝2(2×2－1)
a
2
，
a
2
＝，
315
111
＋＋< br>a
3
＝3(2×3－1)
a
3
，
a
3
＝，
31535
1111
＋＋＋
a
4
＝4(2×4－1 )
a
4
，
a
4
＝，
3153563
1
猜想
a
n
＝.
2
（2
n
）－1
1
答案
a
n
＝
2
（2
n
）－1
三、解答题
7.求证：(
n＋1)·(
n
＋2)·…·(
n
＋
n
)＝2·1·3· 5·…·(2
n
－1) (
n
∈N
＋
).
证明 (1)当
n
＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2，
∴等式成立.
(2)假设
n
＝
k
(
k
∈N
＋
)时，等式成立.
即(
k
＋1)(
k
＋2)·…·(
k
＋
k
)＝2·1·3·5·…·(2
k
－1)成立.
那么当
n
＝
k
＋1时，
(
k
＋2)(< br>k
＋3)·…·(
k
＋
k
)(2
k
＋1)( 2
k
＋2)
＝2(
k
＋1)(
k
＋2)(
k
＋3)·…·(
k
＋
k
)(2
k
＋1) ＝2
k
＋1
k
n
·1·3·5·…·(2
k
－ 1)[2(
k
＋1)－1].
即
n
＝
k
＋1时等式成立.
由(1)、(2)可知对任意
n
∈N
＋
，等式都成立.
8 .求证：
1115
＋＋…＋>(
n
≥2，
n
∈N
＋
).
n
＋1
n
＋23
n
6
11115
证明 (1)当
n
＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立.
34566
(2)假设
n
＝
k
(
k
≥2 ，
k
∈N
＋
)时命题成立，即
11151
＋＋…＋>，则当
n
＝
k
＋1时，＋
k
＋1
k
＋23
k
6（
k
＋1）＋1
11111
＋…＋＋＋＋
（
k
＋1）＋23
k
3
k
＋13
k
＋23（
k
＋1）
＝
111
?
111
?
1
＋＋－
＋＋…＋＋
??

k
＋1
k
＋23
k?
3
k
＋13
k
＋23
k
＋3
k＋1
?
111
?
5
?
1
＋＋－
>＋< br>??

6
?
3
k
＋13
k
＋23< br>k
＋3
k
＋1
?
教案、试题、试卷中小学
2

最新中小学教案、试题、试卷
11
?
55
?
－
>＋
?
3×
?
＝，
6
?
3
k
＋3
k
＋1
?
6
所以当
n
＝
k
＋1时不等式也成立.
由(1)(2)可知，原不等式对一切
n
≥2，n
∈N
＋
均成立.
3
b
n
＋4
9. 在数列{
b
n
}中，
b
1
＝2，
b
n＋1
＝(
n
∈N
＋
).求
b
2
，b
3
，试判定
b
n
与2的大小，并加以证明.
2b
n
＋3
3
b
n
＋43×2＋41058
解 由
b
1
＝2，
b
n
＋1
＝，得
b
2
＝＝，
b
3
＝.
2
b
n
＋32×2＋ 3741
经比较有
b
1
＞2，
b
2
＞2，
b
3
＞2.
猜想
b
n
＞2(
n
∈N
＋
).
下面利用数学归纳法证明.
(1)当
n
＝1时，因
b
1< br>＝2，所以2＜
b
1
.
(2)假设当
n
＝
k
(
k
≥1，
k
∈N
＋
)时，结论成立，即2＜< br>b
k
.
∴
b
k
－2＞0.
当
n
＝
k
＋1时，
b
k
＋1
－2＝
3
b
k
＋4
－2
2
b
k
＋3
（3－22）
b
k
＋（4－32）（3－22）（
b
k
－2）
＝ ＝＞0.
2
b
k
＋32
b
k
＋3
∴b
k
＋1
＞2，也就是说，当
n
＝
k
＋1时， 结论也成立.
根据(1)、(2)，知
b
n
＞2(
n
∈N
＋
).
1
?
2
?
11
10.用数学归纳 法证明：当
n
∈N
＋
时，(1＋2＋3＋…＋
n
)
?
1＋＋＋…＋
?
≥
n
.
n
??
23
证明 (1)当
n
＝1时，左边＝1，右边＝1＝1，左边≥右边，不等式成立.
(2)假设
n
＝
k
(
k
≥1，
k
∈N
＋
)时不等式成立，
1
?
2
?
11
即(1＋2＋3＋…＋
k
)
?
1＋＋＋…＋
?
≥
k
，
k
??
23
则 当
n
＝
k
＋1时，左边＝[(1＋2＋…＋
k
)＋(
k
＋1)]·
2
??
1＋
1
＋
1
＋… ＋
1
?
＋
1
?
＝(1＋2＋3＋…＋
k
)
?
1＋
1
＋
1
＋…＋
1
?
＋(1 ＋2＋3＋…＋
k
)
1
＋(
k
＋
?
23< br>?
?
k
?
k
?
k
＋1
?
k
＋1
?
??
?
?
23
?
1
?k
（
k
＋1）1
?
11
2
1)
?1＋＋＋…＋
?
＋1≥
k
＋·＋
k
?
2k
＋1
?
23
1
??
11
(
k
＋1)
?
1＋＋＋…＋
?
＋1
k
??
231
?
k
?
11
2
＝
k
＋＋1＋(k
＋1)
?
1＋＋＋…＋
?
，
k
?
2
?
23
11113
∵当
k
≥2时，1＋＋＋…＋≥1＋＝ ，
23
k
22
教案、试题、试卷中小学
3