高中数学必修2期末试题-高中数学音频和文档
课时跟踪检测(七) 数系的扩充和复数的概念
层级一 学业水平达标
1.以3i-2的虚部为实部,以3i
2
+2i的实部为虚部的复数是 ( )
.3+i
.
2的虚部为3,3i
2
+
2+2i
2i的实部为-3,故选A.
A.3-3i
C.-2+2i
解析:选A 3i-2i=-3+
2.4-3a-a
2
i=a
2+4ai,则实数a的值为( )
A.1
C.-4
B.1或-4
D.0或-4
?
?
4-3a=a2,
解析:选C
由题意知
?
解得a=-4.
-a2=4a,
?
?
3.下列
命题中:①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;②纯虚数集相对于复数集的补集
是虚数集;③若(z
1
-z
2
)
2
+(z
2-z
3
)
2
=0,则z
1
=z
2
=z
3
;④若实数a与ai对应,则实数集与复数集一一对应.正
确的命题的个数是(
)
A.0
C.2
B.1
D.3
解析:选A ①取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故①错;
②③错;对于④,a=0
时,ai=0,④错,故选A.
4.复数z=a
2
-b
2
+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是( )
A.|a|=|b|
C.a>0且a≠b
B.a<0且a=-b
D.a≤0
解析:选D 复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0.
5.若复数cos θ+isin θ和sin θ+icos θ相等,则θ值为( )
π
A.
4
π
C.2kπ+(k∈Z)
4
π5
B.或
π
44
π
D.kπ+(k∈Z)
4
?
?
cos θ=sin θ,
解析:选D
由复数相等定义得
?
?
?
sin θ=cos
θ,
π
∴tan θ=1,∴θ=kπ+(k∈Z),故选D.
4
6.下列命题中:①若a∈R,则ai为纯虚数;②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+
i;③两个虚数不能比
较大小;④x+yi的实部、虚部分别为x,y.其中正确命题的序号是____
____.
解析:①当a=0时,0i=0,故①不正确;②虚数不能比较大小,故②不正确;③正确
;④x+yi中未标
注x,y∈R,故若x,y为复数,则x+yi的实部、虚部未必是x,y.
答案:③
7.如果(m
2
-1)+(m
2
-2m)i>1
则实数m的值为______.
?
?
m2-2m=0,
解析:由题意得
?
解得m=2.
m2-1>1,
?
?
答案:2
8.已知z
1
=-
3-4i,z
2
=(n
2
-3m-1)+(n
2
-m-6)
i,且z
1
=z
2
,则实数m=________,n=________.
解析:由复数相等的充要条件有
??
?
n2-3m-1=-3,
?
m=2,
?
?
?
n2-m-6=-4n=±2.
??
??
答案:2 ±2
9.设复
数z=log
2
(m
2
-3m-3)+log
2
(3-m)
i,m∈R,如果z是纯虚数,求m的值.
?
?
3-m>0,
解:由题意得
?
log2(m2-3m-3)=0,
?
?
log2(
3-m)≠0,
m2-3m-3>0,
解得m=-1.
10.求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x,y的值.其中x∈R,y是纯虚数.
解:设y=bi(b∈R且b≠0),代入等式得(2x-1)+i=bi+(bi-3)i,
即(2x-1)+i=-b+(b-3)i,
?
?
2x-1=-b,
∴
?
?
?
1=b-3,
3
?
?
x
=-
2
,
解得
?
?
?
b=4.
3
即x=-,y=4i.
2
层级二 应试能力达标
1.若复数(a
2
-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则(
)
A.a=-1
C.a≠-1
B.a≠-1且a≠2
D.a≠2
解析:选C 若复数(a
2
-a-2)+ (|a-1|-1)
i不是纯虚数,则有a
2
-a-2≠0或|a-1|-1=0,解得a≠
-1.故应选
C.
2.已知集合M={1,(m
2
-3m-1)+(m
2
-5m
-6)i},N={1,3},M∩N={1,3},则实数m的值为( )
A.4
C.4或-1
B.-1
D.1或6
?
?
m2-3m-1=3,
解析:选B
由题意知
?
∴m=-1.
?
?
m2-5m-6=0,
3.
已知关于x的方程x
2
+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根n,且z=m+n
i,则复数z等于( )
A.3+i
C.-3-i
B.3-i
D.-3+i
解析:选B
由题意知n
2
+(m+2i)n+2+2i=0,
??
?
n2+m
n+2=0,
?
m=3,
即
?
解得
?
?
?
?
2n+2=0.
?
n=-1.
∴z=3-i,故应选B.
4.若复数z
1
=sin 2θ+icos θ,z
2
=cos
θ+i
A.kπ(k∈Z)
π
C.2kπ±(k∈Z)
6
3sin θ(θ∈R),z
1
=z
2
,则θ等于(
)
π
B.2kπ+(k∈Z)
3
π
D.2kπ+(k∈Z)
6
?
?
sin
2θ=cos θ,
解析:选D
由复数相等的定义可知,
?
?
?
cos θ=3sin
θ.
π
∴cos θ=,sin θ=.∴θ=+2kπ,k∈Z,故选D.
226
31
5.已知z
1
=(-4a+1)+
(2a
2
+3a)i,z
2
=2a+(a
2
+a)i,其中
a∈R.若z
1
>z
2
,则a的取值集合为________
.
?
2a2+3a=0,
解析:∵z
1
>z
2<
br>,∴
?
?
a2+a=0,
?
?
-4a+1>2a,
∴a=0,故所求a的取值集合为{0}.
答案:{0}
6.若a-2i=bi+1(a,b∈R),则b+ai=________.
?
?
a=1,
解析:根据复数相等的充要条件,得
?
?
?
b=-
2,
∴b+ai=-2+i.
答案:-2+i
7.定义运算
=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.
解:由定义运算=ad-bc,
得=3x+2y+yi,
故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.
?
?
x+y=3x+2y,
因为x,y为实数,所以有
?
?
?
x+3=y,
?
?
?
2x+y=0,
得
?
?
x+3=y,
得x=-1,y=2.
8.已知集合M={(a+3)+(b
2
-1)i,8},集合N={3i,(a2
-1)+(b+2)i}满足M∩N
M,求实数a,b的值.
解:依题意,得(a+3)+(b
2
-1)i=3i,①
或8=(a
2
-1)+(b+2)i.②
?
由①,得a=-3,b=±2,
由②,得a=±3,b=-2.
综上,a=-3,b=2,或a=-3,b=-2或a=3,b=-2.