吉大附中高中数学老师-高中数学高效课堂和有效教学论文
选修4-4参数方程综合测试
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分
,在每个小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.曲线
?
?
x??2?5t
.
(t为参数)
与坐标轴的交点是( )
y?1?2t
?
25
1
2
1
5
1
2
5
9
A.<
br>(0,)、
(8,0)
D.
(0,)、(,0)
B.
(0,)、(,0)
C.
(0,?4)、
(8,0)
2.把方程
xy?1
化为以
t
参数的参数方程是( ). <
br>1
?
?
x?tant
?
x?sint
?
x?
cost
?
x?t
2
?
??
A.
?
B. C. D.
1
11?
??
1
?
y?
y?y?
?
y?t
2
?
??
ta
nt
sintcost
?
??
?
3.若直线的参数方程为
?
A.
?
x?1?2t
.
(t为参数)
,则直线的斜率为(
)
?
y?2?3t
2233
B.
?
C. D.
?
3322
4.点
(1,2)
在
圆
?
?
x??1?8cos
?
的( ).
?
y?8sin
?
B.外部 C.圆上 D.与θ的值有关
A.内部
1
?
?
x?t?
5.参数方程为
?
.
t
(t为参数)
表示的曲线是(
)
?
?
y?2
A.一条直线 B.两条直线
C.一条射线 D.两条射线
6.两圆
?
?
x??3?2cos
?
?
x?3cos
?
与
?
的位置关系是(
).
?
y?4?2sin
?
?
y?3sin
?
C.相离 D.内含 A.内切 B.外切
?
?
x?t
(t为参数)
等价的普通方程为(
)7.与参数方程为
?
.
?
?
y?21?t
y
2
y
2
2
?1
B.
x??1(0?x?1)
A.
x?
44
2
y<
br>2
y
2
2
?1(0?y?2)
D.
x??1(0?x?1,0?y?2)
C.
x?
44
2
8.曲线
?
?
x?5cos
?
?
.
(?
?
?
?
)
的长度是( )
?
y
?5sin
?
3
A.
5
?
B.
10
?
C.
22
5
?
10
?
D.
3<
br>3
9.点
P(x,y)
是椭圆
2x?3y?12
上的一个动点
,则
x?2y
的最大值为( ).
A.
22
B.
23
C.
11
D.
22
1
?
x?1?t
?
2
?
10.直线
?(t为参数)
和圆
x
2
?y
2
?16
交于A,B
两点,
?
y??33?
3
t
?
?2<
br>则
AB
的中点坐标为( ).
A.
(3,?3)
B.
(?3,3)
C.
(3,?3)
D.
(3,?3)
?
x?4t
2
11.若点
P(
3,m)
在以点
F
为焦点的抛物线
?
.
(t为参数)
上,则
|PF|
等于(
)
?
y?4t
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
?
x??2?t
12.直线
?
.
(t为参数)
被
圆
(x?3)
2
?(y?1)
2
?25
所截得的弦长为(
)
y?1?t
?
A.
98
B.
40
1
C.
82
D.
93?43
4
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.
t?t
?
?
x?e?e
(t为参数)
的普通方程为________
__________. 13.参数方程
?
t?t
?
?
y?2(e
?e)
?
?
x??2?2t
(t为参数)
上与点
A(?2,
3)
的距离等于
2
的点的坐标是_______. 14.直线
?
?
?
y?3?2t
15.直线
?
?
x?tcos
?<
br>?
x?4?2cos
?
与圆
?
相切,则
?
?
_______________.
y?tsin
?
y?2sin
?
??
22
16.设
y?tx(t为参数)
,则圆
x?y?
4y?0
的参数方程为____________________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
?
?
x?1?t
(t为参数)
和直线
l
2
:x?y?23?0
的交点
P
的坐标,及点<
br>P
求直线
l
1
:
?
?
?
y??5
?3t
与
Q(1,?5)
的距离.
18.(本小题满分12分)
过点
P(
10
,0)
作倾斜角为
?
的直线与
曲线
x
2
?12y
2
?1
交于点
M,N
,
2
求
|PM|?|PN|
的值及相应的
?
的值.
19.(本小题满分12分)
已知
?ABC
中,
A(?2,0),
B(0,2),C(cos
?
,?1?sin
?
)
(
?为变数),
求
?ABC
面积的最大值.
20.(本小题满分12分)
已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
?
(1
)写出直线
l
的参数方程.
(2)设
l
与圆
x?y?4<
br>相交与两点
A,B
,求点
P
到
A,B
两点的距离之积
.
21.(本小题满分12分)
22
?
6
,
1
t
?
?t
x?(e?e)cos
?
?
?
2
分别在下列两种情况下,把参数方程
?
化为普通方程:
1
?y?(e
t
?e
?t
)sin
?
?
?2
(1)
?
为参数,
t
为常数;(2)
t
为参数,
?
为常数.
22.(本小题满分12分)
已知直线
l
过定点P(?3,?)
与圆
C
:
?
3
2
?
x
?5cos
?
(
?
为参数)
相交于
A
、
B
两点.
?
y?5sin
?
求:(1)若
|AB|?8,求直线
l
的方程;
(2)若点
P(?3,?)
为弦
AB
的中点,求弦
AB
的方程.
答案与解析:
3
2211
,而
y?1?2t
,即
y?
,得与
y
轴
的交点为
(0,)
;
555
111
当
y?
0
时,
t?
,而
x??2?5t
,即
x?
,得与<
br>x
轴的交点为
(,0)
.
222
1.B
当
x?0
时,
t?
2.D
xy?1
,
x
取非零实数,而A,B,C中的
x
的范围有各自的限制.
3.D
k?
y?2?3t3
???
.
x?12t2
22
4.A ∵点
(1,2)
到圆心
(
?1,0)
的距离为
(1?1)?2?22?8
(圆半径)
∴点
(1,2)
在圆的内部.
5.D
y?2
表示一
条平行于
x
轴的直线,而
x?2,或x??2
,所以表示两条射线.
6.B 两圆的圆心距为
(?3?0)
2
?(4?0)2
?5
,两圆半径的和也是
5
,因此两圆外切.
y
2
y
2
22
?1?t?1?x,x??1,而t?0,0?1?t?1,得0?
y?2
. 7.D
x?t,
44
2
8.D 曲线是圆<
br>x?y?25
的一段圆弧,它所对圆心角为
?
?
所以曲线的长度为22
?
3
?
2
?
.
3
10
?
.
3
x
2
y
2
??1
,设
P(6cos
?
,2sin
?
)
,
9.D 椭圆为
64
x?2y?6cos
?
?4sin
??22sin(
?
?
?
)?22
.
10.D <
br>(1?
1
2
3
2
t?t
t)?(?33?t)?16
,得
t
2
?8t?8?0
,
t
1
?t2
?8,
12
?4
,
22
2
1
?<
br>x?1??4
?
?
2
??
x?3
中点为
?
.
?
?
?
y??3
?
y??3
3?
3
?4
?
?
?2
11.C 抛物线为
y?4
x
,准线为
x??1
,
|PF|
为
P(3,m)
到
准线
x??1
的距离,即为
4
.
2
?
2
x??2?2t?
?
x??2?t
?
?
x??2?t
?2
12.C
?
,把直线
?
?
?
y?1?t
y?1?t
?
?
?
y?1?2t?
2
?
?2
代入
(x?3)?(y?1)?25
,得
(?5?t)?(2
?t)?25,t?7t?2?0
,
22222
|t
1
?t
2
|?(t
1
?t
2
)
2
?4t
1t
2
?41
,弦长为
2|t
1
?t
2
|?82
.
y
?
?
x?e
t
?e
?t<
br>x??2e
t
?
yy
xy
??
2
??(x?
)x(??)
.
4
??1,(x?2)
?
y
13.
?
t?t
22
416
?
?e?e
?
x?
y
?2e
?t
?2
?
?2
2214.
(?3,4)
,或
(?1,2)
(?2t)?
(2t)?(2),t?
15.
2222
12
,t??
.
22
5
?
?
22
,或 直线为
y?xtan<
br>?
,圆为
(x?4)?y?4
,作出图形,相切时,
6
6
易知倾斜角为
5
?
?
,或.
6
6
4t
?
x?
?
4t
?
1?t
2
22
x?(tx)?4tx?0
16.
?
,当时,,或;
x?
y?0
x?0
2
2
1?t
4
t
?
y?
?
1?t
2
?
4t
?
x
?
?
4t
2
?
1?t
2
而
y?tx
,即
y?
,得
?
.
2
21?t
?
y?
4t
?
1?t
2
?
17
.解:将
?
?
?
x?1?t
,代入
x?y?23?0
,得
t?23
,
?
?
y??5?3t
得
P(1
?23,1)
,而
Q(1,?5)
,
得
|PQ|?(23)?6?43
.
22
?
10
?tcos
?
?
x?
18.解:设直线为
?
(t为参数)<
br>,代入曲线
2
?
y?tsin
?
?
并整理得
(1?sin
?
)t?(10cos
?
)t?
22
3?0
,
2
3
2
则
|PM|?|PN|?|t
1
t
2
|?
,
2
1?sin
?
所以当<
br>sin
?
?1
时,即
?
?
2
?
2<
br>,
|PM|?|PN|
的最小值为
3
?
,此时
??
.
42
19.解:设
C
点的坐标为
(x,y),则
?
22
?
x?cos
?
,
y??1?s
in
?
?
即
x?(y?1)?1
为以
(0,?1)
为圆心,以
1
为半径的圆.
∵
A(?2,0),B(0,2)
,
∴
|AB|?4?4?22
,
且
AB
的方程为
xy
??1
,
?22
即
x?y?2?0
,
则圆心
(0,
?1)
到直线
AB
的距离为
|?(?1)?2|
1
2
?(?1)
2
3
2
,
2
?
3
2
.
2
∴点
C
到直线<
br>AB
的最大距离为
1?
∴
S
?ABC
的最大值是13
?22?(1?2)?3?2
.
22
?
?
?<
br>3
x?1?tcos
x?1?t
?
?
?
?
6
2
, 20.解:(1)直线的参数方程为
?
,即
?
?y?1?tsin
?
?
y?1?
1
t
?
?6
?
?2
?
3
x?1?t
?
?
2,代入
x
2
?y
2
?4
, (2)把直线
?
?
y?1?
1
t
?
?2
得
(1
?
3
2
1
t)?(1?t)
2
?4,t
2
?(3?1)t?2?0
,
22
t
1
t
2
??2
,则点
P
到
A,B
两点的距离之积为
2
.
21.解:(1)当
t?0
时,
y?0,x?cos
?
,即
x?1,且y?0
;
当
t?0
时,
co
s
?
?
x
1
t?t
(e?e)
2
,sin
?
?
y
1
t?t
(e?e)
2
,
而
x?y?1
,
22
即
x
2
1
t
(e?e
?t
)
2
4
?
y
2
1
t?t2
(e?e)
4
?1
;
(
2)当
?
?k
?
,k?Z
时,
y?0
,
x
??
1
t?t
(e?e)
,即
x?1,且y?0
;
2
?
1
t?t
当
?
?k
?
?,k?Z<
br>时,
x?0
,
y??(e?e)
,即
x?0
; 22
2x
?
t?t
e?e?
?
k
?
?
cos
?
,k?Z
时,得
?
当
?
?
,
2y
2
?
e
t
?e
?t
?
?
sin
?
?
2x2y
?
t
2e?
?
?
2x2y2x2y
?
cos
?
sin
?
t?t
即
?
,得
2e?2e?(?)(?)
,
cos<
br>?
sin
?
cos
?
sin
?
?
?
t
2x2y
?
?
2e?
cos
?
?
sin
?
即
x
2
y
2
cos
2
?
?
sin
2
?
?1
.
22.解:(1)由圆
C
的参数方程
?
?
x?5cos
?
?
y?5sin<
br>?
?x
2
?y
2
?25
,
?
x
??3
设直线
l
的参数方程为①
?
?tcos
?
?
?
?
y??
3
2
?tsin
?
(t为参数
)
,
将参数方程①代入圆的方程
x
2
?y
2
?25
<
br>得
4t
2
?12(2cos
?
?sin
?
)
t?55?0
,
∴△
?16[9(2cos
?
?sin
?
)
2
?55]?0
,
所以方程有两相异实数根
t
1
、
t
2
,
∴
|AB|?|t
2
1
?t
2
|?9(2cos
?
?sin
?
)?55?8
,
化简有
3cos
2<
br>?
?4sin
?
cos
?
?0
,
解之cos
?
?0
或
tan
?
??
3
4<
br>,
从而求出直线
l
的方程为
x?3?0
或
3x?4
y?15?0
.
(2)若
P
为
AB
的中点,所以
t
1
?t
2
?0
,
由(1)知
2cos
?
?sin
?
?0
,得
tan
?
??2
,
故所求弦
AB
的方程为
4x?2y?15?0(x
2
?y<
br>2
?25)
.
备用题:
1.已知点
P(xx?3?8cos
?
0
,y
0
)
在圆
?
?
?
y??2?8sin
?
上,则
x
0
、
y
0
的取值范围是(
A.
?3?x
0
?3,?2?y
0
?2
. )
B.
3?x
0
?8,?2?y
0<
br>?8
C.
?5?x
0
?11,?10?y
0
?6
D.以上都不对
1.C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C.
?
x?1?2t
2.直线
?
.
(t为参数)
被圆
x
2
?y
2
?9
截得的弦长为(
)
y?2?t
?
A.
129
129
B.
5
D.
10
5
C.55
55
2
?
x?1?2t
5
,把直线
?代入
1
y?2?t
?
5
?
x?1?5t?
?
x?1?2t
?
?
2.B
?
?
?
?
y?2?t
?
y?1?5t?
?
?
x
2
?
y
2
?9
得
(1?2t)
2
?(2?t)
2
?9,5t
2
?8t?4?0
,
81612
12
|t<
br>1
?t
2
|?(t
1
?t
2
)
2<
br>?4t
1
t
2
?(?)
2
??
,弦长为5|t
1
?t
2
|?5
.
555
5
?
x?2pt
2
(t为参数,p为正常数)
上的两点
M,N
对应的参数分别为
t
1
和t
2,
,3.已知曲线
?
?
y?2pt
且t
1
?t
2
?0
,那么
|
MN|?
_______________.
|MN|?2p|t
1
?t<
br>2
|?2p|2t
1
|
.
4p|t
1
| 显然线段
MN
垂直于抛物线的对称轴,3.即
x
轴,
4
.参数方程
?
?
x?cos
?
(sin
?
?cos
?
)
(
?
为参数)
表示什么曲线?
?
y
?sin
?
(sin
?
?cos
?
)
y
2
11
y
2
,cos
?
?
4.解:显然
?t
an
?
,则
2
?1?
,
2
2
y
xcos
?
x
?1
2
x
x?cos
2
?
?sin
?
cos
?
?sin2
?<
br>?cos
2
?
??
2
1
2
12tan
?
2
?cos
?
,
2
21?tan
?
yy
?1
y
2
y
11
xx
x(1?)??1
, 即
x??
,
??
x
2
x
y
2
y
2
y
2
2
1?
2
1?
2
1?
2
xxx
y
2
y
??1
,
得
x?
xx
即
x?y?x?y?0
.
5.已知点
P(x,y)
是圆
x?y?2y
上的动点,
(1)求
2x?y
的取值范围;
(2)若
x?y?a?0
恒成立,求实数
a
的取值范围.
22
22
5.解:(1)设圆的参数方程为
?
?
x?cos
?
,
?
y?1?sin
?
2x?y?2cos
?
?sin
?
?1?5sin(
?
?
?
)?1
,
∴
?5?1?2x?y?5?1
.
(2)
x?y?a?cos
?
?sin
?
?1?a?0
,
∴
a??(cos
?
?sin
?
)?1??2sin(
?
?
即
a?
?
4
)?1
恒成立,
2?1
.