高中数学人教A版【精品习题】选修4-5学业分层测评13 Word含答案

旗开得胜
学业分层测评（十三）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设
f
(
x
)是定 义在正整数集上的函数，且
f
(
x
)满足：当
f
(
k
)≥
k
2
成立时，总
可推出
f
(
k＋1)≥(
k
＋1)
2
成立．那么下列命题总成立的是( )
A．若
f
(3)≥9成立，则当
k
≥1时，均有
f
(k
)≥
k
2
成立
B．若
f
(5)≥25成立 ，则当
k
≤5时，均有
f
(
k
)≥
k
2< br>成立
C．若
f
(7)＜49成立，则当
k
≥8时，均有f
(
k
)＜
k
2
成立
D．若
f(4)＝25成立，则当
k
≥4时，均有
f
(
k
)≥< br>k
2
成立
【解析】 根据题中条件可知：由
f
(
k
)≥
k
2
，必能推得
f
(
k
＋1)≥(< br>k
＋1)
2
，但
反之不成立，因为D中
f
(4)＝2 5＞4
2
，故可推得
k
≥4时，
f
(
k
) ≥
k
2
，故只有D正
确．
【答案】 D
2．用数学归纳 法证明“对于任意
x
＞0和正整数
n
，都有
x
n
＋
x
n
－2
＋
x
n
－4
＋…＋
1< br>＋
1
＋≥
n
＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值
n
0
应为
1
x
n
－4
x
n
－2x
n
( )
A．
n
0
＝1
C．
n
0
＝1,2
B．
n
0
＝2
D.以上答案均不正确
1
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旗开得胜
1
【解析】 需验证：
n
0
＝1时，
x
＋≥1＋1成立．
x
【答案】 A
3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋
n
<
f
(
n
)(
n
≥2，
n
∈N
＋< br>)的
232－1
过程，由
n
＝
k
到
n
＝
k
＋1时，左边增加了( )
【导学号：32750070】
A．1项 B．
k
项 C．2
k
－1
项 D．2
k
项
【解析】 1＋＋＋…＋
k
＋1
－1＋＋＋… ＋
k
＝
k
＋
k
＋
232－1232－122＋1< br>1
2
k
＋2
＋…＋，
2
k
＋1
－ 1
1
11111111
111
∴共增加2
k
项．
【答案】 D
4．若不等式
1
＋
1
＋…＋>对大于1的一 切自然数
n
都成立，则
2
n
24
1
m
n< br>＋1
n
＋2
自然数
m
的最大值为( )
A．12
C．14
【解析】 令
f
(
n
)＝
11
B．13
D.不存在
＋＋…＋，
n
＋1
n
＋22
n
1
易知< br>f
(
n
)是单调递增的，
∴
f
(
n
)的最小值为
f
(2)＝＋＝.
3412
1
117
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依题意>，∴
m
<14.因此取
m
＝13.
1224
7
m
【答案】 B
13
5．用数学归纳法证明不 等式＋＋…＋＜(
n
≥2，
n
∈N
＋
)的过
n＋1
n
＋22
n
14
程中，由
n
＝
k
递推到
n
＝
k
＋1时不等式左边( )
A．增加了一项
1
2
1

1
111
k
＋1
B．增加了两项，
2
k
＋12
k
＋2

k
＋1
1
C．增加了B中两项但减少了一项
D．以上各种情况均不对
【解析】 ∵
n
＝
k
时，左边＝
1111
1
k
＋1
k
＋2
＋
1
＋…＋，
n
＝
k
＋1时，左边＝
2
k
1
k
＋2
k
＋3
＋＋…＋＋，
2
k
2
k
＋12
k
＋2< br>1
，
1
2
k
＋2
，少了一项
1
.
＋
1
∴增加了两项
2
k
＋1
k
＋1
【答案】 C
二、填空题
6．用数学归纳法证明“2
n
＋1
≥
n
2
＋
n
＋2(
n
∈N
＋
)”时 ，第一步的验证为
________．
【解析】 当
n
＝1时，2
1＋1
≥1
2
＋1＋2，即4≥4成立．
1
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