高中数学课堂中的重难点-高中数学知识归纳函数
1．已知点Q(1,2)，求Q点关于M(3,4)的对称点．
【解】
设点P的坐标为(x，y)，
由题意知，M是PQ的中点，
?
?
x＋1＝
6，
因此
?
?
y＋2＝8，
?
?
?
x＝5，
∴
?
?
y＝6，
?
∴点P的坐标为(5,6)．
2．设△ABC的三个顶点坐标分别为A(3，－1)，B(8
,2)，C(4,6)，求△ABC的面积．
【解】 如图，作直线l：y＝－1，过点B、C向l引
垂线，垂足分别为B
1
、C
1
，则△ABC的面积为
111
S＝S△AC
1
C＋S梯形C C
1
B
1<
br>B－S△AB
1
B＝×1×7＋(7＋3)×4－×5×3＝16.
222
3．已知点P(0,4)，求P点关于直线l：3x－y－1＝0的对称点．
【解】 设P点关于l的对称点Q的坐标为(a，b)，由题意得
?
?
?<
br>ab＋4
?
?
3×
2
－
2
－1＝0，
3·
?
?
a＋3b－12＝0，
即
?
?
3a－b
－6＝0，
?
?
?
a＝3，
解之得
?
?
b
＝3，
?
b－4
＝－1，
a
∴P点关于直线l的对称点坐标为(3,3)．
4．已知一条长为6的
线段两端点A，B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求动
点M的轨迹
方程．
【解】
如图，设A(x
A,
0)，B(0，y
B
)，M(x，y)，∵AB＝6，
∴x
A
＋y
B
＝6，即x
A
＋y
B
＝36，①
又∵AM∶MB＝1∶2，
2222
1<
br>y
B
2
x
A
∴x＝，y＝，
11
1＋1＋
22
3
?
?
x
A
＝x，
2
即?
?
?
y
B
＝3y，
9
22
代入①得x＋9y＝36，
4
即x＋4y＝16.
得动点M的轨迹方程为x＋4y＝16.
5．设点P是矩形ABCD所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA＋PC＝PB＋PD.
【证明】 如图，以(矩形的)顶点A为坐标原点，边AB、AD所在直线分别为x轴与y轴建立平面直
角坐标
系，并设B(b,0)、D(0，d)，则点C的坐标为(b，d)．又设P(x，y)，
2222
22
22
则PA＋PC＝x＋y＋(x－b)＋(y－d)，
PB＋PD＝(x－b)＋y＋x＋(y－d).
比较两式，可知PA＋PC＝PB＋PD.
6．有相距1 400 m的A、B两个观察站，在A站听到爆炸声的时间比在B站听到时间早4
s．已知当时声音
速度为340 ms，试求爆炸点所在的曲线．
【解】
由题知：爆炸点P到B的距离比到A的距离多340×4＝1 360米．
即PB－PA＝1
360＜1 400，PB＞PA.
故P在以A、B为焦点的双曲线上，且离A近的一支．
以A、B两点所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由题意得，2a＝1
360,2c＝1 400，
xy
故a＝680，c＝700，b＝700－680＝27
600，故爆炸点所在曲线为－＝1(x＜0)．
462 40027 600
222
22
2222
222222
222222
7．在黄岩岛海域执行渔政执法的
渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O正东方向80海里的B处，沿东
西方向向O岛驶来．指挥部立
即命令在岛屿O正北方向40海里的A处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x
轴，南北方向为y轴，
岛屿O为原点，建立平面直角坐标系并标出A，B两点，若两船行驶的速度相同，在上述
坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标．
【解】
A，B两点如图所示，A(0,40)，B(80,0)，
∴OA＝40(海里)，OB＝80(海里)．
我船直行到点C与不明船只相遇，
设C(x,0)，
∴OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x.
∵两船速度相同，
∴AC＝BC＝80－x.
在Rt△AOC中，OA＋OC＝AC，即40＋x＝(80－x)，解得x＝30.
∴点C的坐标为(30,0)．
教师备选
xy64
8．＋＝1
，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M(0，)为
1002
57
顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)．观测点A(4,0)，B(6,0)．
22
222222
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，航天器离观测点A、B分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？
【解】 (1)设曲线方程为y＝ax＋
2
64
，
7
1
∵ 点D(8,0)在抛物线上，∴a＝－，
7
1
2
64
∴曲线方程为y＝－x＋.
77
(2)设变轨点为C(x，y)，根据题意可知
?
?
?
164
?
?
y＝－
7
x＋
7
，
②
2
xy
＋＝1， ①
10025
22
得4y－7y－36＝0.
9
y＝4或y＝－(舍去)，
4
∴y＝4.
得x＝6或x＝－6(舍去)．
∴C点的坐标为(6,4)，AC＝25，BC＝4.
所以当航天器离观测点A、B的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．
2