高中数学选修4 4课后答案解析-高中数学倒数知乎
物类之起,必有所始。荣辱之来,必象其德。肉腐出虫,鱼枯生蠹。怠慢忘身,祸灾乃作。强自取
柱,柔自取束。邪秽在身,怨之所构。施薪若一,火就燥也,平地若一,水就湿也。草木畴生,禽兽群焉,物各从
其类也。是故质的张,而弓矢至焉;林木茂,而斧斤至焉;树成荫,而众鸟息焉。
活页作业(四)
平均值不等式
一、选择题
1.设0<
a
<
b
,
a
+
b
=1,则下列不等式正确的是( )
A.
b<
br><2
ab
<a2+b2<
a
2
+
b
2
B.2
ab
<
b
<
a
2
+
b
2
<a2+b2
C.2
ab
<
a
2
+
b<
br>2
<
b
<a2+b2D.2
ab
<
a
2+
b
2
<a2+b2<
b
解析:∵0<
a<
br><
b
且
a
+
b
=1,
∴0<
a
<
b
<1.
∴
a
2
+
b
2
>2
ab
,
b
>
a
2
+
b
2
,且a2+b2>
b
.
故2
ab
<
a
2
+
b
2
<
b
<a2+b2.
答案:C
2.下列不等式正确的是( )
A.
a
+
b
≥2ab B.
a
3
+
b
3
+
c
3
≥3
abc
C.
a2+b2
2
≥
ab
D.
a+b+c
3
3
≥abc
解析:选项A,B,D忽视了
a
,
b
,
c
的条件应为正实数.
答案:C
3
.设函数
f
(
x
)=2
x
+
1
x
-1(
x
<0),则函数
f
(
x
)( )
A.有最大值 B.有最小值
C.是增函数 D.是减函数
解析:因为
x
<0,
所以
f
(
x
)=-
-2
x
+
1
-x
-1≤
-2-2x·
1
-x
-1=-22-1,
当且仅当-2
x
=
12
-x
,即
x
=-
2
时取等号.
所以函数
f
(
x
)有最大值-22-1.
答案:A 4.已知
x
>0,
y
>0,若不等式
2y8x
2
x
+
y
>
m
+2
m
恒成立,则实数
m<
br>的取值范围是(
A.(-∞,-2]∪[4,+∞)B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-2,4)D.(-4,2)
解析:有
2y
x
+
8
x
y
≥216=8,要使不等式
2y8x
2
x
+
y
>
m
+2
m
)
物类之起,必
有所始。荣辱之来,必象其德。肉腐出虫,鱼枯生蠹。怠慢忘身,祸灾乃作。强自取柱,柔自取束。邪秽在身,怨
之所构。施薪若一,火就燥也,平地若一,水就湿也。草木畴生,禽兽群焉,物各从其类也。是故质的张,而弓矢
至焉;林木茂,而斧斤至焉;树成荫,而众鸟息焉。
恒成立,则
m
+2
m<8.解得-4<
m
<2.
答案:D
二、填空题
325.若
x
>0,则函数
f
(
x
)=
x
+的最小值是________.
x2
32xx32
解析:因为
x
>0,所以
f
(
x
)=
x
+=++≥
x222x
2
3
xx32xx32
3··=6,当且仅当==,即
x
=4时取等
号.
22x222x2
答案:6
x
6.若对任意
x
>0
,关于
x
的不等式≤
a
恒成立,则实数
a
的取值范围是__
______.
x2+3x+1
1x2+3x+11
解析:由
x
>
0,知原不等式等价于不等式0<≤=
x
++3恒成立.
axx
1
?
1
?
11
所以≤
?
x++3
?
min<
br>=5,即0<≤5.解得
a
≥.
x
?
a
?
a5
2
?
1
?
答案:
?
,+∞
?
?
5
?
三、解答题
1111
7.设单位圆的内接三角形的
面积为,三边长分别为
a
,
b
,
c
且不全相等,求证:++
>a+b
4abc
+c.
11c
证明:∵三角形的面积
S
=
ab
sin
C
=,=2,
24sin C
∴
abc
=1.
111abcabcabc
∴++=++=
bc
+
ac
+
a
b
=
abcabc
+++
2
++
≥
c
a
b+
a
bc+
b
ac=
abc(a+b+c)=a+b+c,当且
仅当
a
=
b
=
c
时取等号.
∵三边长
a
,
b
,
c
不全相等,
111
∴++>a+b+c.
abc
8.已知
a
,
b
,
c
∈R,
a
+
b
+
c
=1
,求4+4+4
c
的最小值,并求出取最小值时
a
,
b
,<
br>c
的值.
解:显然4>0,4>0,4
c
>0.
3
ab
2
则4+4+4
c
≥34a+b+c2,
当且仅当
a
=
b
=
c
时取等号.
因为<
br>a
+
b
+
c
=1,所以
a
+
b=1-
c
.
2
ab
2
ab
2
物类之起,必有所始。荣辱之来,必象其德。肉腐出虫,鱼枯生蠹。怠慢忘身,祸灾乃作。强自取柱,柔
自取束。邪秽在身,怨之所构。施薪若一,火就燥也,平地若一,水就湿也。草木畴生,禽兽群焉,物各从其类也
。是故质的张,而弓矢至焉;林木茂,而斧斤至焉;树成荫,而众鸟息焉。
?
1
?2
3
22
所以
a
+
b
+
c
=
c
-
c
+1=
?
c-
?
+.
?
2
?
4
13
2
所以当
c
=时,
a
+
b
+
c
取得最小值.
24
11
ab<
br>2
从而当
a
=
b
=,
c
=时,4+4+4<
br>c
取得最小值,且最小值为32.
42
<
br>一、选择题
1
?
1
?
1.给出下列不等式:①
x+≥2;②
?
x+
?
≥2;③若
x
?
x
?
0<
a
<1<
b
,则log
a
b
+l
og
b
a
≤-2;④若0<
a
<1<
b
,则log
a
b
+log
b
a
≥2.其中正确的是( )
B.①②
D.①②④
A.②④
C.②③
1
解析:①当
x
>0时,
x
+≥2;<
br>x
1
当
x
<0时,
x
+≤-2.故①错误.
x
11
?
1
?
②因为
x
与同号,所以
?<
br>x+
?
=|
x
|+≥2.故②正确.
x|x|
?x
?
③当0<
a
<1<
b
时,log
ab
<0,log
b
a
<0,
所以-log
a
b
>0,-log
b
a
>0.
1
所以l
og
a
b
+log
b
a
=log
a
b+≤-2.故③正确.
logab
④由③,知log
a
b
+log
b
a
≥2是错的.
答案:C
1p
?
π
?
2.对于
x
∈?
0,
?
,关于
x
的不等式+≥16恒成立,则正数
p
的取值范围为( )
2
?
sin2xcos2x
?
B.(-9,9]
D.[9,+∞)
2
A.(-∞,-9]
C. (-∞,9]
解析:令
t
=sin
x
,则cos
x
=1-
t
.
2
?
π
?
∵
x
∈
?
0,
?
,∴
t
∈(0,1).
2
??
1p
关于
x
的不等式+≥16可化为
sin2xcos2x
p
≥
?
16-
?
(1-
t
).
t
?
?
1
?
?
1
??
令
y
=
?
16-
?
(1-
t
),
t
??