高中数学5-4几个著名的不等式5-4-3算术_几何平均不等式自我小测苏教版选修4_5

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

高中数学5-4几个著名的不等式5 -4-3算术_几何平均不等
式自我小测苏教版选修4_5



自我小测

1若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是< br>________．

2设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若M＝，则必有________．

3已知a，b∈R＋，则≥________.

4若记号“*”表示求两个实数a与 b的算术平均值的运算，即
a*b＝，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a，b，< br>c都能成立的一个等式可以是____________________．

5求证：＋a≥7(其中a＞3)．

6如果a，b∈R＋，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.

7已知a，b，c同号且互不相等，a＋b＋c＝1，求证∶＋＋＞9.

8若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是______．

9下列 命题：①x＋的最小值是2；②的最小值是2；③的最小值
是2；④2－3x－的最小值是2，其中正确 命题的个数是________．

10若a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥.

11设a，b，c均 为正数，证明(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋
c2)≥16abc.

12求证：在表面积一定的长方体中，正方体的体积最大．

参考答案

1．3 解析：xy＋x2＝xy＋xy＋x2≥

3＝3＝3＝3.
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也 。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒 相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮， 不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古 人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

2．M≥8 解析：M＝＝≥＝8，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．

3．9 解析：＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋6＝9.

4．a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c) 解析：∵a＋(b*c)＝a＋＝，①

又∵(a＋b)*(a＋c)＝＝，②

由①②可知：a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．

5．证明：∵a＞3，∴ a－3＞0.由基本不等式得＋a＝＋a－3＋3≥2
＋3＝2＋3＝7，

当且仅当＝a－3，即a＝5(a＝1舍去)时，取等号．

6．证明：∵a，b∈R＋，且a≠b，

则a3＋b3＝[(a3＋a3＋b3)＋(a3＋b3＋b3)]

＞(3＋3)

＝a2b＋ab2.

∴a3＋b3＞a2b＋ab2.

7．证明：＋＋＝＋＋
＝3＋.

∵a，b，c同号且a＋b＋c＝1，

∴a＞0，b＞0，c＞0.

∴，，，，，均大于0.

又a，b，c互不相等，

∴3＋＞3＋

6＝3＋6＝9.

∴＋＋＞9.

8．[9，＋∞) 解析：令＝t(t＞0)，

由ab＝a＋b＋3≥2＋3，则有t2≥2t＋3，即t2－2t－3≥0.

解得t≥3或t≤－1(不合题意，舍去)．

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰 ：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感 ，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
a＋b＋c

c

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