2017_2018学年高中数学第二章几个重要的不等式2-3-1数学归纳法训练北师大版选修4_5

数学归纳法
一、选择题
1.设
f
(
n
)＝
A.
C.
1111
＋＋＋…＋(
n
∈N
＋)，那么
f
(
n
＋1)－
f
(
n
)等 于( )
n
＋1
n
＋2
n
＋32
n
B .
D.
1

2
n
＋2
11
－
2
n
＋12
n
＋2
1

2
n
＋1
11
＋
2
n
＋12
n
＋2
1111
＋＋＋…＋
n
＋1
n
＋2
n
＋32
n
1111
解析
f
(
n
)＝
1
f
(
n
＋1)＝＋ ＋…＋＋＋
n
＋2
n
＋32
n
2
n
＋1 2
n
＋2
11111
∴
f
(
n
＋1)－< br>f
(
n
)＝＋－＝－，选D.
2
n
＋12
n
＋2
n
＋12
n
＋12
n
＋2
答案 D
2.用数学归纳法证明：“1＋
a
＋
a
＋…＋
a
得 的项为( )
A.1
C.1＋
a
＋
a

解析 当
n
＝1时，
a
n
＋1
2
2
n
＋1
1－
a
＝(
a
≠1)”在验证
n
＝1时，左端计算所
1－
a
n
＋2
B.1＋
a

D.1＋
a
＋
a
＋
a

＝
a
，
2
23
∴左边应为1＋
a
＋
a
，故选C.
答案 C
3.用数学归纳法证明：(
n
＋1)(
n
＋2) …·(
n
＋
n
)＝2×1×3…(2
n
－1)时，从“k
到
k
＋1”
左边需增乘的代数式是( )
A.2
k
＋1
C.2(2
k
＋1)
k
n
2
2
k
＋1
B.
k
＋1
2
k
＋2
D.
k
＋1
解析
n
＝
k
时，(
k
＋ 1)(
k
＋2)…(
k
＋
k
)＝2×1×3×…×(2n
－1).
n
＝
k
＋1时，(
k
＋2)…(
k
＋
k
)·(
k
＋1＋
k
)(
k
＋1＋
k
＋1).
（2
k
＋1）（2
k
＋2）
∴增乘的代数式是＝2(2
k
＋1)，选C.
k
＋1
答案 C
二、填空题
4.数列{
a
n
}中，已知
a
1
＝1，当
n
≥2时，
a
n
＝
a
n
－1
＋2
n
－1，依次计算
a2
，
a
3
，
a
4
后，猜想
a
n
的表达式是________.

解析
a
1
＝1 ，
a
2
＝
a
1
＋3＝4，
a
3
＝ 4＋5＝9，
a
4
＝9＋7＝16，猜想
a
n
＝
n
.
答案
a
n
＝
n

5.记凸
k
边形对角线的条数为
f
(
k
)(
k
≥4)，那么 由
k
到
k
＋1时，对角线条数增加了________
条.
11
解析 ∵
f
(
k
)＝
k
(
k
－3)，
f
(
k
＋1)＝(
k
＋1)(
k
－2)，
f
(
k
＋1)－
f
(
k
)＝
k
－1.
22
答案
k
－1
1
6 .在数列{
a
n
}中，
a
1
＝，且
S
n< br>＝
n
(2
n
－1)
a
n
.通过求
a
2
，
a
3
，
a
4
猜想
a
n
的表达式是________.
3
11
解析 ＋
a
2< br>＝2(2×2－1)
a
2
，
a
2
＝，
31 5
111
＋＋
a
3
＝3(2×3－1)
a
3
，
a
3
＝，
31535
1111
＋＋＋
a4
＝4(2×4－1)
a
4
，
a
4
＝，
3153563
1
猜想
a
n
＝.
2
（2
n
）－1
1
答案
a
n
＝
2
（2
n
）－1
三、解答题
7.求证：(
n＋1)·(
n
＋2)·…·(
n
＋
n
)＝2·1·3· 5·…·(2
n
－1) (
n
∈N
＋
).
证明 (1)当
n
＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2，
∴等式成立.
(2)假设
n
＝
k
(
k
∈N
＋
)时，等式成立.
即(
k
＋1)(
k
＋2)·…·(
k
＋
k
)＝2·1·3·5·…·(2
k
－1)成立.
那么当
n
＝
k
＋1时，
(
k
＋2)(< br>k
＋3)·…·(
k
＋
k
)(2
k
＋1)( 2
k
＋2)
＝2(
k
＋1)(
k
＋2)(
k
＋3)·…·(
k
＋
k
)(2
k
＋1) ＝2
k
＋1
k
n
2
2
·1·3·5·…·(2
k
－1)[2(
k
＋1)－1].
即
n
＝
k
＋1时等式成立.
由(1)、(2)可知对任意
n
∈N
＋
，等式都成立.
8 .求证：
1115
＋＋…＋>(
n
≥2，
n
∈N
＋
).
n
＋1
n
＋23
n
6
11115
证明 (1)当
n
＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立.
34566
(2)假设
n
＝
k
(
k
≥2 ，
k
∈N
＋
)时命题成立，即
1115
＋＋…＋>，则当< br>n
＝
k
＋1时，
k
＋1
k
＋23
k
6