目标精准化高中数学教学设计-高中数学底子差
从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全
石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩
高中数学第一章不等关系与基本不等式5不等式的应用
学案北师大版选修4_5
1．进一步掌握不等式的性质，并应用不等式的性质解决一些简
单的实际问题．
2．能用定理2和定理4求函数的最值，并能解决实际应用问题．
对定理2、定理4的理解
(1)定理2：对任意的两个数a，b，有≥______
(此式当且仅当a
＝b时取“＝”号)．
(2)定理4：对任意的三个数a，b，c
，有________≥(此式当且
仅当a＝b＝c时取“＝”号)．
【做一做1】已知＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值为________．
【做一做2】函数y＝x2＋4＋(x＞0)的最小值为________．
【做一做3】已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋y的最小值是
( )．
A．16 B．15 C．14 D．13
答案：
(1) (2)
a＋b＋c
3
【做一做1】6 已知2＝＋，
∵x＞0，y＞0，
∴2＝＋≥2，即xy≥6＝．
∴xy的最小值为6．
【做一做2】3＋4 ∵x＞0，∴y＝x2＋＋4＝x2＋＋＋4≥3＋4
＝3＋4．当且仅
当x2＝，即x＝时取“＝”号，∴所求最小值为3＋
4．
【做一做3】A
∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝，即x＝4，y＝12时等号成立．
故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16．
1．重要不等式的理解
剖析：当a，b，c∈R时，a2＋b2≥2ab，a3＋b3＋c3≥3abc；当
a，b，
c为正实数时，a＋b≥2，a＋b＋c≥3．两组不等式成立的条
件是不同的，但等号成立的条件均为
a＝b＝c．
2．三个正数或三个以上正数的平均值不等式的应用条件
剖
析：“一正”：不论是三个数或n个数的平均值不等式都要求
是正数，否则不等式是不成立的．“二定”
：包含两类求最值问题，
欧阳修，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以
荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见
义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志气自若也。
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从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全
石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩
一是已知n个正数的和为定值(即a1＋a2＋…＋an为定值)，求其积
a1a2…an的最
大值；二是已知积a1a2…an为定值，求其和a1＋a2
＋…＋an的最小值；“三相等”：取等号
的条件是a1＝a2＝a3＝…
＝an，不能只是其中一部分相等．
题型一
利用均值不等式求函数的最值
【例1】(1)求函数y＝x＋(x＜0)的最大值；
(2)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值．
分析：将函数式合理变形，再用不等式的性质求函数的最值．
反思：在利用均值不等
式求最值时，往往需将所给不等式变形，
拆分或拼凑都是常见的方法，但在变化过程中要注意式子的等价
性及
符号不等式的条件．
题型二 利用均值不等式解决实际问题
【例2】一份印刷品，其排版面积为432 cm2(矩形)，要求左右
留有4
cm的空白，上下留有3 cm的空白，问矩形的长和宽各为多少
时，用纸最省？
分析：根据矩形面积与矩形长和宽的关系列出方程，再利用不等
式求最值．
反思：利用不等式解决实际问题时，首先要认真审题，分析题意，
建立合理的不等式模型，最后通过基本
不等式解题．
题型三 易错辨析
【例3】求函数y＝1－2x－的最值．
错解：y＝1－2x－＝1－．
∵2x＋≥2＝2．
∴y≤1－2，故y的最大值为1－2．
错
因分析：重要不等式a＋b≥2成立的前提条件是a＞0，b＞0．以
上解题过程中没有注意这个前提条
件．
反思：在利用不等式进行证明或求值时，一定要注意不等式成立
的条件，即“一
正，二定，三相等”．
答案：
【例1】解：(1)∵x＜0，
?
∴y＝x＋＝－
?
?
－x＋
－2x
?
??
1
≤－2＝－．
当且仅当x＝－时，取“＝”号，
∴所求最大值为－．
(2)∵x＞0，a＞2x，
∴y＝x(a－2x)＝·2x·(a－2x)≤2＝．
当且仅当x＝时，取“＝”号．
欧阳修，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自
誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更
号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志气自若也。
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