高中数学人教A版选修4-5习题：第一讲1.1-1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式 含答案

第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式

A级 基础巩固
一、选择题
11．已知
x
∈R
＋
，有不等式：
x
＋≥2
3< br>xx
4
x
·＝2，
x
＋
2
＝＋＋
2
≥3··
2
＝3，….
xx
22
x
22
x
14
xx
4
x
启发我们可能推广结论为：
x
＋n
≥
n
＋1(
n
∈N
＋
)，则
a的值为( )
A．
n

C．
n

2
a
x
n
B．2
D．2
n
＋1
n

解析：
须
n
＝
a
.
答案：A
2．若< br>a
＞
b
＞0，则
a
＋
1
的最小值为( )
b
（
a
－
b
）
n
，要使和式的积为定值， 则必
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因为
a
＋
3< br>11
＝(
a
－
b
)＋
b
＋≥
b< br>（
a
－
b
）
b
（
a
－
b< br>）
1
＝3，当且仅当
a
＝2，
b
＝1时取等号， < br>b
（
a
－
b
）
3（
a
－
b
）·
b
·
所以
a
＋
1
的最小值为3.
b
（
a
－
b
）
答案：D
3．设
x
，
y
，
z
∈R，且
x
＋
y
＋< br>z
＝6，则lg
x
＋lg
x
＋lg
z
的取值范围是( )
A．(－∞，lg 6]
C．[lg 6，＋∞)
B．(－∞，3lg 2]
D．[3lg 2，＋∞)
＋
解析：因为lg
x
＋lg
y
＋lg
z
＝lg(
xyz
)，
- 1 -

3
而
xyz
≤
?
?
x
＋
y
＋
z
?
＝2
3
，
?
?
3
?
3
所以lg
x
＋lg
y
＋lg
z
≤lg 2＝3lg 2，当且仅当
x
＝
y
＝
z
＝2时，取等号．
答案：B
4．已知
x
＋2
y
＋3
z
＝6 ，则2
x
＋4
y
＋8
z
的最小值为( )
A．3
3
6 B．22 C．12 D．12
3
5
3
解析：2
x
＋4
y
＋8
z
＝2
x
＋2
2
y
＋2
3
z
≥32
6
＝12.
当且仅当
x
＝2
y
＝3
z
＝2时等号成立．
答案：C
5．设
x
，
y
，
z
＞0，且< br>x
＋3
y
＋4
z
＝6，则
x
2
y< br>3
z
的最大值为(
A．2 B．7
C．8 D．1 解析：因为6＝
x
＋3
y
＋4
z
＝
xx
6
2
＋
2
＋
y
＋
y
＋
y
＋4
z
≥6
x
2
y
3
z
，
所 以
x
2
y
3
z
≤1，当
x
2
＝< br>y
＝4
z
时，取“＝”，
即
x
＝2，
y< br>＝1，
z
＝
1
4
时，
x
2
y
3
z
取得最大值1.
答案：D
二、填空题
6．已知正数a
，
b
满足
ab
2
＝1，则
a
＋b
的最小值是________．
解析：因为
a
，
b
是 正数，
ab
2
＝1，
所以
a
＋
b
＝a
＋
bb
3
ab
2
3
3
2
＋
2
≥3
4
＝
2
2.
3
故
a
＋
b
的最小值是
3
2
2，
3
?
2
?
ab
＝1，
?
?
a＝
1
当且仅当
?
2
2，
时取到最小值．
?< br>b
即
?
a
＝
2
，
?
?
?< br>3
b
＝2
3
答案：
32
2

7．函 数
f
(
x
)＝
x
(5－2
x
)
2
?
?
5
?
0＜
x
＜
2
?
?
?
的最大值是________．
)
- 1 -

1
解析：
f
(
x
)＝ ×4
x
(5－2
x
)(5－2
x
)≤
4
1
?
4
x
＋5－2
x
＋5－2
x
?
250
??
＝
27
，
3
4
??
5当且仅当4
x
＝5－2
x
，即
x
＝时，等号成立． < br>6
5
?
250
2
?
故函数
f
(x
)＝
x
(5－2
x
)
?
0＜
x＜
?
的最大值为.
2
?
27
?
答案：
250

27
11
；②≥27；
27
abc
3
8．已知
a
＞0，
b
＞0，
c
＞0，且
a
＋
b
＋
c
＝1，对于下列不等式：①
abc
≤
1
222
③
a
＋
b
＋
c
≥.
3
其中正确的不等式序号是________．
解析：因为
a
，
b
，
c
∈(0，＋∞)，
3
所以1＝
a
＋
b
＋
c
≥3
abc，
11
?
1
?
0＜
abc
≤
??< br>＝，≥27，
?
3
?
27
abc
从而①正确，②也正确．
又
a
＋
b
＋
c
＝1，
所以
a< br>＋
b
＋
c
＋2(
ab
＋
bc
＋ca
)＝1，
1
222222
因此1≤3(
a
＋b
＋
c
)，即
a
＋
b
＋
c
≥ ，③正确．
3
答案：①②③
三、解答题
9．
θ
为锐角，求
y
＝sin
θ
·cos
θ
的最大值．
2
222
3
1 1
?
2
?
4
2222222
解：
y
＝si n
θ
cos
θ
cos
θ
＝·2sin
θ
( 1－sin
θ
)(1－sin
θ
)≤
??
＝.
2 2
?
3
?
27
当且仅当2sin
θ
＝1－sin< br>θ
，即sin
θ
＝
23
所以
y
max
＝.
9
22
3
3
时取等号．
3
?
111?
10．已知
a
，
b
，
c
均为正数，证明：< br>a
＋
b
＋
c
＋
?
＋＋
?
≥ 63，并确定
a
，
b
，
c
为
?
abc?
222
2
何值时，等号成立．
- 1 -

2
证明：因为
a
，
b
，
c
均为正数，由算术—几何平均不等式，得
a
＋
b
＋
c≥3(
abc
)
3
，①
222
1111
＋＋≥3(
abc
)－.
abc
3
2
?
111
?
所以
?
＋＋
?
≥ 9(
abc
)－.②
3
?
abc
?
2
?
111
?
故
a
＋
b
＋
c
＋
?
＋＋
?
≥3(
abc
)
3
＋9(
ab c
)－.
3
?
abc
?
222
2
22
2
2
又3(
abc
)
3
＋9(
ab c
)－≥227＝63，③
3
所以原不等式成立．
当且仅当
a
＝
b
＝
c
时，①式和②式等号成立．
2
2
当且仅当3(
abc
)
3
＝9(
ab c
)－时，③式等号成立．
3
4
即当且仅当
a
＝
b
＝
c
＝3时，原式等号成立．
B级 能力提升
1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为
V
，则下列总成立的是( )
A．
V
≥π
1
C．
V
≥π
8
B．
V
≤π
1
D．
V
≤π
8
6－4
r
6－4
r
2
解析：设圆柱半径为
r，则圆柱的高
h
＝，所以圆柱的体积为
V
＝π
r
·h
＝π
r
2
·
22
＝π
r
(3－2< br>r
)≤
2
?
r
＋
r
＋3－2
r
?
＝π. π
??
3
??
当且仅当
r
＝3－2
r
，即
r
＝1时取等号．
答案：B
2．若
a
＞2，
b
＞3，则
a
＋
b
＋
1
的最小值为______．
（
a
－2）（
b
－3）
3
解析：因为
a< br>＞2，
b
＞3，所以
a
－2＞0，
b
－3＞0， < br>则
a
＋
b
＋
3
5≥3
11
＝(a
－2)＋(
b
－3)＋＋
（
a
－2）（
b< br>－3）（
a
－2）（
b
－3）
1
（
a
－2）×（
b
－3）×＋5＝8.
（
a
－2）（
b
－3）
- 1 -

1
当且仅当
a
－2＝
b
－3＝， 即
a
＝3，
b
＝4时等号成立．
（
a
－2）（
b
－3）
答案：8
3．如图(1) 所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿
虚线折起，做成一个无盖的正 六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．

图(1) 图(2)
解：设正六棱柱容器底面边长为
x
(0＜
x
＜1) ，高为
h
，
由图可有2
h
＋3
x
＝3，

所以
h
＝
3
(1－
x
)，
2
＋＋1－
x
?
3
3
2
33
2
3< br>xx
?
V
＝
S
底
·
h
＝6×
x
·
h
＝
x
··(1－
x
)＝9×××(1－< br>x
)≤9×
22
＝
??
42222
3
??< br>1
.
3
?
xx
?
x
2
当且仅当＝ 1－
x
，即
x
＝时，等号成立．
23
21
所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大值为.
33


- 1 -