高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式优化练习新人教A版选修4_5

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯
西不等式优化练习新人教A版选 修4_5



[课时作业]

[A组 基础巩固]


1．已知x2＋y2＋z2＝1，则x＋2y＋2z的最大值为( )

B．2A．1
C．3


D．4
解析：由柯西不等式得

(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，



所以－3≤x＋2y＋2z≤3.
当且仅当x＝＝时，等号成立．
所以x＋ 2y＋2z的最大值为3.

答案：C

2．n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是( )



B．n

A．1
C．n2 D．
n
1

解析：设n个正数为x1，x2，…，xn，


由柯西不等式，得
111
?
(x1＋x2＋…＋xn)
?
?
x1
＋
x 2
＋…＋
xn
?
??

≥2＝(1＋1＋…＋1)2＝n2.

当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取等号．

答案：C

3．设a、b、c为正数，则(a＋b＋c)·(＋＋)的最小值为( )



B．121

D．7

A．11
C．49
解析：(a＋b＋c)·≥2＝121.

答案：B

4．设a，b，c均为正数且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为( )



B．9

D．49

A．81
C．7
解析：考虑以下两组向量：


u＝，v＝(，，)．
由(u·v)2≤|u|2·|v|2得

?
2
·a＋
3
·b＋
4
·c
?
2
??
bc
?
a
?

≤(a＋b＋c)，

当且仅当＝＝，即a＝2，b＝3，c＝4时取等号，

可得·9≥(2＋3＋4)2＝81，

所以＋＋≥＝9.

答案：B

5．设非负实数α1，α2，…，αn满足α1＋α2＋…＋αn＝1，





则y＝＋＋…＋－n的最小值为( )
n
B．
2n＋1
D．
2n－1

2n2
A.
C.
解析：为了利用柯西不等式，注意到
(2－α1 )＋(2－α2)＋…＋(2－αn)＝2n－(α1＋α2＋…＋αn)＝

2n－1，