高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二1绝对值三角不等式同步配套教学案新人教A版选修4_5

高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二1绝对值三角不等
式同步配套教学案新人教A版 选修4_5



对应学生用书P11

绝对值三角不等式

(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b |，当且仅当
ab≥0时，等号成立．

几何解释：用向量a，b分别替换a，b.

①当a与b不共线时，有|a＋b|<| a|＋|b|，其几何意义为：三
角形的两边之和大于第三边．

②若a，b共线，当 a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与
b反向时，|a＋b|<|a|＋|b|.

由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三
角不等式．
③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤
|a|＋|b|.
(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－
c|.

当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，

当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.

当点B不在点A ，C之间时：①点B在A或C上时，|a－c|＝|a

－b|＋|b－c|；

②点B不在A，C上时，|a－c|<|a－b|＋|b－c|.

应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．

对应学生用书P11


含绝对值不等式的判断与证明
[例1] 已知|A－a|<，|B－b|<，|C－c|<.

求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|
[思路点拨] ―→
得出结论
[证明] |(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－
c)|

≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|.

因为|A－a|<，|B－b|<，|C－c|<，

所以|A－a|＋|B－b|＋|C－c|<＋＋＝s.

含绝对值不等式的证明题主 要分两类：一类是比较简单的不等
式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，
或利用绝对值三角不等式||a|－|b|||a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的
添、拆 项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往
往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也 成立的思想，或利用一元
二次方程的根的分布等方法来证明．

1．已知|x|＜a，|y|＜b，则下列不等式中一定成立的是( )

A．|x＋y|＜a＋b B．|x－y|＜a－b

C．|x|＋|y|≤a＋b D．|x|－|y|≤a－b

解析：|x＋y|≤|x|＋|y|＜a＋b.

答案：A