高二数学选修2-2、2-3及选修4综合试卷(含答案)

高二数学选修2-2、2-3及选修4综合试卷
一、选择题
1．在复平面内，复数
个消防队，则不同的分配方案种数为（ ）.
A．12 B．36 C．72 D．108
11．函数
f(x)?(x
2
?2x)e
x
(e
为自然数的底数）的图象大致是（ ）.
2
?i
3
对应的点位于（ ）
1?i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．用三段论推理：“任何实数的平方 大于0，因为
a
是实数，所以
a
2
?0
”，你认为这个推理 （ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的
3．命题“
?x
∈R，
e?x?1
≥0”的否定是（ ）
x
A．
?x
∈R，
lnx?x?1
＜0 B．
?x
∈R，
e?x?1
＜0
xx
x
C．
?x
∈R，
e?x?1
＞0 D．
?x
∈R，
e?x?1
≥0
4．设随机变量
X
服从正态分布
N(3,4)
，若
P(X?2a?3)?P(X?a?2)
， 则
a
的值为（ ）.

12．变量x，y具有线性相关关系，当x取值为 16,14,12,8时，通过观测得到y的值分别为11,9,8,5.若在实际问
题中，y最大取值 是10，则x的最大取值不能超过( )
A．14 B．15 C．16 D．17
13．已知
f(x)?x?2?x?4
的最小值为
n
， 则
(x?)
n
的展开式中常数项为（ ）
A．20 B．160 C．
?160
D．
?20

网]
57
A． B．3 C．5 D．
33
5．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球 ，甲每次从中任取一
个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率（ ）.
2
x
3132
A． B． C． D．
10389
6．某人上班途中要经过三个有红绿灯的路口，设遇到红灯的事件相互独立 ，且概率都是0.3，则此人上班途
中遇到红灯的次数的期望为（ ）.
A．0.3 B．0.3
3
C．0.9 D．0.7
7．设
(x?
14．若函数
f(x)??
（ ）
1< br>ax
e(a?0,b?0)
的图象在
x?0
处的切线与圆
x< br>2
?y
2
?1
相切，则
a?b
的最大值是
b
A．4 B．
22
C．2 D．
2

二、填空题
15．观察下列等式：
2
a
)
的展开式中
x
的系数为
a
，二项式系数为
b
， 则的值为（ ）.
b
x
6
3
A．
1515
B． C．16 D．4
164
(1＋1)＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝2
2
×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝2
3
×1×3×5，
??
照此规律，第n个等式可为__ __．
16．若
( x?m)
9
?a
0
?a
1
(x?1)?a
2
(x?1)
2
?????a
9
(x?1)
9
，且
a
0
?a
1
?a
2
?a
3
????

8．甲，乙，丙，丁四位同学各自对
A,B
两变量的线性相关试验，并用回归分析 方法分别求得相关系数
r
如表：

r
甲
0.82
乙
0.78
丙
0.69
丁
0.85
则这四位同学的试验结果能体现出
A,B
两变量有更强的线性相关性的是（ ）.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．用数学 归纳法证明
1?2?????(n?1)?n?(n?1)?????2?1?
到证明
n?k?1
时，等式左边应添加的式子是（ ）
2222222
2(2n?1)< br>时，由
n?k
的假设
3
2
?a
8
?a
9
?3
9
，则实数
m
的值为 ．
17．已知函数
f(x)?x?ax?
的值为 ．
?
32
4
a(a?R)
，若存在
x
0
，使
f(x)< br>在
x?x
0
处取得极值，且
f(x
0
)?0
，则
a
3
1
2
A．
(k?1)?2k
B．
(k?1)?k
C．
(k?1)
D．
(k?1)2(k?1)?1

3
22222
??
10 ．某城市有3个演习点同时进行消防演习，现将4个消防队分配到这3个演习点，若每个演习点至少安排1

18．
?
2
sin
2
0
x
dx?
．
2
- 1 -

123n0122nn
19．计算
C
n
，可以采用以下方法：构造等式：
C
n
?2C
n?3C
n
?????nC
n
?C
n
x?C
n< br>x?????C
n
x
?
?
1?x
?
，
1232nn?1
两边对
x
求导，得
C
n
?2C
n
x?3C
n
x?????nC
n
x?n
?
1?x
?
n?1
n
25．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视 情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面
是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频 率分布直方图：
，在上式中令
x?1
，得
13n?123n
．类比 上述计算方法，计算
C
n
C
n
?2C
n
2
?3C
n
?????nC
n
?n?
n
2?2
2C
n
?3
2
C
n
?????n
2
C< br>n
?
．
20．如图，
A
，
B
是圆
O
上的两点，且
OA?OB
，
OA?2
，
C
为

OA
的中点，连接
BC
并延长交圆
O
于点
D
，则
CD
= .
三、解答题
21．在 平面直角坐标系中，以原点为极点，
x
轴为极轴建立极坐标系，曲线
C
1的方程
?
?
x?2cos
?
为
?
（
?
为参数），曲线
C
2
的极坐标方程为
C
2
:
?
cos
?
?
?
sin
?
?1
,若曲< br>y?sin
?
?
?
线
C
1
与
C2
相交于
A
、
B
两点．
（1）求
|AB|
的值；
（2）求点
M(?1,2)
到< br>A
、
B
两点的距离之积．

22．如图所示，
PA
为圆
O
的切线，
A
为切点，
PO
交圆
O< br>于
B,C
两点，
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷 ”．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷 体育迷 合计

男
10 55
女

合计
（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中 ，采用随机抽样方法每次抽取1
名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每 次抽取的结果是相互独立的，求X的
分布列，期望E(X)和方差D(X)．
n?ad－bc?
2
2
附：K＝，
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?





26．已知函数
f(x)?alnx?ax?3(a?0)
．
（1）求函数
f(x)
的单调区间；
（2）若函数
y?f(x)< br>的图象在点
(2,f(2))
处的切线的倾斜角为45°，对于任意的
t??
0,1
?
，函数
求实数
m
的取值范
g(x) ?x
3
?x
2
?
f
?
(x)?m
?
在区间
(t,2)
上总不是单调函数，其中
f
?
(x)
为
f(x)
的导函数，
围．




27 ．已知函数f(x)＝x
3
＋ax
2
－a
2
x＋m(a＞0 )．
（1）若a＝1时函数f(x)有三个互不相同的零点，求实数m的取值范围；
（2） 若对任意的a∈[3,6]，不等式f(x)≤1在[－2,2]上恒成立，求实数m的取值范围．


PA?2,PB?1
,
?BAC
的角平分线与
BC
和圆
O
分别交于点
D
和
E
.
（1）求证：
AB?PC?PA?AC
;
（2）求
AD?AE
的值.

23．某次考试中，从甲、乙两个班 各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，学生成绩的茎叶图如图所示，
成绩不小于90分为及格．
（1）从每班抽取的学生中各随机抽取一人，求至少有一人及格的概率
（2）从甲班10人中 随机抽取一人，乙班10人中随机抽取两人，三人中及格人数记为
X
，求
X
的 分布列和
期望．

2
24．设不等式
x?1?2
与关于< br>x
的不等式
x?ax?b?0
的解集相同。
（1）求
a,b
的值；
（2）求函数
f(x)?ax?b1?x< br>的最大值，以及取得最大值时
x
的值

- 2 -

高二数学选修2-2、2-3及选修4综合试卷
参考答案

AABAB CDDBB
11．A.
【解析】
试题分析：f(x)?(x
2
?2x)e
x
的定义域为
R
,且f
'
(x)?(x?2)(x?2)e
2
；令
f
'(x)?0
，得
[来源学科网]
x
2
?y
2
? 1
，
C
2
:
?
cos
?
?
?sin
?
?1
, 解(1) 曲线
C
1
的普通方程为
2

x??2或x?2
；令
f
'
(x)?0
，得
?2?x?2
；所以
f(x)
在
(??,?2)
上递增，在
(?2,2)
上递
增在上(2,??)
递增，故排除B,D;又
?f(0)?0
，故排除C;因此选A.
考点：函数的图像.
12．B 13．C
14．D
【解析】 < br>试题分析：
f
?
?
x
?
??
?
?< br>x??1?
?
则
C
2
的普通方程为
x?y?1?0< br>，则
C
2
的参数方程为：
?
?
y?2?
?< br>?
2
t
2
?
t为参数
?
2分
2
t
2
42
. 6分
3
代入
C
1
得
3t
2
?102t?14?0
，
AB?t1
?t
2
?(t
1
?t
2
)
2
?4t
1
t
2
?
(2)
MAMB?t
1
t
2
?
14
. 10分
3
考点：(1)参数方程的应用；（2)直线与椭圆相交的综合问题.
a
a x
a
1
??
e
,因此切线的斜率
k?f
?
?
0
?
??
，切点
?
o,?
?
，切线方程
b
b
b
??
y?
1a
1
??
?< br>x?0
?
，即
ax?by?1?0
，由于与圆相切
??1，
?a
2
?b
2
?1

bb
a
2
?b
2
2
a?b
?
?
a?b
?
2
?1?2ab?1?2?
?
??
，解得
a?b?2

2
??
考点：导数的几何意义和基本不等式的应用.

15．(n ＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2
n
×1×3×…×(2n－1)
16．5. 17．
?3
. 18．
19．
n
?
n?1
?
2
【解析】
1232nn?1
试题分析：对
C
n
?2C
n
x?3Cn
x?????nC
n
x?n
?
1?x
?
12 233nn
C
n
x?2C
n
x?3C
n
x???? ?nC
n
x?nx
?
1?x
?
n?1
n?1
n?2
?
4
?
1

2
.
23．
【解析】
试题解析：（1）由茎叶图可知：甲班有4人及格，乙班有5人及格，
设事件“从每班10名同学中各抽取一人，至少有一人及格”为事件A．
则
P(A)?
两边同时乘以
x
，得
6?537
?
，所以
P(A)?1?P(A)?
．
10?101010
（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1,2,3．
，两边对
x
求导
n?1
得
C
n
?2C< br>n
x?3C
n
x????nC
n
x
1222322n n?1
?n
?
1?x
?
n?2
?n
?
n? 1
??
1?x
?
n?2
n?2
，令
x?1
，得
6?C
5
2
4?C
5
2
6?5?5192
??
；
P(X?0)??
；
P(X?1)?
22< br>2
10?C
10
10?C
10
45
10?C
10
15
4?C
5
2
4?5?5
6?C
5
2
164
；．
P(X?2)???P(X?3)??
222
10? C
10
10?C
10
4510?C
10
45
所以X 的分布列为
X
P
0 1
[来源学科网ZXXK]
C?2C?3 C?????nC?
n2
考点：二项式定理的综合应用.
1
n
22
n
23
n
2n
n
n?1
?n
?
n ?1
?
2
?n
?
n?1
?
2

35
20．
5
14
42
21．(1)
AB?;(2)
MAMB?
.
3
3

- 3 -
2 3
2

15
19

45
16

45
4

45
因此
E(X)?0?
2191647
?1??2??3??
.
154545455

考点：1.茎 叶图；2.随机事件的概率；3.离散型随机变量的分布列与期望.

∵函数f(x)有三个互不相同的零点，
∴x
3
＋x
2
－ x＋m＝0即m＝－x
3
－x
2
＋x有三个互不相等的实数根．
令 g(x)＝－x
3
－x
2
＋x，则g′(x)＝－3x
2
－ 2x＋1＝－(3x－1)·(x＋1)，
1
??
1
??
∴g(x )在(－∞，－1)和
?
3
，＋∞
?
上均为减函数，在
?< br>－1，
3
?
上为增函数，
????

解：(1)由 频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：

非体育迷 体育迷 合计
30 15 45
男
45 10 55
女
75 25 100
合计
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
n?ad－bc?
2
2
K＝
?a＋b??c＋d??a＋c??b ＋d?
100×?30×10－45×15?
2
100
＝＝≈3.030.
33
75×25×45×55
因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育 迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即 从观众中抽取一名“体育迷”
1
的概率为.
4
1
由题意知X～B(3，)，从而X的分布列为
4
X 0 1 2 3
272791
P

64646464
13
E(X)＝np＝3×＝，
44
139
D(X)＝np(1－p)＝3××＝.
4416
26． 试题解析：（1）根据题意知，
f
?
(x)?5
??
1
?
5
?
－1，
∴[g(x)]
极小值
＝g(－1)＝－1，[g(x)]
极大值
＝g
?
3
?
＝
27
，∴m的取值范围是
?
.
27
?????
?
a
?
(2)∵f′(x)＝3x
2
＋2ax －a
2
＝3
?
x－
3
?
(x＋a)，且a＞0，
??
aa
∴当x＜－a或x＞
3
时，f′(x)＞0；当－a＜x＜
3
时，f′(x)＜0.
a
??
a
??
∴函数f (x)的单调递增区间为(－∞，－a)和
?
3
，＋∞
?
，单调递减 区间为
?
－a，
3
?
.
????
a
当a ∈[3,6]时，
3
∈[1,2]，－a≤－3.又x∈[－2,2]，
∴[f(x )]
max
＝max{f(－2)，f(2)}，又f(2)－f(－2)＝16－4a
2
＜0，
∴[f(x)]
max
＝f(－2)＝－8＋4a＋2a
2
＋m.
又∵f(x)≤1在[－2,2]上恒成立，∴[f(x)]
max
≤1即－8＋4a ＋2a
2
＋m≤1，
即当a∈[3,6]时，m≤9－4a－2a
2
恒成立．
∵9－4a－2a
2
在[3,6]上的最小值为－87，∴m的取值范围是(－∞，－87]．
由于

a(1?x)
(x?0)
，
x
11
T
n
?a
恒成立，所以
a?
，于是
a
的取值范围 为
{a|a?}
.
33
当
a?0
时，
f
?
x
?
的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1]．
（2 ）∵
f
?
(2)??
3
a
?1
，∴
a?? 2
，∴
f
?
x
?
＝－2lnx＋2x－3
. 2
22
∴
g(x)?x?(m?2)x?2x
，∴
g
?
(x)?3x?(2m?4)x?2
.
∵
g
?
x
?
在区间
?
t,2
?
上总不是单调函数，且
g
?< br>(0)??2
，∴
?
?
g
?
(t)?0
< br>?
?
g(2)?0
?
g
?
(0)?0
95< br>?
由题意知：对于任意的
t?
?
0,1
?
，
g
?
(t)?0
恒成立，∴
?
g
?
(1)?0∴
??m??
.
22
?
g
?
(2)?0
?
27．【解】 (1)当a＝1时，f(x)＝x
3
＋x
2
－x＋m.

- 4 -