高中数学第一章不等关系与基本不等式3平均值不等式学案北师大版选修4_5

从小丘西行百二十步，隔篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全 石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩

高中数学第一章不等关系与基本不等式3平均值不等式学案
北师大版选修4_5



1．掌握定理1和定理2及其证明，并能灵活应用．

2．理解定理3和定理4及其证明，并能简单应用．

3．会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题．

1．二元均值不等式

(1)定理1：

对任意实数a，b，有a2＋b2≥____(此式当且仅当a＝b时取
“＝”号)．

(2)定理2：

对任意两个正数a，b，有______≥(此式当且仅当a＝b 时取
“＝”号)．

我们称______为正数a与b的算术平均值，______为 正数a与b
的几何平均值．

定理2可叙述为：两个正数的__________不小 于它们的
__________．

【做一做1－1】函数y＝＋x(x＞3)的最小值是( )．

A．5 B．4 C．3 D．2

【做一做1－2】“a＞b＞0”是“ab＜”的( )．

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．三元均值不等式及其推广

(1)定理3：

对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥____(此式 当且仅当
a＝b＝c时取“＝”号)．

(2)定理4：

对任意三个正数a，b，c，有≥(此式当且仅当a＝b＝c时取“＝”
号)．
定理4可叙述为：三个正数的__________不小于它们的
__________．

(3)n个正数的算术几何平均不等式：

一般地，对n个正数a1，a2，…，an (n≥2)，我们把数值
______________，__________分别称为这n个正数的 算术平均值与几
何平均值，且有______________≥，此式当且仅当__________ __时取
“＝”号，即n个正数的算术平均值不小于它们的__________．

【做一做2】设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1．求证：＋＋≥36．

欧阳修 ，字永叔，庐陵人。四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。 及冠，嶷然有声。修始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐 流离，至于再三，志气自若也。

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从小丘西行百二十步，隔 篁竹，闻水声，如鸣珮环，心乐之。伐竹取道，下见小潭，水尤清冽。全石以为底，近岸，卷石底以出，为坻，为 屿，为嵁，为岩。青树翠蔓，蒙络摇缀，参差披拂。珮通：佩

答案：

1．(1)2ab (2) 算术平均值 几何平均值

【做一做1－1】A 原式变形为y＝＋x－3＋3．

∵x＞3，∴x－3＞0，∴＞0．

∴y≥2＋3＝5．

当且仅当x－3＝，即x＝4时等号成立．

【做一做1－2】A 当a＞b＞0时，＞＝ab成立，当ab＜时，
不能推出“a＞b＞0”，故选A．

2．(1)3abc (2)算术平均值 几何平均值

(3) a1＝a2＝…＝an 几何平均值

【做一做2】分析：本题需变式出现积为定值的情况，而 条件中
是和为定值x＋y＋z＝1，所以对所证不等式的左边需变形出现积为
定值的情况．
证明：＋＋＝＋＋
?
＝14＋＋＋
?
?
y
＋
z
?

??
4z9y
＋y＋
z

≥14＋4＋6＋12＝36．

当且仅当＝，＝，＝，且x＋y＋z＝1，即x＝，y＝，z＝时取等
号．

对定理1和定理2的理解

剖析：(1)a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的 ：前者只要求a，
b都是实数，而后者要求a，b都是正数．有些同学易忽略这一点，
例如：( －1)2＋(－4)2≥2×(－1)×(－4)成立，而≥不成立．

(2)这两个不等式都 带有等号，应从两方面理解，“当且仅当……
时，取‘＝’号”这句话：

①当a＝b时，取等号，其意义是a＝b?＝；

②仅当a＝b时，取等号，其意义是＝?a＝b．

综合起来，其意义是：a＝b是＝成立的充要条件．

(3)从这两个不等式我们可以 得到如下结论：＋≥2(ab＞0)；
≤≤≤(a＞0，b＞0)．

(4)式子中的a，b可以是数字，也可以是复杂的代数式．

题型一 利用平均值不等式证明不等式

【例1】若x＞0，y＞0，x＋y＝1，求证：≥9．

分析：本题是有条件的证明不等式问题，要巧用“x＋y＝1”来
证明．

反 思：利用平均值不等式证明不等式时，要注意把握平均值不等
式的结构特点，以便灵活地用于解题，另外 ，式子的灵活变形，进行
拆项、凑项，也是常用的方法．

欧阳修，字永叔，庐陵人。 四岁而孤，母郑，守节自誓，亲诲之学。家贫，至以荻画地学书。幼敏悟过人，读书辄成诵。及冠，嶷然有声。修 始在滁州，号醉翁，晚更号六一居士。天资刚劲，见义勇为，虽机阱在前，触发之不顾。放逐流离，至于再三，志 气自若也。

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