高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式同步配套教学案新人教A版选修4_5

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

高中数学第三讲柯西不等式与排序不 等式三排序不等
式同步配套教学案新人教A版选修4_5



对应学生用书P35

1．顺序和、乱序和、反序和

设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，
cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称 a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这
两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2b n－1＋…＋
anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2
＋ …＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．

2．排序不等式(排序原理)

定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a1≤a 2≤…≤an，
b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的< br>任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋
ancn≤ a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)?a1
＝a2＝…＝an或b1＝ b2＝…＝bn.

排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．

[说明] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得
两两乘积之和最大；反向单调 (一增一减)时，所得两两乘积之和最小．

对应学生用书P35


用排序不等式证明不等式所证不等式
中字母大小顺序已确定

[例1] 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：

邴原少孤，数岁时，过书 舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得 学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字， 不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见 。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

a5
＋＋≥＋＋.

b3c3
[思路点拨] 分析题目中已明确a≥ b≥c，所以解答本题时可直
接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．

[证明] ∵a≥b>0，于是≤，

又c>0，从而≥，

同理≥，从而≥≥.

又由于顺序和不小于乱序和，故可得

a5a5
＋＋≥＋＋

b3c3a3b3
?
＝＋＋
b3
?
?
∵a2≥b2≥c2，
c3
≥
b3
≥a3
?

??
a2
111
≥＋＋＝＋＋
b

＝＋＋.

所以原不等式成立．

利用排序不等式证明不等式的技巧 在于仔细观察、分析所要证明
的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的
两个数组．

1．已知0<α<β<γ<，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋
sin γ·cos α>(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

证明：∵0<α<β<γ<，且y＝sin x在为增函数，y＝cos x在
为减函数，

∴0cos β>cos γ>0.

∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α
＋sin βcos β＋sin γcos γ＝(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．

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邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰 ：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然 曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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