高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法同步配套教学案新人教A版选修4_5

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法同步
配套教学案新人教A版选修4_5



对应学生用书P18

1．作差比较法

(1)作差比较法的理论依据a－b>0?a>b，a－b<0?a 0?a＝b.

(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定
符号，④得出结论．

其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判
定差的符号，常用的手段有：因 式分解，配方，通分，分子或分母有
理化等．

2．作商比较法

(1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：

①b>0，若>1，则a>b；若<1则a
②b<0，若>1则ab.

(2)作商比较法解题的一般步骤： ①判定a，b符号；②作商；③
变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．

对应学生用书P18


作差比较法证明不等式
[例1] 已知正数a，b，c成等比数列．求证：a2－b2＋c2≥(a
－b＋c)2.

邴 原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则 愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不 求资也。

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凡读书......须要读得字字响亮，不可误 一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云， 读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

[思路点拨] 作差→变形→判定符号→结论

证明：因为正数a，b，c成等比数列，

所以b2＝ac，b＝，

(a2－b2＋c2)－(a－b＋c)2

＝a2－b2＋c2－a2－b2－c2＋2ab－2ac＋2bc

＝2ab－4b2＋2bc＝2b(a－2b＋c)

＝2b(－)2≥0.

所以a2－b2＋c2≥(a－b＋c)2.

(1)作差比较法中，变形具有承上启 下的作用，变形的目的在于
判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．

(2 )变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式
分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法 ．

(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，
常将“差式” 变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差
式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符 号．有时会遇到结
果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．

1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)．

证明：a2＋b2－2(a－b－1)

＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，

∴a2＋b2≥2(a－b－1)．

2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，

求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．

证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)

＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1

邴原少孤，数岁 时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二 则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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