高中数学第二讲证明不等式的基本方法章末小结与测评创新应用教学案新人教A版选修4_5

凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不 可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自 晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。

高中数学第二讲证明不等式的基本方 法章末小结与测评创
新应用教学案新人教A版选修4_5



比较 法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充
要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作 差；②恒等变形；③判
断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的
关键 ，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是
多少，变形所用的方法要具体情况具体分 析，可以配方，可以因式分
解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．

若x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0，求证：

b＋c
x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)．

a
[证明] ∵x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx)

＝＋＋(z2＋x2－2zx)＝＋(y－ z)2＋≥0.

∴x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)成立.

综 合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出
发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最 后推导出所要证明的不等式
成立．

综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻 辑推证的基本
理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已
邴原少孤，数 岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤， 二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。< br>
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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不 可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍 ，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。
知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条
件，避免错误，如一些带等号的 不等式，应用时要清楚取等号的条件，
即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握 ．

设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)f(1)＞0，
求证：

(1)方程f(x)＝0有实根；

(2)－2＜＜－1；

(3)设x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，

则≤|x1－x2|＜.

[证明] (1)当a＝0时，b＝－c，

f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－c2≤0，与已知矛盾，

所以a≠0.

方程3ax2＋2bx＋c＝0的判别式Δ＝4(b2－3ac)，

由a＋b＋c＝0，消去b，得Δ＝4(a2＋c2－ac)

＝4[＋c2]＞0.

故方程f(x)＝0有实根．

(2)由f(0)·f(1)>0，得c(3a＋2b＋c)>0.

由a＋b＋c＝0，消去c得(a＋b)(2a＋b)<0.

因为a2＞0，所以＜0.

故－2<<－1.

邴原少孤，数岁时 ，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则 羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。

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