高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.1比较法2.2综合法与分析法达标训练新人教A版选修4_5

邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者， 凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无 钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
2. 1 比较法 2.2 综合法与分析法
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基础·巩固
22
1.求证：a+3b≥2b(a+b).
思路分析：根据不等式两边均为多项式 ，作差比较后可以化为完全平方式的形式，容易判定
符号，用比较法较好.
22222
证明：∵a+3b-2b(a+b)=a-2ab+b=(a-b)≥0,
22
∴a+3b≥2b(a+b).
2.证明:
1
3?2
?10
.
思路分析：本题左右两边均 含有根式，直接比较不好证明，可以用分析法证明，当然也可以
用综合法证之.
证明：∵
1
3?2
?3?2
，
又∵(
3?
∴
2
)
2
-(
10
)
2
=
26
-5=
24?25
<0,
1
3?2
?10
.
a
2
?1
3.求证：-1≤
2
<1.
a?12a
2
思路分析：由于
2
≥0，所以采用分析法证明,逐步寻求待证不等 式的充分条件即可，
a?1
用分析法证明较好.
a
2
?1a
2
?1?a
2
?12a
2
证明：要证-1≤
2
， 只需证≥0，即
2
≥0，上式显然成立，所以
a
2
?1
a? 1a?1
a
2
?1a
2
?1
≥-1.类似地，可以证明2
<1.
2
a?1a?1
4.已知a,b,c>0,求证：ab(a+ b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.
思路分析：（1）本题所证不等式为对称式（任 意互换两个字母，不等式不变），在因式分解
222222
或配方时，往往采用轮换技巧.再如 证明a+b+c≥ab+bc+ca时，可将a+b+c-(ab+bc+ca)
配方为
1222222222
［(a-b)+(b-c)+(c-a)］，亦可利用a+b≥2ab,b+c ≥2bc,c+a≥2ca,三式相加
2
证明.（2）本题亦可连用两次基本不等式获证.
证明：∵ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-6abc
222222
=a(b+c-2bc)+b(a+c-2ac)+c(a+b-2ab)
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=a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)≥0,

邴原少 孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一 则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子 苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。
∴ab(a+b)+bc( b+c)+ca(c+a)≥6abc.
5.已知a,b,c>0，求证：abc≥(abc)
abc
a?b?c
3
.
思路分析：显然不等式两边为正，且是指数式，不 妨设a≥b≥c，,则a-b,b-c,a-c∈R
+
,故
尝试用作商比较法. 证明：等式关于a,b,c对称，不妨设a≥b≥c，则a-b,b-c,a-c∈R
+
， 且
等于1.
aba
,，都大于
bcc

a
ab
b
c
c
(abc)
a
?()
b
a? b?c
3
a?b
3
?a
2a?b?c
3
b
2b?a?c
3
c
2c?a?b
3
?a
a?b
3< br>?a
a?c
3
?b
b?a
3
?b
b?c3
?c
c?a
3
?
c?b
3
b
?()
c
b?c
3
a
?()
c
.
a?c
3
≥1.
∴abc≥(abc)
abc
a?b?c
3
6.已知△ABC的三边长是a,b,c，且m为正数，求证：
abc
.
??
a?mb?mc?m
思路分析：直接证明不容易找到思路，选择分析法通过通分变 形，用到三角形三边的关系:
∵a,b,c为三边长，∴a+b>c,问题得证.
证明：欲证原不等式成立，只要证：
a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)>0,
2
按m的降幂整理得,(a+b-c)m+2abm+abc>0.
∵a,b,c为三边长，∴a+b>c.
2
又m>0,∴(a+b-c)m+2abm+abc>0成立.
所以原不等式成立.
综合·应用
2
7.设f(x)=2x+1,pq>0 ,p+q=1.求证:对任意实数a,b，恒有pf(a)+qf(b)≥f(pa+qb).
22< br>思路分析：通过作差变形得到2p(1-p)a+2q(1-q)b-4pqab+p+q-1，通过讨论 ，判断符号，
发现证明思路，用综合法去证.
证明：考虑原式两边的差.
pf(a)+qf(b)-f(pa+qb)
222
=p(2a+1)+q(2b+1)-［2(pa+qb)+1］
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=2p(1-p)a+2q(1-q)b-4pqab+p+q-1. ①
∵p+q=1,pq>0,
22
∴①式=2pqa+2pqb-4pqab
2
=2pq(a-b)≥0.
即原式成立.
a
2
b2
?b
2
c
2
?c
2
a
2
8 .设a、b、c∈{正实数}，证明：≥abc.
a?b?c
思路分析:通过观察不等式两边 的特点，可轮换应用基本不等式，直接用综合法可证，也可
用分析法证明.
22222222 2222222
证明：∵ab+bc≥2abc,ab+ca≥2abc,bc+ca≥2abc,